2022年山西省忻州市合索聯(lián)合學(xué)校高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2022年山西省忻州市合索聯(lián)合學(xué)校高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（原創(chuàng)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A(2，0)，B(0，2)，動點P滿足＝1，則的最大值是()(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B由＝1，得動點P在以A為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)P為，，所以的最大值為點P到點(0，-2)的最大值，即圓心A到點(0，-2)的距離加半徑，【考點】向量的坐標(biāo)運算，向量的幾何意義.2.函數(shù)的圖像

（

）A．關(guān)于原點對稱

B.

關(guān)于主線對稱C.

關(guān)于軸對稱

D.

關(guān)于直線對稱參考答案：A3.設(shè)滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為11，則的最小值為（

）A．2

B．4

C．6

D．8參考答案：B試題分析：在直角坐標(biāo)系中作出可行域，如下圖所示，因為，所以目標(biāo)函數(shù)取得最大值時的最優(yōu)解為，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選B.考點：1.線性規(guī)劃；2.基本不等式.4.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象（）A．關(guān)于點（，0）對稱 B．關(guān)于直線x=對稱C．關(guān)于點（，0）對稱 D．關(guān)于直線x=對稱參考答案：D【考點】H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】由周期求出ω=2，故函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），再根據(jù)圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)y=sin（2x﹣+φ]是奇函數(shù)，可得φ=﹣，從而得到函數(shù)的解析式，從而求得它的對稱性．【解答】解：由題意可得=π，解得ω=2，故函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），其圖象向右平移個單位后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函數(shù)，又|φ|＜，故φ=﹣，故函數(shù)f（x）=sin（2x﹣），故當(dāng)x=時，函數(shù)f（x）=sin=1，故函數(shù)f（x）=sin（2x﹣）關(guān)于直線x=對稱，故選：D．5.已知,,若，則的值不可能是………（

）（A）.

（B）.

（C）.

（D）.

參考答案：D6.我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，則輸出結(jié)果（

）A.5 B.4 C.3 D.2參考答案：B7.自圓C：（x﹣3）2+（y+4）2=4外一點P（x，y）引該圓的一條切線，切點為Q，切線的長度等于點P到原點O的長，則點P軌跡方程為（）A．8x﹣6y﹣21=0 B．8x+6y﹣21=0 C．6x+8y﹣21=0 D．6x﹣8y﹣21=0參考答案：D【考點】軌跡方程．【分析】由題意畫出圖象，根據(jù)條件和圓的切線性質(zhì)列出方程化簡，求出點P的軌跡方程【解答】解：由題意得，圓心C（3，﹣4），半徑r=2，如圖：因為|PQ|=|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2+r2=|PC|2，所以x2+y2+4=（x﹣3）2+（y+4）2，即6x﹣8y﹣21=0，所以點P在直線6x﹣8y﹣21=0上，故選D．8.對于正實數(shù)，記為滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：且，有．下列結(jié)論中正確的是(

)A．若，，則B．若，，且，則C．若，，則

D．若，，且，則參考答案：C9.在三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若，，則（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】首先根據(jù)余弦定理，即可求出，然后再根據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】由余弦定理可知，，即，所以，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形的中應(yīng)用，同時考查了三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.若cosα＞0，則(

)A．tanαsinα≥0 B．sin2α≤0 C．sinα≤0 D．cos2α＜0參考答案：A【考點】三角函數(shù)值的符號．【專題】計算題；函數(shù)思想；三角函數(shù)的求值．【分析】直接判斷角所在象限，然后判斷表達(dá)式的符號即可．【解答】解：由cosα＞0知α的終邊在Ⅰ或Ⅳ象限，或x正半軸上，于是，故選：A．【點評】本題考查角所在象限，三角函數(shù)的值的符號，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，B是圓F：（F為圓心）上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于點P，則動點P的軌跡方程為

．參考答案：

12.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積等于cm3，表面積等于cm2．參考答案：，28+4.【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由已知三視圖得到幾何體是正方體切去兩個角后的幾何體，由三視圖數(shù)據(jù)求體積和表面積．【解答】解：由幾何體的三視圖得到幾何體是底面是邊長為2，高為4的正方體切去兩個角，如圖該幾何體的體積等于=cm3，表面積等于×=（28+4）cm2．故答案為：；（28+4）．13.直線與拋物線相交于不同兩點，若是中點，則直線的斜率

.參考答案：14.已知焦點在y軸上的雙曲線的焦距為，焦點到一條漸近線的距離為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

參考答案：15.有六名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽選拔賽，他們的編號分別是1～6號，得第一名者將參加全國數(shù)學(xué)競賽。今有甲、乙、丙、丁四位老師在猜誰將得第一名，甲猜：不是1號就是2號；乙猜：3號不可能；丙猜：4號、5號、6號都不可能；丁猜：是4號、5號、6號中的某一個。以上只有一個人猜測對，則他應(yīng)該是_____________.

參考答案：丙；16.已知橢圓C：=1的左焦點為F，點M是橢圓C上一點，點N是MF的中點，O是橢圓的中點，ON=4，則點M到橢圓C的左準(zhǔn)線的距離為．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由題意畫出圖形，由已知求得M到右焦點的距離，然后結(jié)合三種圓錐曲線統(tǒng)一的定義得答案．【解答】解：如圖，由橢圓C：=1，知a2=25，b2=9，∴c2=a2﹣b2=16，∴c=4．則e=，∵點N是MF的中點，O是橢圓的中心，ON=4，∴|MF′|=8，則|MF|=2a﹣|MF′|=10﹣8=2，設(shè)點M到橢圓C的左準(zhǔn)線的距離為d，則，得d=．故答案為：．17.由曲線y=xa（a為常數(shù)，且a＞0），直線y=0和x=1圍成的平面圖形的面積記為xadx，已知dx=，=，dx=，x2dx=，dx=，x3dx=，…，照此規(guī)律，當(dāng)a∈（0，+∞）時，xndx=

．參考答案：

【考點】歸納推理；定積分．【分析】由所給定積分，即可歸納得出結(jié)論．【解答】解：dx=，=，dx=，x2dx=，dx=，x3dx=，…，照此規(guī)律，當(dāng)a∈（0，+∞）時，xndx=，故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，A，B，C是⊙O上的3個不同的點，半徑OA交弦BC于點D．求證：．參考答案：證明：延長交⊙O于點E，

則．……5分

因為，

所以．

所以．

……10分19.某電視臺舉辦猜歌曲的娛樂節(jié)目：隨機播放歌曲片段，選手猜出歌曲名稱可以贏取獎金.曲庫中歌曲足夠多，不重復(fù)抽取.比賽共分7關(guān)：前4關(guān)播放常見歌曲；第5,6關(guān)播放常見或罕見歌曲，曲庫中常見歌曲與罕見歌曲數(shù)量比為1：4；第7關(guān)播放罕見歌曲.通過關(guān)卡與對應(yīng)的獎金如右表所示.選手在通過每一關(guān)（最后一關(guān)除外）之后可以自主決定退出比賽或繼續(xù)闖關(guān)；若退出比賽，則可獲得已經(jīng)通過關(guān)卡對應(yīng)獎金之和；若繼續(xù)闖關(guān)但闖關(guān)失敗，則不獲得任何獎金.關(guān)卡關(guān)卡獎金/元累計獎金/元110001000220003000330006000440001000058000180006120003000072000050000（Ⅰ）選手甲準(zhǔn)備參賽，在家進(jìn)行自我測試：50首常見歌曲，甲能猜對40首；40首罕見歌曲，甲只能猜對2首，以他猜對常見歌曲與罕見歌曲的頻率最為概率.①若比賽中，甲已順利通過前5關(guān)，求他闖過第6關(guān)的概率是多少？②在比賽前，甲計劃若能通過第1,2,3關(guān)的任意一關(guān)，則繼續(xù)；若能通過第4關(guān)，則退出，求這種情況下甲獲得獎金的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)選手乙猜對罕見歌曲的概率為p，且他已經(jīng)順利通過前6關(guān)，

當(dāng)p滿足什么條件時，他選擇繼續(xù)闖第7關(guān)更有利？．參考答案：略20.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），把曲線C向左平移2個單位，再把圖象上的每一點縱坐標(biāo)縮短為原來的一半（橫坐標(biāo)不變），得到曲線C1，直線l的普通方程是，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C1的普通方程；（2）記射線與C1交于點A，與l交于點B，求的值.參考答案：（1）,；（2）.【分析】（1）先消去參數(shù)得到曲線的普通方程，然后根據(jù)變換得到曲線的普通方程；根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可得到直線的極坐標(biāo)方程.（2）先求出曲線的極坐標(biāo)方程，然后將射線方程分別代入曲線和直線的極坐標(biāo)方程，求出，從而利用距離公式即可求出.【詳解】(1)曲線C的普通方程為：，經(jīng)過變換后得到的方程為：，即的普通方程為：.直線的極坐標(biāo)方程為：，即：.(2)由(1)可求的極坐標(biāo)方程為：，令解得：，即：，∴，同理直線的極坐標(biāo)方程中令有：，故.【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，坐標(biāo)變換，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，以及在極坐標(biāo)系下兩點間距離問題，屬于中檔題.在極坐標(biāo)系下兩點間距離問題，如果過兩點的直線經(jīng)過極點，則可用公式進(jìn)行求解.21.如圖，在直三棱柱中，，．是棱上的一點，是的延長線與的延長線的交點，且∥平面

（Ⅰ）求證：：

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；

參考答案：解：（Ⅰ）由題意作出如下圖形并建立圖示的空間直角坐標(biāo)系：以A1點為原點，A1B1，A1C1，A1A所在的直線分別為x，y，z軸，建立圖示的空間直角坐標(biāo)系，則A1（0，0，0）B1（1，0，0）C1（0，1，0）B（1，0，1）（I）設(shè)C1D=x，∵AC∥PC1,∴可設(shè)D（0，1，x），∴=（0，1，x），設(shè)平面BA1D的一個法向量為=（a，b，c），則?

令a=1，則=（1，x，﹣1）∵PB1∥平面BA1D∴0=0?x=；故CD=C1D．（II）由（I）知，平面BA1D的一個法向量為又=（1，0，0）為平面AA1D的一個法向量，∴cos＜．故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為．略22.如圖的莖葉圖記錄了甲、乙兩代表隊各10名同學(xué)在一次英語聽力比賽中的成績（單位：分），已知甲代表隊數(shù)據(jù)的中位數(shù)為76，乙代表隊數(shù)據(jù)的平均數(shù)是75．（1）求x，y的值；（2）若分別從甲、乙兩隊隨機各抽取1名成績不低于80分的學(xué)生，求抽到的學(xué)生中，甲隊學(xué)生成績不低于乙隊學(xué)生成績的概率；（3）判斷甲、乙兩隊誰的成績更穩(wěn)定，并說明理由（方差較小者穩(wěn)定）．參考答案：【考點】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；莖葉圖．【分析】（1）按大小數(shù)列排列得出x值，運用平均數(shù)公式求解y，（2）判斷甲乙兩隊各隨機抽取一名，種數(shù)為3×4=12，列舉得出甲隊學(xué)生成績不低于乙隊學(xué)生成績的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．種數(shù)為3+1+1=5，運用古典概率求解．（3）求解甲的平均數(shù)，方差，一點平均數(shù)，方差，比較方差越小者越穩(wěn)定，越大，波動性越大．得出結(jié)論：甲隊的方差小于乙隊的方差，所以甲隊成績較為穩(wěn)定．【解答】解：（1）因為甲代表隊的中位數(shù)為76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因為乙代表隊的平均數(shù)為75，其中超過75的差值為5，11，13，14，和為43，少于75的差值為3，5，7，7，19，和為41，所以y=3，（2）甲隊中成績不低于80的有80，82，88；乙隊中成績不低于80的有80，86，88，89，甲乙兩隊各隨機抽取一名，種數(shù)為3×4=12，其中甲隊學(xué)生成績不低于乙隊學(xué)生成績的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．種數(shù)為3+1+1=5，所以甲隊學(xué)生成績不低于乙隊學(xué)生成績的概