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文檔簡介
2023年高二數(shù)學(xué)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
?必過教材關(guān)
1.異面直線所成角:
設(shè)異面直線”,分所成的角為仇則8s3瑞,其中Q,b分別是直線a,。的方向向量.
2.直線與平面所成角
如圖所示,設(shè)/為平面a的斜線,/Ca=4,a為/的方向向量,"為平面
a的法向量,夕為,與a所成的角,則sinp=|cos(a,n)
3.二面角
(1)若AB,CD分別是二面角a-1-p的兩個平面內(nèi)與棱I垂直的異面直線,則二面角(或其補
角)的大小就是向量了言與而的夾角,如圖(1).
圖⑶
平面a與/相交于直線/,平面a的法向量為"1,平面”的法向量為"2,(ni,n2)=仇則
二面角a-//為,或7t一仇設(shè)二面角大小為夕,貝!||cos0|=|cosO|=^如圖⑵⑶.
I.(2023年全國2)直三棱柱ABC-A向G中,NBCA=90。,M,N分別是4B”4cl的中
點,BC=CA=CC\,則與AN所成的角的余弦值為()
A.J-B.2C.叵D.正
105102
2.(2023年北京)如圖,在三棱柱ABC-AIBIC中,AACC是邊長為4的正方形.
平面ABCJ_平面AAiCiC,AB=3,BC=5.
(I)求證:AAi_L平面ABC;
(II)求二面角AI-BC!-BI的余弦值;
BD
(III)證明:在線段BG存在點D,使得ADLAiB,并求的值.
(4)求直線A3與平面A8G所成角的正弦值:
⑸求點A到平面48G的距離.
3.(2023年全國2)如圖,四棱錐P-ABCO中,底面ABCQ為矩形,必,平面ABC。,E為
的中點.
4(2023年天津).如圖,AD//3C且A3=2BC,AO_LCr>,£G/M/MiEG=A。,
CD/IFG且CD=2FG,0GJ?平面ABC。,DA=DC=DG=2.
(I)若M為CF的中點,N為EG的中點,求證:MN|平面COE;
(II)求二面角E—8C—尸的正弦值;
(III)若點P在線段DG上,且直線BP與平面AOGE所成的角為60°,求線段DP的長
2023年高二數(shù)學(xué)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用答案
1.(2023年全國2)直三棱柱中,ZBCA=90°,M,N分別是4囪,4G的中
點,BC=CA=CC\,則與4N所成的角的余弦值為()
A.J-B.2C.叵D.也
105102
1.解析C:取BC的中點P,連結(jié)NP、AP,,:M,N分別是A|B|,4G的
中點,四邊形NMBP為平行四邊形,...BW/PN,.?.所求角的余弦值
等于NANP的余弦值,不妨令BC=CA=CCi=2,則AN=AP=也,NP=MB=
瓜?
『訴2+(府一詆2回
2X|AN|-|NP|__2x75x76"lo"
【另解】如圖建立坐標(biāo)系,令A(yù)C=BC=CiC=2,則以0,2,2),8(2,0,2),^(1,1,0),N[0,1,0),
BMAN0-1+4_V30
BM=(一1,1,一2),AN=(0,-1,-2),cos。=
18MHA7V|向6一10
選C
2.證明:(I)因為AAG。為正方形,所以AA~LAC.
因為平面ABCJ_平面AAlCiC,,且平面ABCC平面AA〕CiC=AC,
所以AR_L平面ABC.
(II)由(I)知,AA|_LAC,A%±AB.
由題意知A8=3,BC=5,AC=4,所以AB_LAC.
如圖,以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一孫z,則
3(0,3,0),A(0,0,4),4(0,3,4),G(4,0,4).
/、n-A,B=0,3y—4z=0,
設(shè)平面4BG的法向量為〃=(x,y,z),則{即{;_「
n-A}C}-0.4x=U,
令z=3,則x=0,y=4,所以〃=(0,4,3).
設(shè)平面48G的法向量為加=(x,y,z),則相.幽=0,如=0
即4z=0,
-4x+3y-4z=0,
可得,平面⑸8G的法向量為加=(3,4,0)
m-n_16
所以COS(〃2,")=
|m|-|/?|25'
由題知二面角A|-BC|-B|為銳角,所以二面角ArBCrBt的余弦值為3.
25
(III)設(shè)。(x,y,z)是直線BG上的一點,且BD=£BC;.
所以(乂、-3,2)=幾(4,一3,4),解得x=44,y=3-32,z=4/l,所以
AD=(4A,3-3A,4/l).
9
由AZ>43=0,即9-25/1=0,解得丸=石.
9r1BD.9
因為gw0,1,所以在線段8G上存在點D,使得AOJL4B,此時力7=4=玄.
25^CIZJ
(4)由(II)知,設(shè)平面A/G的法向量為〃=(。,4,3),=(o,3,O)
II1212
直線AB與平面AjBCj所成角為6,則sin0=|cos<AB,n>\=------L=--=—
|A31|n|5x315
12
直線AB與平面ABe1所成角的正弦值為—
(5)由(II)知,設(shè)平面4陽的法向量為〃=(°,4,3),他=(0,3,0)
\AB-n\4x3
點A到平面ABG的距離d=J-----=——=4.
3
所以點A到平面aBQ的距離為4
3.解析:(I)證明:連結(jié)80交AC于點0,連結(jié)OE.:底面ABC。為矩形,
工點0為3。的中點,又E為P。的中點,???O石//依,???OEu平面A石。,PBa
平面AEC,.**尸8〃平面AEC.
(II)以A為原點,直線AB、AD.AP分別為x、y、z軸建立
空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,則0(0,6,0),A(0,0,0),
E(O,g,g),C(a,V3,0),AE=(O§,;),AC=(a,6o),
A口6J
n?AE=——y+—z=0n
設(shè)〃=(x,y,z)是平面AEC的法向量,貝心2,2
n-AC=ax+6y=0
a
y=
解得:A/3,令x=g\得n=(6,-a,a),
-5/3y
Z=
_1
又???AB=(a,0,0)是平面AE£>的一個法向量,,|cos<A8,">b=cos60——,
a」3+4『2
解得。=士3
2
1111131上
?'-V£.Aa)=-x-x|AD|x|CD|x-|AP|=-x-—x——=----
228
4(2023年天津).如圖,AD//6C且AO=2BC,4。_1。。,或;//4)且£6=">,
CD/IFGaCEX2FG,OG,平面ABC。,DA=DC=DG=2.
(I)若M為C尸的中點,N為EG的中點,求證:MN平面CQE;
(II)求二面角E-BC-尸的正弦值;
(III)若點P在線段DG上,且直線BP與平面AOGE所成的角為
60°,求線段DP的長
E
B
A
4.解:依題意,可以建立以。為原點,
分別以D4,DCDG的方向為%軸,V軸,z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),
可得。(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),
3
E(2,0,2),尸(0,1,2),G(0,0,2),M(0,—,1),N(1,0,2).
2
(I)依題意£>。=(0,2,0),DE=(2,0,2).
設(shè)〃o=(x,y,z)為平面CCE的法向量,
n.,■DC-0,[2y=0,
則《即《'
n0-DE=0>[2x+2z=0,
不妨令z=-l,可得"o=(1>0,-1).
3
又MN=(1,1),可得MN?公=0,
又因為直線平面CDE,所以MN〃平面CDE.
(II)依題意,可得BC=(-1.0,0),BE=(l,-2,2),
CF=<0,-1,2).
設(shè)〃=(x,y,z)為平面BCE的法向量,
〃BC=0,—x=0,
則《即《
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