2023年高二數(shù)學(xué)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

2023年高二數(shù)學(xué)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

?必過教材關(guān)

1.異面直線所成角：

設(shè)異面直線”，分所成的角為仇則8s3瑞,其中Q,b分別是直線a,。的方向向量.

2.直線與平面所成角

如圖所示，設(shè)/為平面a的斜線，/Ca=4,a為/的方向向量，"為平面

a的法向量，夕為，與a所成的角，則sinp=|cos(a,n)

3.二面角

(1)若AB,CD分別是二面角a-1-p的兩個平面內(nèi)與棱I垂直的異面直線，則二面角(或其補

角)的大小就是向量了言與而的夾角，如圖(1).

圖⑶

平面a與/相交于直線/,平面a的法向量為"1,平面”的法向量為"2,(ni,n2)=仇則

二面角a-//為，或7t一仇設(shè)二面角大小為夕，貝！||cos0|=|cosO|=^如圖⑵⑶.

I.(2023年全國2)直三棱柱ABC-A向G中，NBCA=90。，M,N分別是4B”4cl的中

點，BC=CA=CC\,則與AN所成的角的余弦值為()

A.J-B.2C.叵D.正

105102

2.(2023年北京)如圖，在三棱柱ABC-AIBIC中，AACC是邊長為4的正方形.

平面ABCJ_平面AAiCiC,AB=3,BC=5.

(I)求證：AAi_L平面ABC；

(II)求二面角AI-BC!-BI的余弦值；

BD

(III)證明：在線段BG存在點D,使得ADLAiB,并求的值.

(4)求直線A3與平面A8G所成角的正弦值：

⑸求點A到平面48G的距離.

3.（2023年全國2）如圖，四棱錐P-ABCO中，底面ABCQ為矩形，必，平面ABC。，E為

的中點.

4（2023年天津）.如圖，AD//3C且A3=2BC,AO_LCr>,￡G/M/MiEG=A。,

CD/IFG且CD=2FG,0GJ?平面ABC。，DA=DC=DG=2.

（I）若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：MN|平面COE；

（II）求二面角E—8C—尸的正弦值;

（III）若點P在線段DG上，且直線BP與平面AOGE所成的角為60°,求線段DP的長

2023年高二數(shù)學(xué)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用答案

1.（2023年全國2）直三棱柱中，ZBCA=90°,M,N分別是4囪，4G的中

點，BC=CA=CC\,則與4N所成的角的余弦值為（）

A.J-B.2C.叵D.也

105102

1.解析C：取BC的中點P,連結(jié)NP、AP,,：M,N分別是A|B|,4G的

中點，四邊形NMBP為平行四邊形，...BW/PN,.?.所求角的余弦值

等于NANP的余弦值,不妨令BC=CA=CCi=2,則AN=AP=也，NP=MB=

瓜?

『訴2+(府一詆2回

2X|AN|-|NP|__2x75x76"lo"

【另解】如圖建立坐標(biāo)系，令A(yù)C=BC=CiC=2,則以0,2,2),8(2,0,2),^(1,1,0),N[0,1,0),

BMAN0-1+4_V30

BM=(一1,1,一2),AN=(0,-1,-2),cos。=

18MHA7V|向6一10

選C

2.證明：（I）因為AAG。為正方形，所以AA~LAC.

因為平面ABCJ_平面AAlCiC,,且平面ABCC平面AA〕CiC=AC，

所以AR_L平面ABC.

(II)由(I)知，AA|_LAC,A%±AB.

由題意知A8=3,BC=5,AC=4,所以AB_LAC.

如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一孫z,則

3（0,3,0）,A（0,0,4）,4（0,3,4）,G（4,0,4）.

/、n-A,B=0,3y—4z=0,

設(shè)平面4BG的法向量為〃=(x,y,z),則{即{；_「

n-A}C}-0.4x=U,

令z=3,則x=0,y=4,所以〃=(0,4,3).

設(shè)平面48G的法向量為加=(x,y,z)，則相.幽=0,如=0

即4z=0,

-4x+3y-4z=0,

可得，平面⑸8G的法向量為加=(3,4,0)

m-n_16

所以COS（〃2,"）=

|m|-|/?|25'

由題知二面角A|-BC|-B|為銳角，所以二面角ArBCrBt的余弦值為3.

25

(III)設(shè)。(x,y,z)是直線BG上的一點，且BD=￡BC；.

所以（乂、-3,2）=幾（4,一3,4）,解得x=44,y=3-32,z=4/l,所以

AD=（4A,3-3A,4/l）.

9

由AZ>43=0,即9-25/1=0,解得丸=石.

9r1BD.9

因為gw0,1,所以在線段8G上存在點D,使得AOJL4B,此時力7=4=玄.

25^CIZJ

（4）由（II）知，設(shè)平面A/G的法向量為〃=（。，4,3）,=（o,3,O）

II1212

直線AB與平面AjBCj所成角為6,則sin0=|cos<AB,n>\=------L=--=—

|A31|n|5x315

12

直線AB與平面ABe1所成角的正弦值為—

（5）由（II）知，設(shè)平面4陽的法向量為〃=（°，4,3）,他=（0,3,0）

\AB-n\4x3

點A到平面ABG的距離d=J-----=——=4.

3

所以點A到平面aBQ的距離為4

3.解析：(I)證明：連結(jié)80交AC于點0,連結(jié)OE.：底面ABC。為矩形,

工點0為3。的中點，又E為P。的中點，???O石//依，???OEu平面A石。，PBa

平面AEC,.**尸8〃平面AEC.

(II)以A為原點，直線AB、AD.AP分別為x、y、z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a,則0(0,6,0),A(0,0,0),

E(O,g,g),C(a,V3,0),AE=(O§,；),AC=(a,6o),

A口6J

n?AE=——y+—z=0n

設(shè)〃=(x,y,z)是平面AEC的法向量，貝心2,2

n-AC=ax+6y=0

a

y=

解得：A/3,令x=g\得n=(6,-a,a)，

-5/3y

Z=

_1

又???AB=(a,0,0)是平面AE￡>的一個法向量，，|cos<A8,">b=cos60——,

a」3+4『2

解得。=士3

2

1111131上

?'-V￡.Aa)=-x-x|AD|x|CD|x-|AP|=-x-—x——=----

228

4(2023年天津).如圖，AD//6C且AO=2BC,4。_1。。，或；//4)且￡6=">,

CD/IFGaCEX2FG,OG,平面ABC。，DA=DC=DG=2.

(I)若M為C尸的中點，N為EG的中點，求證：MN平面CQE；

(II)求二面角E-BC-尸的正弦值;

(III)若點P在線段DG上，且直線BP與平面AOGE所成的角為

60°,求線段DP的長

E

B

A

4.解：依題意，可以建立以。為原點，

分別以D4，DCDG的方向為％軸，V軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),

可得。(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),

3

E(2,0,2),尸(0,1,2),G(0,0,2),M(0,—，1),N(1,0,2).

2

(I)依題意￡>。=(0,2,0),DE=(2,0,2).

設(shè)〃o=(x,y,z)為平面CCE的法向量,

n.,■DC-0,[2y=0,

則《即《'

n0-DE=0>[2x+2z=0,

不妨令z=-l,可得"o=(1>0,-1).

3

又MN=(1，1)，可得MN?公=0,

又因為直線平面CDE,所以MN〃平面CDE.

(II)依題意，可得BC=(-1.0,0),BE=(l,-2,2),

CF=<0,-1,2).

設(shè)〃=(x,y,z)為平面BCE的法向量,

〃BC=0,—x=0,

則《即《