兩個(gè)基本原理

兩個(gè)基本原理第一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理問題

1.從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4班,汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析:從甲地到乙地有3類方法,

第一類方法,乘火車，有4種方法;

第二類方法,乘汽車，有2種方法;

第三類方法,乘輪船,有3種方法;

所以從甲地到乙地共有4+2+3=9種方法。第二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理2.

如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南

分析:從A村經(jīng)B村去C村有2步,

第一步,由A村去B村有3種方法,

第二步,由B村去C村有2種方法,

所以從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的方法。第三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理加法原理做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有

N=m1+m2+…+mn種不同的方法。

乘法原理做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有

N=m1×m2×…×mn種不同的方法。第四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理㈢

例題

1.某班級(jí)有男三好學(xué)生5人,女三好學(xué)生4人。

(1)從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng),有多少種不同的選法？

(2)從中任選男、女三好學(xué)生各一人去參加座談會(huì),有多少種不同的選法？分析:(1)完成從三好學(xué)生中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)這件事,共有2類辦法,

第一類辦法,從男三好學(xué)生中任選一人,共有m1=5種不同的方法;

第二類辦法,從女三好學(xué)生中任選一人,共有m2=4種不同的方法;

所以,根據(jù)加法原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5+4=9種。第五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理㈢

例題

1.某班級(jí)有男三好學(xué)生5人,女三好學(xué)生4人。

(1)從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng),有多少種不同的選法？

(2)從中任選男、女三好學(xué)生各一人去參加座談會(huì),有多少種不同的選法？分析:(2)完成從三好學(xué)生中任選男、女各一人去參加座談會(huì)這件事,需分2步完成,

第一步,選一名男三好學(xué)生,有m1=

5種方法;

第二步,選一名女三好學(xué)生,有m2=4種方法;

所以,根據(jù)乘法原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5×4=20種。點(diǎn)評(píng):

解題的關(guān)鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”。“分類完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。第六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理2.在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？

分析1:按個(gè)位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是

1個(gè),2個(gè),3個(gè),4個(gè),5個(gè),6個(gè),7個(gè),8個(gè).

則根據(jù)加法原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個(gè)).分析2:按十位數(shù)字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是

8個(gè),7個(gè),6個(gè),5個(gè),4個(gè),3個(gè),2個(gè),1個(gè).

則根據(jù)加法原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個(gè))第七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理3.一個(gè)三位密碼鎖,各位上數(shù)字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個(gè)數(shù)字組成,可以設(shè)置多少種三位數(shù)的密碼(各位上的數(shù)字允許重復(fù))？首位數(shù)字不為0的密碼數(shù)是多少？首位數(shù)字是0的密碼數(shù)又是多少？

分析:按密碼位數(shù),從左到右依次設(shè)置第一位、第二位、第三位,需分為三步完成;

第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m2=10.

根據(jù)乘法原理,共可以設(shè)置N=10×10×10=103

種三位數(shù)的密碼。

答:首位數(shù)字不為0的密碼數(shù)是N=9×10×10=9×102

種,

首位數(shù)字是0的密碼數(shù)是N=1×10×10=102

種。由此可以看出,

首位數(shù)字不為0的密碼數(shù)與首位數(shù)字是0的密碼數(shù)之和等于密碼總數(shù)。第八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理3.一個(gè)三位密碼鎖,各位上數(shù)字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個(gè)數(shù)字組成,可以設(shè)置多少種三位數(shù)的密碼(各位上的數(shù)字允許重復(fù))？首位數(shù)字不為0的密碼數(shù)是多少？首位數(shù)字是0的密碼數(shù)又是多少？問:若設(shè)置四位、五位、六位、…、十位等密碼,密碼數(shù)分別有多少種？答:它們的密碼種數(shù)依次是104,105,106,……種。第九頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理

點(diǎn)評(píng):

加法原理中的“分類”要全面,不能遺漏;但也不能重復(fù)、交叉;“類”與“類之間是并列的、互斥的、獨(dú)立的,也就是說,完成一件事情,每次只能選擇其中的一類辦法中的某一種方法。若完成某件事情有n類辦法,即它們兩兩的交為空集,n類的并為全集。

乘法原理中的“分步”程序要正確?！安健迸c“步”之間是連續(xù)的,不間斷的,缺一不可;但也不能重復(fù)、交叉;若完成某件事情需n步,則必須且只需依次完成這n個(gè)步驟后,這件事情才算完成。

在運(yùn)用“加法原理、乘法原理”處理具體應(yīng)用題時(shí),除要弄清是“分類”還是“分步”外,還要搞清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)。在“分類”或“分步”過程中,標(biāo)準(zhǔn)必須一致,才能保證不重復(fù)、不遺漏。第十頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理㈣

課堂練習(xí)

1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？第十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理㈣

課堂練習(xí)

1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？解:按地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域依次分四步完成,

第一步,m1=3種,

第二步,m2=2種,

第三步,m3=1種,

第四步,m4=1種,所以根據(jù)乘法原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3×2×1×1=6種。第二十頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理㈣

課堂練習(xí)

1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？問:若用2色、3色、4色、5色等,結(jié)果又怎樣呢？

答:它們的涂色方案種數(shù)分別是0,4×3×2×2=48,5×4×3×3=180種等。第二十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.如圖,該電路,從A到B共有多少條不同的線路可通電？AB第二十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第四十頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理解:從總體上看由A到B的通電線路可分三類,

第一類,m1=3條第二類,m2=1條第三類,m3=2×2=4條所以,根據(jù)加法原理,從A到B共有

N=3+1+4=8條不同的線路可通電。

當(dāng)然,也可以把并聯(lián)的4個(gè)看成一類,這樣也可分2類求解。第四十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六………...ABABm1m1m2m2mnmn點(diǎn)評(píng):

我們可以把加法原理看成“并聯(lián)電路”;乘法原理看成“串聯(lián)電路”。如圖:第四十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理3.如圖,一螞蟻沿著長(zhǎng)方體的棱,從的一個(gè)頂點(diǎn)爬到相對(duì)的另一個(gè)頂點(diǎn)的最近路線共有多少條？第四十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理

解:如圖,從總體上看,如,螞蟻從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以,

第一類,m1=1×2=2條第二類,m2=1×2=2條第三類,m3=1×2=2條所以,根據(jù)加法原理,從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C1最近路線共有N=2+2+2=6條。第四十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六加法原理和乘法原理4.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？甲地乙地丙地丁地

解:從總體上看,由甲到丙有兩類不同的走法,

第一類,由甲經(jīng)乙去丙,又需分兩步,所以m1=2×3=6種不同的走法;

第二類,由甲經(jīng)丁去丙,也需分兩步,所以m2=4×2=8