有理數(shù)混合運算簡便算法與技巧

44有理數(shù)的計算方法與技巧有理數(shù)運算是代數(shù)入門的重點，又是難點，是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運算的基礎(chǔ)，怎樣突破這一難點，除了要正確理解概念和掌握運算法則外，還必須熟練有理數(shù)運算的一些技巧和方法，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則和運算律，從而使復(fù)雜問題變得較簡單。一、四個原則：整體性原則：乘除混合運算統(tǒng)一化乘，統(tǒng)一進行約分；加減混合運算按正負數(shù)分類，分別統(tǒng)一計算，或把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)部分拆開，分別統(tǒng)一計算。簡明性原則：計算時盡量使步驟簡明，能夠一步計算出來的就同時算出來；運算中盡量運用簡便方法，如五個運算律的運用?？谒阍瓌t：在每一步的計算中，都盡量運用口算，口算是提高運算率的重要方法之一，習(xí)慣于口算，有助于培養(yǎng)反應(yīng)能力和自信心。分段同時性原則：對一個算式，一般可以將它分成若干小段，同時分別進行運二、運算技巧歸類組合：運用交換律、結(jié)合律歸類加減，將同類數(shù)(如正數(shù)或負數(shù))歸類計算,如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、如分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)結(jié)合、同分母與同分母結(jié)合等。例：計算：一(0.5)—(—31)+2.75—(71)2解法一：一(0.5)—(—31)+2.75—(71)42=(—0.5+2.75)+(31—71)42=2.25—41=—2#解法二：一(0.5)—(—31)+2.75—(71)TOC\o"1-5"\h\z42=—0.5+31+2.75—7142=(3+2—7)+(—0.5+1+0.75—1)=—242評析：解法一是小數(shù)與小數(shù)相結(jié)合，解法二整數(shù)與整數(shù)結(jié)合，這樣解決了既含分?jǐn)?shù)又含小數(shù)的有理數(shù)加減運算問題．同學(xué)們遇到類似問題時，應(yīng)學(xué)會靈活選擇解題方法．湊整：將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)(如互為相反數(shù))相消。將相加可得整數(shù)的數(shù)放在一起進行運算(其中包括互為相反數(shù)相加)，可以降低解題難度，提高解題效率．12411例:計算：一I1—2-+4-—5-+1-—3.8TOC\o"1-5"\h\z63536分析：本題六個數(shù)中有兩個是同分母的分?jǐn)?shù)，有兩個互為相反數(shù)，有兩個相加和為整數(shù)，故可用“湊整”法。11214解：原式，(一11)+(—2—5T+(4三—3.8)66335，—8+1，—7例：計算：19＋299＋3999＋49999解：19＋299＋3999＋49999=20—1＋300—1＋4000—1＋50000—1=(20＋300＋4000＋50000)—4=54320—4=54316．分解：將一個數(shù)分解成幾個數(shù)和的形式，或分解為它的因數(shù)相乘的形式。例：計算：-24+專-43+31解：原式a+5-4+3)+?-4+2-1+6〔二2+?-a+仝丄+1…(12121212丿1212例：計算：2008<200920092009-2009<200820082008。解：原式二2008<2009<100010001-2009<2008<100010001例：計算2005X2003—1001X1001.20041002解：2005X2003—1001<100120041002=(2004+1)X篇-(1002-1)X黑=（2003-1。01）+（篇+1002）=10032004評析：對于這些題目結(jié)構(gòu)復(fù)雜，長度較大的數(shù)，用常規(guī)的方法不易解決．解這類問題要根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點，找出拆項規(guī)律，靈活巧妙地把問題解決．

約簡：將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)約簡。TOC\o"1-5"\h\zAC11例：計算：(-2.5)x6…(-0.125)x1.25』0.6…2-…—…(—2.5)x6x(—0.125)x1.25解：原式<5_1——11<20.6x21x1x11284倒序相加：利用運算律，改變運算順序，簡化計算。例：計算120032例：計算120032+200334005+?.■+20032003解：設(shè)A<12解：設(shè)A<12++2003200334005+.+20032003，把等式右邊倒序排列，得a<4005+4004++丄+丄200320032003a<4005+4004++丄+丄2003200320032003將兩式相加，得2A140052400440051(2003+2003)+(2003+2003)+'+(2003+2003)即2A<2x4005，所以A=4005所以原式=4005⑥裂項相消法:凡是帶有省略號的分?jǐn)?shù)加減運算，可以用這種方法例:-I-???斗（弘一2）匯（弦+1）乘法分配律a(b+c)二ab+ac在運算中可簡化計算.而反過來，ab+ac二a(b+c)同樣成立,有時逆用也可使運算簡便。在處理有理數(shù)的數(shù)字運算中，若能根據(jù)題目所顯示的結(jié)構(gòu)、關(guān)系特征，對此加以靈活變形，便可巧妙地逆用分配律，使解題簡潔明快.例：計算：17.48X37+174.8X1.9+8.74X88.解：17.48X37+174.8X1.9+8.74X88=17.48X37+(17.48X10)X1.9+17.48X44=17.48X37+17.48X19+17.48X44=17.48X(37+19+44)=1748.評析：很明顯，靈活變形，逆用分配律，減少了運算量，提高了解題效率.⑧變序在有理數(shù)的運算中，適當(dāng)改變運算順序，有時可以減少運算量，在具體運算過程中技巧是恰到好處地運用交換率、結(jié)合律和分配律等運算律簡化運算.例：計算：(-12.5人(+31)訃-￥x(-O.l)I5丿,4\解:原式＜?12.5…一…0.1…31I5丿€—1,31€—31。TOC\o"1-5"\h\z127例:計算:[4?+(—1)]+[(—2)+6上]1277125127解：[4?+(—丄)]+[(—2)+6L]1277125127=4?+(—1)+(—2)+6上1277125721=[4?+6上]+[(—2)+(—1)]1212773=11+(—-)7104評析：在運算前，首先觀察、分析參與運算的數(shù)的特征、排列順序等，適當(dāng)交換一下各數(shù)的位置，達到簡化運算、快速解題的目的．同步練習(xí)題1：計算：1+2—3—4+5+6—7—8+9—10—11—12+???+1997+1998—1999—2000+2001

已知0為數(shù)軸的原點，A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為1、2,設(shè)P為AB的中點，P為AP121的中點，…，P為P的中點，求P,P，P,…，P所對應(yīng)的各數(shù)之和。10099123100TOC\o"1-5"\h\z12411計算：—1_—2-+4-—5-+1——3.83536（分析：本題六個數(shù)中有兩個是同分母的分?jǐn)?shù)，有兩個互為相反數(shù)，有兩個相加和為整數(shù)，故可用“湊整”法。）求和111122222333335859(++——???++)+(++—+???++)+(—++—+???++)+???+(+)(3分4析：由5加9法交60換律3和結(jié)4合律5將分母59相同60的數(shù)結(jié)4合4相加6，可改5變9原6式0繁難的5計960算。)5.計算：2005,(+++—++)1,22,33,-2003,20042004,2005同步練習(xí)題2：計算：2+22+23++2859計算：111)—+—+—111317丿111)—+—+—111317丿?1111\…11131719丿1111)—+—+—+—11131719丿…111317丿3.計算：3.計算：4.計算：199919982199919972+199919992--1234005+++…+2003200320032003同步練習(xí)題1參考答案1.解法1：

原式€(1+2—3—4)+(5+6—7—8)+(9+10—22—12)+???++(1997+1998—1999—2000)+2002解法€：—4)X500—2001€—2000+2000原式〔2—=1+0+0+…+Q2.解：設(shè)￡對應(yīng)的數(shù)為a(1-i-100)，則2.解：設(shè)￡對應(yīng)的數(shù)為a(1-i-100)，則a€1+廠丿€…100「1'i1+11+1+厶|+...+1+i2/222100所以，a1+a2+…+a100?1〕+101-1200100=-8+14.解：原式213241259312359€+(卄++卄+)+???+(+++???+—)232^2442460606060€1(1+2+3+-+59)2=解:原式+59)X591)]221)]=2005x[(1——)+(———)+(———)+…+(—)+(一223342003200420042005=2005x(1-20052004=2005x2005=2004同步練習(xí)題2參考答案：1.解：設(shè)a=2+22+23+???+2859(1)貝Va€2+22+23+<<<+2860(2)則(2)—(1)得：a€2860—2艮卩2+22+23++2859€2860—2(含整體思想)2.解：令3.4.1111111a€—++,b€+++-,131711131719b一(1+b)a€b一a=-1911