人版九年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）圓知識(shí)點(diǎn)歸納和練習(xí)含答案

/圓24.1.1圓知識(shí)點(diǎn)一圓的定義圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi).線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周.另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O叫作圓心.線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O.半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的.第二種是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義.但是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng).也就確定了圓。知識(shí)點(diǎn)二圓的相關(guān)概念〔1弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑?！?弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧.簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧.每一條弧都叫做半圓?！?等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓?！?等?。涸谕瑘A或等圓中.能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段.弧是曲線.判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中.只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧.而不是長(zhǎng)度相等的弧。24.1.2垂直于弦的直徑知識(shí)點(diǎn)一圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形.任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)二垂徑定理〔1垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦.并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖所示.直徑為CD.AB是弦.且CD⊥AB.CMAM=BMAB垂足為MAC=BCAD=BDD垂徑定理的推論：平分弦〔不是直徑的直徑垂直于弦.并且平分弦所對(duì)的兩條弧如上圖所示.直徑CD與非直徑弦AB相交于點(diǎn)M.CD⊥ABAM=BMAC=BCAD=BD注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分.所以垂徑定理的推論中.被平分的弦必須不是直徑.否則結(jié)論不成立。24.1.3弧、弦、圓心角知識(shí)點(diǎn)弦、弧、圓心角的關(guān)系〔1弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中.相等的圓心角所對(duì)的弧相等.所對(duì)的弦也相等?！?在同圓或等圓中.如果兩個(gè)圓心角.兩條弧.兩條弦中有一組量相等.那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。〔3注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件.如果丟掉這個(gè)條件.即使圓心角相等.所對(duì)的弧、弦也不一定相等.比如兩個(gè)同心圓中.兩個(gè)圓心角相同.但此時(shí)弧、弦不一定相等。24.1.4圓周角知識(shí)點(diǎn)一圓周角定理〔1圓周角定理：在同圓或等圓中.同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半?！?圓周角定理的推論：半圓〔或直徑所對(duì)的圓周角是直角.90°的圓周角所對(duì)弦是直徑?！?圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系。"同弧或等弧"是不能改為"同弦或等弦"的.否則就不成立了.因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類。知識(shí)點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形.這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。24.2點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系〔1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外.點(diǎn)在圓上.點(diǎn)在圓內(nèi)三種?！?用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)⊙O的半徑是r.點(diǎn)P到圓的距離OP=d.則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)p在圓上d=r；點(diǎn)p在圓內(nèi)d＜r。知識(shí)點(diǎn)二過(guò)已知點(diǎn)作圓〔1經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓〔如點(diǎn)A以點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)〔如點(diǎn)O為圓心.以O(shè)A為半徑作圓即可.如圖.這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)?！1·O2·O3〔2經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓〔如點(diǎn)A、B以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)〔如點(diǎn)O為圓心.以O(shè)A〔或OB為半徑作圓即可.如圖.這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。AB〔3經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.即經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓.且只能作一個(gè)圓。如經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C作圓.作法：連接AB、BC〔或AB、AC或BC、AC并作它們的垂直平分線.兩條垂直平分線相交于點(diǎn)O.以點(diǎn)O為圓心.以O(shè)A〔或OB、OC的長(zhǎng)為半徑作圓即可.如圖.這樣的圓只能作一個(gè)。③AOBC知識(shí)點(diǎn)三三角形的外接圓與外心〔1經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓.這個(gè)圓叫做三角形的外接圓?！?外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn).叫做這個(gè)三角形的外心。知識(shí)點(diǎn)四反證法〔1反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立.經(jīng)過(guò)推理得出矛盾.由矛盾斷定所作假設(shè)不正確.從而得到原命題成立.這種證明命題的方法叫做反證法?！?反證法的一般步驟：假設(shè)命題的結(jié)論不成立；從假設(shè)出發(fā).經(jīng)過(guò)邏輯推理.推出或與定義.或與公理.或與定理.或與已知等相矛盾的結(jié)論；由矛盾判定假設(shè)不正確.從而得出原命題正確。24.2.2直線和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系〔1直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種?！?直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)⊙O的半徑是r.直線l與圓心0的距離為d.則有：直線l和⊙O相交d＜r；直線l和⊙O相切d=r；直線l和⊙O相離d＞r。知識(shí)點(diǎn)二切線的判定和性質(zhì)〔1切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線?！?切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑?！?切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；必過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。知識(shí)點(diǎn)三切線長(zhǎng)定理〔1切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)園外一點(diǎn)作圓的切線.這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng).叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)?！?切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線.它們的切線長(zhǎng)相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角?！?注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念.必須弄清楚切線是直線.是不能度量的；切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng).這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一點(diǎn).另一個(gè)是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn).所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí).過(guò)三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線.必平分三角形的內(nèi)角。24.2.3圓和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系〔1圓與圓的位置關(guān)系有五種：如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn).就說(shuō)這兩個(gè)圓相離.包括外離和內(nèi)含兩種；如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn).就說(shuō)這兩個(gè)圓相切.包括內(nèi)切和外切兩種；③如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn).就說(shuō)這兩個(gè)圓相交?！?圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示：若設(shè)兩圓圓心之間的距離為d.兩圓的半徑分別是r1r2,且r1＜r2.則有兩圓外離d＞r1+r2兩圓外切d=r1+r2兩圓相交2-r1＜d＜r1+r2兩圓內(nèi)切d=r2-r1兩圓內(nèi)含d＜r2-r124.3正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切.把圓分成n〔n是大于2的自然數(shù)等份.順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)〔1正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。〔2所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形.每個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸.每條對(duì)稱軸都經(jīng)過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí).這個(gè)正n邊形也是中心對(duì)稱圖形.正n邊形的中心就是對(duì)稱中心。〔3正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于<n2>180.中心角和外角相等.等于360。nn24.4弧長(zhǎng)和扇形面積nR知識(shí)點(diǎn)一弧長(zhǎng)公式l=180nnR在半徑為R的圓中.360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)C=2πR.所以n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式l=×2πR=。360180知識(shí)點(diǎn)二扇形面積公式nR2在半徑為R的圓中.360°的圓心角所對(duì)的扇形面積就是圓的面積S=πR2.所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形=360。比較扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：nR2nR111S扇形=3601802R2lR,所以s扇形2lR知識(shí)點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積是曲面.沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開(kāi).容易得到圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l.底面圓的半徑為r.那么這個(gè)扇形的半徑為l.扇形的弧長(zhǎng)為2πr.因此圓錐的側(cè)面積s圓錐側(cè)122rlrl。圓錐的全面積為s圓錐全s圓錐側(cè)s底rlr2。練習(xí)：一．選擇題〔共10小題1．下列說(shuō)法.正確的是〔A．弦是直徑B．弧是半圓C．半圓是弧D．過(guò)圓心的線段是直徑2．如圖.在半徑為5cm的⊙O中.弦AB=6cm.OC⊥AB于點(diǎn)C.則OC=〔A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm〔2題圖〔3題圖〔4題圖〔5題圖〔8題圖3．一個(gè)隧道的橫截面如圖所示.它的形狀是以點(diǎn)O為圓心.5為半徑的圓的一部分.M是⊙O中弦CD的中點(diǎn).EM經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)E．若CD=6.則隧道的高〔ME的長(zhǎng)為〔A．4B．6C．8D．94．如圖.AB是⊙O的直徑.==.∠COD=34°.則∠AEO的度數(shù)是〔A．51°B．56°C．68°D．78°5．如圖.在⊙O中.弦AC∥半徑OB.∠BOC=50°.則∠OAB的度數(shù)為〔A．25°B．50°C．60°D．30°6．⊙O的半徑為5cm.點(diǎn)A到圓心O的距離OA=3cm.則點(diǎn)A與圓O的位置關(guān)系為〔A．點(diǎn)A在圓上B．點(diǎn)A在圓內(nèi)C．點(diǎn)A在圓外D．無(wú)法確定7．已知⊙O的直徑是10.圓心O到直線l的距離是5.則直線l和⊙O的位置關(guān)系是〔A．相離B．相交C．相切D．外切8．如圖.正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O.半徑為4.則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和的長(zhǎng)分別為〔A．2.B．2.πC．.D．2.9．如圖.四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形.⊙O的半徑為2.∠B=135°.則的長(zhǎng)〔A．2πB．πC．D．10．如圖.直徑AB為12的半圓.繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.此時(shí)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B′.則圖中陰影部分的面積是〔A．12πB．24πC．6πD．36π二．填空題〔共10小題11．如圖.AB是⊙O的直徑.CD為⊙O的一條弦.CD⊥AB于點(diǎn)E.已知CD=4.AE=1.則⊙O的半徑為．〔9題圖〔10題圖〔11題圖〔12題圖12．如圖.在△ABC中.∠C=90°.∠A=25°.以點(diǎn)C為圓心.BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D.交AC于點(diǎn)E.則的度數(shù)為．13．如圖.四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O.AB為⊙O的直徑.點(diǎn)C為的中點(diǎn)．若∠A=40°.則∠B=度．〔13題圖〔14題圖〔15題圖〔17題圖14．如圖所示.在平面直角坐標(biāo)系xOy中.半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為〔﹣3.0.將⊙P沿x軸正方向平移.使⊙P與y軸相切.則平移的距離為．15．如圖.點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心.則∠BAO的度數(shù)為．16．已知一條圓弧所在圓半徑為9.弧長(zhǎng)為π.則這條弧所對(duì)的圓心角是．17．如圖.在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中.先以點(diǎn)A為圓心.AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧.再以AB邊的中點(diǎn)為圓心.AB長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)弧.則兩弧之間的陰影部分面積是〔結(jié)果保留π．18．已知圓錐的底面圓半徑為3.母線長(zhǎng)為5.則圓錐的全面積是．19．如果圓柱的母線長(zhǎng)為5cm.底面半徑為2cm.那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是．20．半徑為R的圓中.有一弦恰好等于半徑.則弦所對(duì)的圓心角為．三．解答題〔共5小題21．如圖.已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E.連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F.且CF⊥AD．〔1請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn)；〔2若AB=8.求CD的長(zhǎng)．22．已知：如圖.C.D是以AB為直徑的⊙O上的兩點(diǎn).且OD∥BC．求證：AD=DC．23．如圖.在△ABC中.AB=AC.以AB為直徑的⊙O分別與BC.AC交于點(diǎn)D.E.過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DF.交AC于點(diǎn)F．〔1求證：DF⊥AC；〔2若⊙O的半徑為4.∠CDF=22.5°.求陰影部分的面積．24．如圖.△OAB中.OA=OB=4.∠A=30°.AB與⊙O相切于點(diǎn)C.求圖中陰影部分的面積．〔結(jié)果保留π25．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.根據(jù)圖示的數(shù)據(jù)計(jì)算出該幾何體的表面積．新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二十四章圓單元試題參考答案一．選擇題〔共10小題1．C2．B3．D4．A5．A6．B7．C8．D9．B10．B二．填空題〔共10小題11．12．50°13．7014．1或515．54°16．50°17．2π18．24π19．20πcm220．60°三．解答題〔共5小題21．〔1證明：連接AC.如圖∵直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E.∴.∴AC=AD.∵過(guò)圓心O的線CF⊥AD.∴AF=DF.即CF是AD的中垂線.∴AC=CD.∴AC=AD=CD．即：△ACD是等邊三角形