原創(chuàng)2022年《南方新課堂·高考總復(fù)習(xí)》數(shù)學(xué) 第四章 第3講 平面向量的數(shù)量積配套課件

第3講平面向量的數(shù)量積課標(biāo)要求考情分析1.通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系從近幾年的高考試題來(lái)看，向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的垂直等問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，既有選擇題、填空題，又有解答題，屬中低檔題目，常與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題，主要考查運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想.預(yù)計(jì)2022年高考仍將以向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的垂直為主要考點(diǎn)，以與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題為考向1.兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.2.平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.

3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角，則

(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b_____向時(shí)，a·b＝－|a||b|.(5)|a·b|_____|a||b|.反≤

4.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a與b的夾角為θ，則

(1)a·b＝x1x2＋y1y2.

⊥題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列命題錯(cuò)誤的是()

A.一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量

B.a·b>0，則a與b的夾角為銳角；a·b<0，則a與b的夾角為鈍角

D.(a·b)·c＝a·(b·c)

答案：BCD題組二走進(jìn)教材

2.(必修4P107例6改編)(2019年全國(guó)Ⅲ)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，則cos〈a，b〉＝__________.

答案：C題組三真題展現(xiàn)

4.(2020年全國(guó)Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為45°，ka－b與a垂直，則k＝__________.由向量垂直的充分必要條件可得(ka－b)·a＝0，

5.(2020年全國(guó)Ⅰ)設(shè)a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝______________.

解析：因?yàn)?/p>

a，b為單位向量，所以|a|＝|b|＝1，

AB＝1，∠DAB＝60°，E為CD的中點(diǎn)，則AB·AE的值是(考點(diǎn)1平面向量的數(shù)量積自主練習(xí)1.(2020年押題導(dǎo)航卷)如圖

4-3-1所示，在菱形ABCD中，→→)圖4-3-1A.1B.－1C.2D.－2解析：∵E為CD的中點(diǎn)，且四邊形ABCD為菱形，故選A.答案：A2.(2018年全國(guó)Ⅱ)已知向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝()A.4B.3C.2D.0解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.故選B.答案：B則AN·MN＝(3.(2020年6月大數(shù)據(jù)精選模擬卷)已知四邊形ABCD為平→→)答案：A考點(diǎn)2平面向量的夾角師生互動(dòng)[例1](1)(2020年全國(guó)Ⅲ)已知向量a，b滿(mǎn)足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉＝()A.－3135B.－1935C.1735D.1935答案：D(2)(2019年全國(guó)Ⅰ)已知非零向量a，b滿(mǎn)足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()A.π6B.π3C.2π 3D.5π 6解析：∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝0，∴|a||b|cosθ＝|b|2，2|b|2cosθ＝|b|2，

答案：B

(3)(2019年全國(guó)Ⅲ)已知

a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－

b，則cos〈a，c〉＝________.

【題后反思】(1)平面向量a與b的數(shù)量積為a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：0°≤θ≤180°.＝0?a⊥b，因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長(zhǎng)度、角度、垂直等有關(guān)的問(wèn)題.(2020年全國(guó)Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下)列向量中，與b垂直的是( A.a＋2b

C.a－2bB.2a＋bD.2a－b

【考法全練】

答案：D

[例2](1)(2017年全國(guó)Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________________.

解析：方法一，|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，∴|a＋2b|＝

方法二，利用如圖4-3-2，可以判斷出a＋2b的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)的菱形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，為2.答案：2考點(diǎn)3平面向量的模多維探究圖4-3-2

(2)(2017年浙江)已知向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.

解析：設(shè)向量a，b的夾角為θ，

【題后反思】(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a|＝

運(yùn)算；②幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

(2)求向量模的最值(范圍)的方法：①代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.

【考法全練】

(2011年全國(guó))已知

a與

b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個(gè)命題：答案：A⊙三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用[例3](2020年大數(shù)據(jù)精選模擬卷)已知向量

m＝(sinx，1)，(1)求函數(shù)最小正周期T和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，A為銳角，

【高分訓(xùn)練】

在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，設(shè)向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，則角A的大小為()A.π6B.π3C.π2D.2π 3解析：因?yàn)閙⊥n，所以m·n＝b(b－c)＋(c－a)·(c＋a)＝0，

答案：B一個(gè)充要條件：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.兩點(diǎn)注意：(1)一般地，(a·b)·c≠a·(b·c)，即乘法的結(jié)合律不成立.(2)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消去律.三條規(guī)律：(1)a·b＝b·a(交換律).(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·λb(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).四種方法：求向量數(shù)量積的四種方法.(1)定義法：已知向量模、夾角，直接用定義a