數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇

第八章數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第1頁。一、算法概述算法的概念算法的特征算法的表示算法的復(fù)雜性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第2頁。1、算法概念：是在有限步驟內(nèi)求解某一問題所使用的一組定義明確的規(guī)則。通俗點(diǎn)說，就是計(jì)算機(jī)解題的過程。在這個(gè)過程中，無論是形成解題思路還是編寫程序，都是在實(shí)施某種算法。前者是推理實(shí)現(xiàn)的算法，后者是操作實(shí)現(xiàn)的算法。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第3頁。2、算法特征一個(gè)算法應(yīng)該具有以下五個(gè)重要的特征：

有窮性：

一個(gè)算法必須保證執(zhí)行有限步之后結(jié)束；

確切性：

算法的每一步驟必須有確切的定義；

輸入：一個(gè)算法有0個(gè)或多個(gè)輸入，以刻畫運(yùn)算對(duì)象的初始情況，所謂0個(gè)輸入是指算法本身定除了初始條件；

輸出：一個(gè)算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，以反映對(duì)輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果。沒有輸出的算法是毫無意義的；

可行性：

算法原則上能夠精確地運(yùn)行，而且人們用筆和紙做有限次運(yùn)算后即可完成。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第4頁。3、算法表示文字描述用純粹的文件描述一個(gè)算法。優(yōu)點(diǎn)較易理解，缺點(diǎn)是難于用計(jì)算機(jī)語言實(shí)現(xiàn)。程序流程圖用圖形的方式描述算法過程。優(yōu)點(diǎn)是較為直觀，缺點(diǎn)與具體語言相關(guān)，編寫代碼不易。程序源代碼寫出的算法。優(yōu)點(diǎn)是能直接運(yùn)行，缺點(diǎn)是難于閱讀。偽語言用類似程序語言的風(fēng)格寫出算法，克服了上述各種方法的缺點(diǎn)。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第5頁。3、算法的復(fù)雜性（算法效率）時(shí)間上即描述算法在執(zhí)行中的運(yùn)行效率，原則上要求算法盡可能地少花時(shí)間，即在短時(shí)間內(nèi)得到結(jié)果，一個(gè)算法的時(shí)間效率與該算法處理的問題的規(guī)模及算法程序中的循環(huán)與遞歸的量有關(guān)。一般而言，規(guī)模越大，處理所花的時(shí)間就越長(zhǎng)；算法中循環(huán)與遞歸越多，效率就成指數(shù)級(jí)下降?？臻g上即算法在運(yùn)行中消耗的存儲(chǔ)容量。原則上要求算法盡可能地少占用存儲(chǔ)單元。時(shí)空上，程序算法是一個(gè)矛盾的對(duì)立統(tǒng)一。一般來說，兩者成反比。有時(shí)是以空間換效率，有時(shí)用犧牲效率換空間，視具體情形而言數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第6頁。二、程序流程圖N－S盒圖PAD圖程序流程圖E－R圖數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第7頁。1、N－S盒圖N-S圖也被稱為盒圖或CHAPIN圖。

流程圖由一些特定意義的圖形、流程線及簡(jiǎn)要的文字說明構(gòu)成，它能清晰明確地表示程序的運(yùn)行過程。在使用過程中，人們發(fā)現(xiàn)流程線不一定是必需的，為此，人們?cè)O(shè)計(jì)了一種新的流程圖，它把整個(gè)程序?qū)懺谝粋€(gè)大框圖內(nèi)，這個(gè)大框圖由若干個(gè)小的基本框圖構(gòu)成，這種流程圖簡(jiǎn)稱N-S圖.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第8頁。N-S圖結(jié)構(gòu)1.順序結(jié)構(gòu)N-S圖2.選擇結(jié)構(gòu)N-S圖AB條件真假A塊B塊3.循環(huán)結(jié)構(gòu)N-S圖1)當(dāng)型循環(huán)

2)直到型循環(huán)循環(huán)體當(dāng)條件為真時(shí)循環(huán)體直到條件為真時(shí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第9頁。PAD圖PAD是問題分析圖（ProblemAnalysisDiagram）的英文縮寫，自1973年由日立公司發(fā)明以來，已經(jīng)得到一定程度的推廣。它用二維數(shù)形結(jié)構(gòu)的圖表示程序的控制流，將這種圖轉(zhuǎn)換為程序代碼比較容易。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第10頁。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第11頁。程序流程圖

1．

程序流程圖的作用

程序流程圖是人們對(duì)解決問題的方法、思路或算法的一種描述。

2．

流程圖采用的符號(hào)

（1）起始框

（2）終止框

（3）執(zhí)行框

（4）判別框

（5）進(jìn)程框（6）數(shù)據(jù)框

主要元素：

（1）方框：表示一個(gè)處理步驟

（2）菱形框：表示一個(gè)邏輯條件

（3）箭頭：表示控制流向數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第12頁。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第13頁。E-R圖即實(shí)體-聯(lián)系圖(EntityRelationshipDiagram)，提供了表示實(shí)體型、屬性和聯(lián)系的方法，用來描述現(xiàn)實(shí)世界的概念模型。

構(gòu)成E-R圖的基本要素是實(shí)體型、屬性和聯(lián)系，其表示方法為：

·實(shí)體型(Entity)：用矩形表示，矩形框內(nèi)寫明實(shí)體名；比如學(xué)生張三豐、學(xué)生李尋歡都是實(shí)體。如果是弱實(shí)體的話，在矩形外面再套實(shí)線矩形。

·屬性(Attribute)：用橢圓形表示，并用無向邊將其與相應(yīng)的實(shí)體連接起來；比如學(xué)生的姓名、學(xué)號(hào)、性別、都是屬性。如果是多值屬性的話，再橢圓形外面再套實(shí)線橢圓。如果是派生屬性則用虛線橢圓表示。

·聯(lián)系(Relationship)：用菱形表示，菱形框內(nèi)寫明聯(lián)系名，并用無向邊分別與有關(guān)實(shí)體連接起來，同時(shí)在無向邊旁標(biāo)上聯(lián)系的類型（1:1，1:n或m:n）。

比如老師給學(xué)生授課存在授課關(guān)系，學(xué)生選課存在選課關(guān)系。如果是弱實(shí)體的聯(lián)系則在菱形外面再套菱形。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第14頁。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第15頁。三、程序算法要使計(jì)算機(jī)能完成人們預(yù)定的工作，首先必須為如何完成預(yù)定的工作設(shè)計(jì)一個(gè)算法，然后再根據(jù)算法編寫程序。計(jì)算機(jī)程序要對(duì)問題的每個(gè)對(duì)象和處理規(guī)則給出正確詳盡的描述，其中程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量用來描述問題的對(duì)象，程序結(jié)構(gòu)、函數(shù)和語句用來描述問題的算法。算法，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是程序的兩個(gè)重要方面。算法是問題求解過程的精確描述，一個(gè)算法由有限條可完全機(jī)械地執(zhí)行的、有確定結(jié)果的指令組成。指令正確地描述了要完成的任務(wù)和它們被執(zhí)行的順序。計(jì)算機(jī)按算法指令所描述的順序執(zhí)行算法的指令能在有限的步驟內(nèi)終止，或終止于給出問題的解，或終止于指出問題對(duì)此輸入數(shù)據(jù)無解。通常求解一個(gè)問題可能會(huì)有多種算法可供選擇，選擇的主要標(biāo)準(zhǔn)是算法的正確性和可靠性，簡(jiǎn)單性和易理解性。其次是算法所需要的存儲(chǔ)空間少和執(zhí)行更快等。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第16頁。

主要算法：迭代法窮舉搜索法遞推法貪婪法回溯法分治法動(dòng)態(tài)規(guī)劃法etc數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第17頁。1、迭代法迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計(jì)方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價(jià)的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：（1）選一個(gè)方程的近似根，賦給變量x0；（2）將x0的值保存于變量x1，然后計(jì)算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0；（3）當(dāng)x0與x1的差的絕對(duì)值還小于指定的精度要求時(shí)，重復(fù)步驟（2）的計(jì)算。若方程有根，并且用上述方法計(jì)算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第18頁?！舅惴ā康ㄇ蠓匠痰母鵾x0=初始近似根；do{x1=x0；x0=g(x1)；/*按特定的方程計(jì)算新的近似根*/}while(fabs(x0-x1)>Epsilon)；printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第19頁。2、窮舉搜索法窮舉搜索法是對(duì)可能是解的眾多候選解按某種順序進(jìn)行逐一枚舉和檢驗(yàn)，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解?！締栴}】將A、B、C、D、E、F這六個(gè)變量排成如圖所示的三角形，這六個(gè)變量分別取[1，6]上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個(gè)解。程序引入變量a、b、c、d、e、f，并讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不相同的條件下，測(cè)試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，把它們輸出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細(xì)節(jié)見下面的程序。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第20頁。【程序1】#includevoidmain(){inta,b,c,d,e,f;for(a=1;a<=6;a++)for(b=1;b<=6;b++){if(b==a)continue;for(c=1;c<=6;c++){if(c==a)||(c==b)continue;for(d=1;d<=6;d++){if(d==a)||(d==b)||(d==c)continue;for(e=1;e<=6;e++){if(e==a)||(e==b)||(e==c)||(e==d)continue;f=21-(a+b+c+d+e);if((a+b+c==c+d+e))&&(a+b+c==e+f+a)){printf(“%6d,a);printf(“%4d%4d”,b,f);printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);scanf(“%*c”);}}}}}}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第21頁。3、遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求問題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時(shí)，解或?yàn)橐阎?，或能非常方便地得到解。能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，…，i-1的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第22頁。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。{intn,i,box_count,box_volume,*a;它的一般的算法設(shè)計(jì)模式如下：{intk,i=strlen(a),j=strlen(b);時(shí)空上，程序算法是一個(gè)矛盾的對(duì)立統(tǒng)一。算法是問題求解過程的精確描述，一個(gè)算法由有限條可完全機(jī)械地執(zhí)行的、有確定結(jié)果的指令組成。A＝B＝C，A＝B＜C，A＜B＝C，A＜B＜C，A＜C＜B，A＝C＜B，B＜A＝C，輸出：一個(gè)算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，以反映對(duì)輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果。它用二維數(shù)形結(jié)構(gòu)的圖表示程序的控制流，將這種圖轉(zhuǎn)換為程序代碼比較容易。這時(shí)只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結(jié)點(diǎn)（1，2，3）回溯到結(jié)點(diǎn)（1，2）。elseif(c[i-1][j]>=c[i][j-1])其次是算法所需要的存儲(chǔ)空間少和執(zhí)行更快等。優(yōu)點(diǎn)是較為直觀，缺點(diǎn)與具體語言相關(guān)，編寫代碼不易。這時(shí)只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結(jié)點(diǎn)（1，2，3）回溯到結(jié)點(diǎn)（1，2）。（2）解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問題；如果元素1進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1）結(jié)點(diǎn)；carry=r/10;if(c[i][j]==c[i-1][j])i–;能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，…，i-1的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為I的解。printf(“\n”);yi←Divide-and-Conquer（Pi）△遞歸解決Pi樹T上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；（2）c[i][j]=c[i-1][j-1]+1如果I，j>0，且a[i-1]=b[j-1]；當(dāng)遍歷到葉子結(jié)點(diǎn)（1，2，5）時(shí)，由于它已是一個(gè)回答結(jié)點(diǎn)，則保存（或輸出）該結(jié)點(diǎn)，并回溯到其雙親結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)深度遍歷；問題描述：編寫程序，對(duì)給定的n（n≦100），計(jì)算并輸出k的階乘k！以下先用實(shí)例說明動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的使用。3、回溯法的一般流程和技術(shù)計(jì)算機(jī)程序要對(duì)問題的每個(gè)對(duì)象和處理規(guī)則給出正確詳盡的描述，其中程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量用來描述問題的對(duì)象，程序結(jié)構(gòu)、函數(shù)和語句用來描述問題的算法。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。for(q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link);【問題】階乘計(jì)算問題描述：編寫程序，對(duì)給定的n（n≦100），計(jì)算并輸出k的階乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效數(shù)字。由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)，存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)數(shù)組的每個(gè)元素只存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a[]存儲(chǔ)：N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+…+a[2]×101+a[1]×100并用a[0]存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)N的位數(shù)m，即a[0]=m。按上述約定，數(shù)組的每個(gè)元素存儲(chǔ)k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個(gè)元素、第三個(gè)元素……。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲(chǔ)形式為：3021……首元素3表示長(zhǎng)整數(shù)是一個(gè)3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。計(jì)算階乘k！可采用對(duì)已求得的階乘(k-1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計(jì)算5！，可對(duì)原來的24累加4次24后得到120。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第23頁。#include#include#defineMAXN1000voidpnext(inta[],intk){int*b,m=a[0],i,j,r,carry;b=(int*)malloc(sizeof(int)*(m+1));for(i=1;i<=m;i++)b[i]=a[i];for(j=1;j<=k;j++){for(carry=0,i=1;i<=m;i++){r=(ia[i]=r%10;carry=r/10;}if(carry)a[++m]=carry;}free(b);a[0]=m;}voidwrite(int*a,intk){inti;printf(“%4d！=”,k);for(i=a[0];i>0;i–)printf(“%d”,a[i]);printf(“\n\n”);}voidmain(){inta[MAXN],n,k;printf(“Enterthenumbern:“);scanf(“%d”,&n);a[0]=1;a[1]=1;write(a,1);for(k=2;k<=n;k++){pnext(a,k);write(a,k);getchar();}}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第24頁。4、遞歸是設(shè)計(jì)和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進(jìn)一步介紹其他算法設(shè)計(jì)方法之前先討論它。能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問題，然后從這些小問題的解方便地構(gòu)造出大問題的解，并且這些規(guī)模較小的問題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問題，并從這些更小問題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模N=1時(shí)，能直接得解。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第25頁?！締栴}】編寫計(jì)算斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第n項(xiàng)函數(shù)fib（n）。斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、……，即：fib(0)=0;fib(1)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)（當(dāng)n>1時(shí)）。寫成遞歸函數(shù)有：intfib(intn){if(n==0)return0;if(n==1)return1;if(n>1)returnfib(n-1)+fib(n-2);}遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個(gè)階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡(jiǎn)單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計(jì)算fib(n)，必須先計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，而計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計(jì)算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計(jì)算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。在回歸階段，當(dāng)獲得最簡(jiǎn)單情況的解后，逐級(jí)返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第26頁。5、回溯法回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)，該候選解就是問題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第27頁。1）、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問題P，通常要能表達(dá)為：對(duì)于已知的由n元組（x1，x2，…，xn）組成的一個(gè)狀態(tài)空間E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si，i=1，2，…，n}，給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且|Si|有限，i=1，2，…，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個(gè)解。解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E中的所有n元組逐一地檢測(cè)其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，…，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，…，xi的所有約束意味著j（jj。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的問題P，一旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（x1，x2，…，xj）違反D中僅涉及x1，x2，…，xj的一個(gè)約束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不會(huì)是問題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們?；厮莘ㄕ轻槍?duì)這類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第28頁?；厮莘ㄊ紫葘栴}P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T，把在E中求問題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造：設(shè)Si中的元素可排成xi(1)，xi(2)，…，xi(mi-1)，|Si|=mi，i=1，2，…，n。從根開始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1(1)，xi+1(2)，…，xi+1(mi)，i=0，1，2，…，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（x1，x2，…，xn）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，對(duì)于任意的0≤i≤n-1，E中n元組（x1，x2，…，xn）的一個(gè)前綴I元組（x1，x2，…，xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xi，反之亦然。特別，E中的任意一個(gè)n元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。因而，在E中尋找問題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)x1，x2，…，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元組（x1，x2）、…，前綴I元組（x1，x2，…，xi），…，直到i=n為止。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第29頁。在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問題P的一個(gè)解?！締栴}】組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：（1）1、2、3（2）1、2、4（3）1、2、5（4）1、3、4（5）1、3、5（6）1、4、5（7）2、3、4（8）2、3、5（9）2、4、5（10）3、4、5則該問題的狀態(tài)空間為：E={（x1，x2，x3）∣xi∈S，i=1，2，3}其中：S={1，2，3，4，5}約束集為：x1顯然該約束集具有完備性。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第30頁。2）、回溯法的方法對(duì)于具有完備約束集D的一般問題P及其相應(yīng)的狀態(tài)空間樹T，利用T的層次結(jié)構(gòu)和D的完備性，在T中搜索問題P的所有解的回溯法可以形象地描述為：從T的根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略，系統(tǒng)地搜索以其為根的子樹中可能包含著回答結(jié)點(diǎn)的所有狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，而跳過對(duì)肯定不含回答結(jié)點(diǎn)的所有子樹的搜索，以提高搜索效率。具體地說，當(dāng)搜索按深度優(yōu)先策略到達(dá)一個(gè)滿足D中所有有關(guān)約束的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)時(shí)，即“激活”該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，以便繼續(xù)往深層搜索；否則跳過對(duì)以該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)為根的子樹的搜索，而一邊逐層地向該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)的祖先結(jié)點(diǎn)回溯，一邊“殺死”其兒子結(jié)點(diǎn)已被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，直到遇到其兒子結(jié)點(diǎn)未被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，即轉(zhuǎn)向其未被搜索的一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)繼續(xù)搜索。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第31頁。在搜索過程中，只要所激活的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)又滿足終結(jié)條件，那么它就是回答結(jié)點(diǎn)，應(yīng)該把它輸出或保存。由于在回溯法求解問題時(shí)，一般要求出問題的所有解，因此在得到回答結(jié)點(diǎn)后，同時(shí)也要進(jìn)行回溯，以便得到問題的其他解，直至回溯到T的根且根的所有兒子結(jié)點(diǎn)均已被搜索過為止。例如在組合問題中，從T的根出發(fā)深度優(yōu)先遍歷該樹。當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，2）時(shí)，雖然它滿足約束條件，但還不是回答結(jié)點(diǎn)，則應(yīng)繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到葉子結(jié)點(diǎn)（1，2，5）時(shí)，由于它已是一個(gè)回答結(jié)點(diǎn)，則保存（或輸出）該結(jié)點(diǎn)，并回溯到其雙親結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，5）時(shí)，由于它已是葉子結(jié)點(diǎn)，但不滿足約束條件，故也需回溯。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第32頁。3、回溯法的一般流程和技術(shù)在用回溯法求解有關(guān)問題的過程中，一般是一邊建樹，一邊遍歷該樹。在回溯法中我們一般采用非遞歸方法。下面，我們給出回溯法的非遞歸算法的一般流程：在用回溯法求解問題，也即在遍歷狀態(tài)空間樹的過程中，如果采用非遞歸方法，則我們一般要用到棧的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這時(shí)，不僅可以用棧來表示正在遍歷的樹的結(jié)點(diǎn)，而且可以很方便地表示建立孩子結(jié)點(diǎn)和回溯過程。例如在組合問題中，我們用一個(gè)一維數(shù)組Stack[]表示棧。開始?？眨瑒t表示了樹的根結(jié)點(diǎn)。如果元素1進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1）結(jié)點(diǎn)；這時(shí)如果元素2進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2）結(jié)點(diǎn)；元素3再進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2，3）結(jié)點(diǎn)。這時(shí)可以判斷它滿足所有約束條件，是問題的一個(gè)解，輸出（或保存）。這時(shí)只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結(jié)點(diǎn)（1，2，3）回溯到結(jié)點(diǎn)（1，2）。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第33頁。【問題】組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1，2，…，n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。采用回溯法找問題的解，將找到的組合以從小到大順序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，組合的元素滿足以下性質(zhì)：（1）a[i+1]>a[i]，后一個(gè)數(shù)字比前一個(gè)大；（2）a[i]-i<=n-r+1。按回溯法的思想，找解過程可以敘述如下：首先放棄組合數(shù)個(gè)數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個(gè)數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴(kuò)大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個(gè)解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個(gè)候選解，因a[2]上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對(duì)5不能再作調(diào)整，就要從a[2]回溯到a[1]，這時(shí)，a[1]=2，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a[0]再回溯時(shí)，說明已經(jīng)找完問題的全部解。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第34頁?！境绦颉?defineMAXN100inta[MAXN];voidcomb(intm,intr){inti,j;i=0;a[i]=1;do{if(a[i]-i<=m-r+1{if(i==r-1){for(j=0;jprintf(“%4d”,a[j]);printf(“\n”);}a[i]++;continue;}else{if(i==0)return;a[--i]++;}}while(1)}main(){comb(5,3);}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第35頁。六、貪婪法貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費(fèi)的大量時(shí)間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯。例如平時(shí)購(gòu)物找錢時(shí)，為使找回的零錢的硬幣數(shù)最少，不考慮找零錢的所有各種發(fā)表方案，而是從最大面值的幣種開始，按遞減的順序考慮各幣種，先盡量用大面值的幣種，當(dāng)不足大面值幣種的金額時(shí)才去考慮下一種較小面值的幣種。這就是在使用貪婪法。這種方法在這里總是最優(yōu)，是因?yàn)閷?duì)其發(fā)行的硬幣種類和硬幣面值的巧妙安排。如只有面值分別為1、5和11單位的硬幣，而希望找回總額為15單位的硬幣。按貪婪算法，應(yīng)找1個(gè)11單位面值的硬幣和4個(gè)1單位面值的硬幣，共找回5個(gè)硬幣。但最優(yōu)的解應(yīng)是3個(gè)5單位面值的硬幣。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第36頁?！締栴}】裝箱問題問題描述：裝箱問題可簡(jiǎn)述如下：設(shè)有編號(hào)為0、1、…、n-1的n種物品，體積分別為v0、v1、…、vn-1。將這n種物品裝到容量都為V的若干箱子里。約定這n種物品的體積均不超過V，即對(duì)于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的裝箱方案所需要的箱子數(shù)目可能不同。裝箱問題要求使裝盡這n種物品的箱子數(shù)要少。若考察將n種物品的集合分劃成n個(gè)或小于n個(gè)物品的所有子集，最優(yōu)解就可以找到。但所有可能劃分的總數(shù)太大。對(duì)適當(dāng)大的n，找出所有可能的劃分要花費(fèi)的時(shí)間是無法承受的。為此，對(duì)裝箱問題采用非常簡(jiǎn)單的近似算法，即貪婪法。該算法依次將物品放到它第一個(gè)能放進(jìn)去的箱子中，該算法雖不能保證找到最優(yōu)解，但還是能找到非常好的解。不失一般性，設(shè)n件物品的體積是按從大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不滿足上述要求，只要先對(duì)這n件物品按它們的體積從大到小排序，然后按排序結(jié)果對(duì)物品重新編號(hào)即可。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第37頁。裝箱算法簡(jiǎn)單描述如下：{輸入箱子的容積；輸入物品種數(shù)n；按體積從大到小順序，輸入各物品的體積；預(yù)置已用箱子鏈為空；預(yù)置已用箱子計(jì)數(shù)器box_count為0；for(i=0;i{從已用的第一只箱子開始順序?qū)ふ夷芊湃胛锲穒的箱子j；if（已用箱子都不能再放物品i）{另用一個(gè)箱子，并將物品i放入該箱子；box_count++；}else將物品i放入箱子j；}}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第38頁。上述算法能求出需要的箱子數(shù)box_count，并能求出各箱子所裝物品。下面的例子說明該算法不一定能找到最優(yōu)解，設(shè)有6種物品，它們的體積分別為：60、45、35、20、20和20單位體積，箱子的容積為100個(gè)單位體積。按上述算法計(jì)算，需三只箱子，各箱子所裝物品分別為：第一只箱子裝物品1、3；第二只箱子裝物品2、4、5；第三只箱子裝物品6。而最優(yōu)解為兩只箱子，分別裝物品1、4、5和2、3、6。若每只箱子所裝物品用鏈表來表示，鏈表首結(jié)點(diǎn)指針存于一個(gè)結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)記錄尚剩余的空間量和該箱子所裝物品鏈表的首指針。另將全部箱子的信息也構(gòu)成鏈表。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第39頁?！境绦颉?includetypedefstructele{intvno;structele*link;}ELE;typedefstructhnode{intremainder;ELE*head;Structhnode*next;}HNODE;voidmain(){intn,i,box_count,box_volume,*a;HNODE*box_h,*box_t,*j;ELE*p,*q;Printf(“輸入箱子容積\n”);Scanf(“%d”,&box_volume);Printf(“輸入物品種數(shù)\n”);Scanf(“%d”,&n);A=(int*)malloc(sizeof(int)*n);Printf(“請(qǐng)按體積從大到小順序輸入各物品的體積：”);For(i=0;iBox_h=box_t=NULL;Box_count=0;For(i=0;i{p=(ELE*)malloc(sizeof(ELE));p->vno=i;for(j=box_h;j!=NULL;j=j->next)if(j->remainder>=a)break;if(j==NULL){j=(HNODE*)malloc(sizeof(HNODE));j->remainder=box_volume-a;j->head=NULL;if(box_h==NULL)box_h=box_t=j;elsebox_t=boix_t->next=j;j->next=NULL;box_count++;}elsej->remainder-=a;數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第40頁。for(q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link);if(q==NULL){p->link=j->head;j->head=p;}else{p->link=NULL;q->link=p;}}printf(“共使用了%d只箱子”，box_count);printf(“各箱子裝物品情況如下：”);for(j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++){printf(“第%2d只箱子，還剩余容積%4d，所裝物品有；\n”,I,j->remainder);for(p=j->head;p!=NULL;p=p->link)printf(“%4d”,p->vno+1);printf(“\n”);}}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第41頁。七、分治法1、分治法的基本思想任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模N有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對(duì)于n個(gè)元素的排序問題，當(dāng)n=1時(shí)，不需任何計(jì)算；n=2時(shí)，只要作一次比較即可排好序；n=3時(shí)只要作3次比較即可，…。而當(dāng)n較大時(shí)，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。分治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個(gè)擊破，分而治之。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第42頁。2、分治法的適用條件分治法所能解決的問題一般具有以下幾個(gè)特征：（1）該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決；（2）該問題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；（3）利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；（4）該問題所分解出的各個(gè)子問題是相互獨(dú)立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。上述的第一條特征是絕大多數(shù)問題都可以滿足的，因?yàn)閱栴}的計(jì)算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加；第二條特征是應(yīng)用分治法的前提，它也是大多數(shù)問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮貪心法或動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時(shí)雖然可用分治法，但一般用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法較好。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第43頁。3、分治法的基本步驟分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：（1）分解：將原問題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問題形式相同的子問題；（2）解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問題；（3）合并：將各個(gè)子問題的解合并為原問題的解。它的一般的算法設(shè)計(jì)模式如下：Divide_and_Conquer（P）if|P|≤n0thenreturn（ADHOC（P））將P分解為較小的子問題P1、P2、…、Pkfori←1tokdoyi←Divide-and-Conquer（Pi）△遞歸解決PiT←MERGE（y1，y2，…，yk）△合并子問題Return（T）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第44頁。【問題】大整數(shù)乘法問題描述：通常，在分析一個(gè)算法的計(jì)算復(fù)雜性時(shí)，都將加法和乘法運(yùn)算當(dāng)作是基本運(yùn)算來處理，即將執(zhí)行一次加法或乘法運(yùn)算所需的計(jì)算時(shí)間當(dāng)作一個(gè)僅取決于計(jì)算機(jī)硬件處理速度的常數(shù)。這個(gè)假定僅在計(jì)算機(jī)硬件能對(duì)參加運(yùn)算的整數(shù)直接表示和處理時(shí)才是合理的。然而，在某些情況下，我們要處理很大的整數(shù)，它無法在計(jì)算機(jī)硬件能直接表示的范圍內(nèi)進(jìn)行處理。若用浮點(diǎn)數(shù)來表示它，則只能近似地表示它的大小，計(jì)算結(jié)果中的有效數(shù)字也受到限制。若要精確地表示大整數(shù)并在計(jì)算結(jié)果中要求精確地得到所有位數(shù)上的數(shù)字，就必須用軟件的方法來實(shí)現(xiàn)大整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)有效的算法，可以進(jìn)行兩個(gè)n位大整數(shù)的乘法運(yùn)算。設(shè)X和Y都是n位的二進(jìn)制整數(shù)，現(xiàn)在要計(jì)算它們的乘積XY。我們可以用小學(xué)所學(xué)的方法來設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算乘積XY的算法，但是這樣做計(jì)算步驟太多，顯得效率較低。如果將每2個(gè)1位數(shù)的乘法或加法看作一步運(yùn)算，那么這種方法要作O(n2)步運(yùn)算才能求出乘積XY。下面我們用分治法來設(shè)計(jì)一個(gè)更有效的大整數(shù)乘積算法。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第45頁。functionMULT(X，Y，n);{X和Y為2個(gè)小于2n的整數(shù)，返回結(jié)果為X和Y的乘積XY}beginS=SIGN(X)*SIGN(Y);{S為X和Y的符號(hào)乘積}X=ABS(X);Y=ABS(Y);{X和Y分別取絕對(duì)值}ifn=1thenif(X=1)and(Y=1)thenreturn(S)elsereturn(0)elsebeginA=X的左邊n/2位;B=X的右邊n/2位;C=Y的左邊n/2位;D=Y的右邊n/2位;ml=MULT(A,C,n/2);m2=MULT(A-B,D-C,n/2);m3=MULT(B,D,n/2);S=S*(m1*2n+(m1+m2+m3)*2n/2+m3);return(S);end;end;數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第46頁。八、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法經(jīng)常會(huì)遇到復(fù)雜問題不能簡(jiǎn)單地分解成幾個(gè)子問題，而會(huì)分解出一系列的子問題。簡(jiǎn)單地采用把大問題分解成子問題，并綜合子問題的解導(dǎo)出大問題的解的方法，問題求解耗時(shí)會(huì)按問題規(guī)模呈冪級(jí)數(shù)增加。為了節(jié)約重復(fù)求相同子問題的時(shí)間，引入一個(gè)數(shù)組，不管它們是否對(duì)最終解有用，把所有子問題的解存于該數(shù)組中，這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃法所采用的基本方法。以下先用實(shí)例說明動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的使用。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第47頁?！締栴}】求兩字符序列的最長(zhǎng)公共字符子序列問題描述：字符序列的子序列是指從給定字符序列中隨意地（不一定連續(xù)）去掉若干個(gè)字符（可能一個(gè)也不去掉）后所形成的字符序列。令給定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一個(gè)嚴(yán)格遞增下標(biāo)序列，使得對(duì)所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一個(gè)子序列。給定兩個(gè)序列A和B，稱序列Z是A和B的公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。問題要求已知兩序列A和B的最長(zhǎng)公共子序列。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法算法篇全文共55頁，當(dāng)前為第48頁。如采用列舉A的所有子序列，并一一檢查其是否又是B的子序列，并隨時(shí)記錄所發(fā)現(xiàn)的子序列，最終求出最長(zhǎng)公共子序列。這種方法因耗時(shí)太多而不可取?？紤]最長(zhǎng)公共子序列問題如何分解成子問題，設(shè)A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”為它們的最長(zhǎng)公共子序列。不難證明有以下性質(zhì)：（1）如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列；（2）如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，蘊(yùn)涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列；（3）如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，蘊(yùn)涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列。這樣，在找A和B的公共子序列時(shí)，如有am-1=bn-1，則進(jìn)一步解決一個(gè)子問題，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個(gè)子問題，找出“a0，a