2023學(xué)年完整公開課版冪函數(shù)

1.冪函數(shù)的概念、圖象特征和性質(zhì).2.根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值的大小.教學(xué)目標(biāo)1、冪函數(shù)的概念2、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)3、冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用重點(diǎn)、難點(diǎn)一、冪函數(shù)的概念【問題1】下面幾個(gè)實(shí)例，觀察它們得出的函數(shù)解析式，有什么共同特征？(4)如果一個(gè)正方形場地的面積為S，那么這個(gè)正方形的邊長c＝

，這里c是S的函數(shù)；(5)如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km,那么他騎車的平均速度v＝

km/s,即v＝t－1,這里v是t的函數(shù).(1)如果張紅以1元/kg的價(jià)格購買了某種蔬菜ωkg,那么她需要支付p＝ω元,這里p是ω的函數(shù)；(2)如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S＝a2，這里S是a的函數(shù)；(3)如果立方體的棱長為b，那么立方體的體積V＝b3，這里V是b的函數(shù)；冪函數(shù)定義

一般地，函數(shù)

叫做冪函數(shù)，其中x是

，α是

.y＝xα自變量常數(shù)【注意】：①自變量前的系數(shù)是，1冪的系數(shù)為1；

②α是任意常數(shù)；

③函數(shù)的定義域與α有關(guān)；

④中學(xué)階段只研究α=1，2，3，1/2，-1這幾種的冪函數(shù).

例1.在函數(shù)y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)；y＝x2＋x是兩項(xiàng)和的形式，不是冪函數(shù)；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函數(shù)y＝1的圖象比冪函數(shù)y＝x0的圖象多了一個(gè)點(diǎn)(0,1)，所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù).√

例2.已知y＝

＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值.【悟】判斷函數(shù)是否是冪函數(shù)的方法：函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，且滿足：

①指數(shù)為常數(shù)，

②底數(shù)為自變量，

③xα的系數(shù)為1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函數(shù)都不是冪函數(shù).(2)若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)也必具有y＝xα(α為常數(shù))這一形式.【練1】若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)＝16，則f(－4)＝_____.解析：設(shè)f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，

∴f(－4)＝(－4)2＝16.16二、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)【問題2】根據(jù)之前所學(xué)，我們應(yīng)該從哪些方面來研究冪函數(shù)？提示：根據(jù)函數(shù)解析式先求出函數(shù)的定義域，然后畫出函數(shù)圖象，再利用圖象和解析式研究函數(shù)的

單調(diào)性、最值、值域、奇偶性、對(duì)稱性等問題.提示：

【問題3】同一坐標(biāo)系下函數(shù)：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝x－1的圖象是怎樣的？y=xy=x2y=x3y=x-1定義域值域奇偶性單調(diào)性填表：觀察函數(shù)圖象以及函數(shù)解析式，完成下表.R[0，＋∞){x|x≠0}R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)RR增函數(shù)在(－∞,0]上單調(diào)遞減,在[0,＋∞)上單調(diào)遞增增函數(shù)在[0,＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞,0]上單調(diào)遞減,在[0,＋∞)上單調(diào)遞減(2)函數(shù)y＝x，y＝x3，y＝x－1是

，函數(shù)y＝x2是

；(4)在第一象限內(nèi)，函數(shù)y＝x－1的圖象向上與y軸

，向右與x軸

.(3)在區(qū)間(0,＋∞)上,函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

,函數(shù)y＝x－1

；特殊冪函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

和y＝x－1的圖象都通過點(diǎn)

；(1,1)奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)遞增單調(diào)遞減無限接近無限接近一般冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有的冪函數(shù)在(0,＋∞)上都有定義，圖象只出現(xiàn)在第一象限，

并且圖象都過點(diǎn)(1,1).(2)當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn),并且在區(qū)間[0,＋∞)上單調(diào)

遞增.且圖象只出現(xiàn)在第一象限.特別地:當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；

當(dāng)α＝1時(shí)，冪函數(shù)的解析式為y＝x；

當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸.(3)當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且函數(shù)在原點(diǎn)無意義.一般冪函數(shù)的性質(zhì)(4)在(－∞，0)上,冪函數(shù)有無圖象與α的取值有關(guān)，

若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象一定出現(xiàn)在第二象限，

若函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象一定出現(xiàn)在第三象限.(5)冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于

直線y＝x對(duì)稱.(6)在第一象限，作直線x＝a(a>1),它同各冪函數(shù)圖象

相交,按交點(diǎn)從下到上的順序,冪指數(shù)按從小到大的

順序排列.√解析:根據(jù)冪函數(shù)y＝xn的性質(zhì),在第一象限內(nèi)的圖象,當(dāng)n>0時(shí),n越大,y＝xn遞增速度越快，當(dāng)n<0時(shí)，|n|越大，曲線越陡峭，【悟】解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問題的方法：（1）考慮冪函數(shù)的概念，對(duì)于冪函數(shù)y＝xα(α是常數(shù))，由于α的取值不同，所以相應(yīng)

冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同.（2）注意分類討論思想的應(yīng)用.冪函數(shù)圖象的畫法：①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象:先根據(jù)α的取值,確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的

圖象.②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)

在其他象限內(nèi)的圖象.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)＝x2和g(x)＝x－2的圖象如圖由圖像可知：（1）當(dāng)x>1或x<－1時(shí),f(x)>g(x)；

(2)當(dāng)x＝1或x＝－1時(shí)，f(x)＝g(x)；(3)當(dāng)－1<x<1且x≠0時(shí)，f(x)<g(x).三、冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用例3

：比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小：解：①

∵冪函數(shù)y＝x0.5在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，②∵冪函數(shù)y＝x－1在(－∞，0)上單調(diào)遞減，③∵函數(shù)y1＝

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，例4：已知冪函數(shù)y＝xp－3(p∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，

求滿足

的a的取值范圍.解：∵函數(shù)y＝xp－3在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴p－3<0，即p<3.又∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.∵函數(shù)y＝xp－3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴p－3是偶數(shù)，∴取p＝1，即y＝x－2.故

變?yōu)?/p>

.∵函數(shù)y＝

在R上是增函數(shù)，∴由

，得a＋1<3－2a，即【悟】比較冪值大小和解決冪函數(shù)的綜合問題的注意點(diǎn)(1)若兩個(gè)冪值的指數(shù)相同或可化為兩個(gè)指數(shù)相同的冪值時(shí),則可構(gòu)造函數(shù),利用冪函數(shù)

的單調(diào)性比較大小.(2)若底數(shù)、指數(shù)均不同,則考慮用中間值法比較大小,這里的中間值可以是“0”或“1”.(3)充分利用冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)，如圖象所過定點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性等.(4)注意運(yùn)用常見的思想方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.【練3】比較下列各組數(shù)的大?。孩冢?.143與－π3.②∵y＝x3是R上的增函數(shù)，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.∴m2＋m＝2，∴