《空間中直線與直線之間的位置關(guān)系》 省賽獲獎(jiǎng)

空間中直線與直線的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種平行相交異面位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是否共面沒有只有一個(gè)沒有共面不共面共面1、空間兩條直線的位置關(guān)系:2、異面直線的定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。想一想1.異面直線的判定定理異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線與

是異面直線異面直線的畫法αab圖1αβba圖2αab圖3從圖中可見，直線a與b既不相交，也不平行。既不相交也不平行的兩條直線稱為異面直線。1、分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線。()2、空間兩條不相交的直線一定是異面直線。()3、垂直于同一條直線的兩條直線必平行。()4、若一條直線垂直于兩條平行直線中的一條，則它一定與另一條直線垂直。

()

判斷對(duì)錯(cuò)：1、已知M、N分別是長方體的棱C1D1與CC1上的點(diǎn)，那么MN與AB所在的直線是異面直線嗎？（既不相交也不平行的兩條直線）2、a與b是異面直線，且c∥a，則c與b一定（）。（A）異面（B）相交（C）平行（D）不平行3、正方體一條對(duì)角線與正方體的棱可組成的異面直線的對(duì)數(shù)是（）對(duì)。（A）6（B）3（C）8（D）12DAA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1ABCD如圖，在長方體AC1中的棱中有多少對(duì)平行的棱？有多少對(duì)異面的棱？思考題：公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。a∥bc∥ba∥c符號(hào)表示：設(shè)空間中的三條直線分別為a,b,c,則想一想:空間中,如果兩條直線都與第三條直線垂直,是否也有類似的規(guī)律?例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是

AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。ABDEFGHC變式一：

在例1中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?

分析：在例題1的基礎(chǔ)上我們只需要證明平行四邊形的兩條鄰邊相等。菱形ABDEFGHC變式二：

空間四面體A--BCD中,E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是CB,CD上的，且，求證:四邊形ABCD為梯形.ABCDEHFG分析：需要證明四邊形ABCD有一組對(duì)邊平行，但不相等。例1、在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。ABDEFGHC變式三：

如果再加上條件AC⊥BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?

提出問題:在平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”。在空間中,結(jié)論是否仍然成立呢?觀察思考：如圖,∠ADC與∠A'D'C'、∠ADC與∠A'B'C'的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？3、等角定理:定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。3、等角定理:定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.如圖所示，a，b是兩條異面直線，在空間中任選一點(diǎn)O，過O點(diǎn)分別作a，b的平行線a′和b′，abPa′b′O

則這兩條線所成的銳角θ（或直角），θ

稱為異面直線a，b所成的角。？任選Oa′平移4、異面直線所成的角:如果兩條異面直線所成的角為直角，就說兩條直線互相垂直，記作a⊥b。4、異面直線所成的角:異面直線所成角θ的取值范圍：

例2、如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中。直線BA1

和CC1

的夾角是多少？解：∵BB1//CC1

∴異面直線BA1與

CC1

的夾角即∠B1BA或其補(bǔ)角異面直線的求法:一作、二證、三求A1B1C1D1ABCDMN

又∵

∠B1BA=450

∴異面直線BA1與

CC1的夾角為450

如圖,已知長方體ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解：(1)∵GF∥BC∴BC和EG所成的角為∠EGF（或其補(bǔ)角）又∵

Rt△EFG中，求得∠EGF=45o∴

BC和EG所成的角為450o(2)∵BF∥AE∴AE和BG所成的角為∠FBG（或其補(bǔ)角）

∵

Rt△BFG中，求得∠FBG=60o∴AE和BG所成的角為600o課堂練習(xí)1ABGFHEDC2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為4，若M，N分別為棱A1B1和B1B的中點(diǎn)，求直線AM與CN所成的角的余弦值.A1B1C1D1ABCDMNPQcos∠QNC課堂練習(xí)2空間圖形文字?jǐn)⑹龇?hào)表示直線與直線的位置關(guān)系公理4異面直線所成角課堂小結(jié)異面直線的求法:一作、二證、三求ＡＢＣＤＥＰＭＮ練習(xí)1、如圖，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一點(diǎn)，Ｄ、Ｅ分別是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心。求證：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ＡＣ１３練習(xí)2、下列命題中，其中正確的是（１）若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線互相平行（２）若兩條直線都和第三條直線相交，那么這兩條直線互相平行（３）若兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線