河南省開封市五里河鄉(xiāng)玉皇廟中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

河南省開封市五里河鄉(xiāng)玉皇廟中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.用反證法證明命題：“若，那么，，中至少有一個不小于”時，反設(shè)正確的是A.假設(shè)，，都不小于

B.假設(shè)，，都小于C.假設(shè)，，至多有兩個小于D.假設(shè)，，至多有一個小于參考答案：B略2.若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（）A．18 B．6 C．2 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】先判斷3a與3b的符號，利用基本不等式建立關(guān)系，結(jié)合a+b=2，可求出3a+3b的最小值【解答】解：由于3a＞0，3b＞0，所以3a+3b===6．當(dāng)且僅當(dāng)3a=3b，a=b，即a=1，b=1時取得最小值．故選B3.在空間四邊形中,，，，點(diǎn)在線段上，且,為的中點(diǎn)，則等于（

）A

B

C

D參考答案：B4.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A． B．y=x﹣1 C．y=x2 D．y=x3參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】確定函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的定義，即可判斷．【解答】解：對于A，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），不是奇函數(shù)；對于B，定義域?yàn)镽，不滿足奇函數(shù)的定義；對于C，定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)；對于D，定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，故選D．【點(diǎn)評】本題考查奇函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確理解奇函數(shù)的概念是關(guān)鍵．5.設(shè)，且恒成立，則的最大值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點(diǎn)、是它的焦點(diǎn)，長軸長為，焦距為，靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)時，小球經(jīng)過的路程是（）A．

B．

C．

D．以上答案均有可能參考答案：D7.直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則弦AB的中點(diǎn)到直線的距離等于（

）A．

B．

C．4

D．2參考答案：B直線4kx﹣4y﹣k=0可化為k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直線恒過定點(diǎn)（，0）∵拋物線y2=x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣，∴直線AB為過焦點(diǎn)的直線∴AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離∴弦AB的中點(diǎn)到直線x+=0的距離等于2+=.故選B．

8.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2，前n項(xiàng)和為Sn,則A.2B.4C.D.參考答案：C12、無論，，,是否為非零向量，下列命題中恒成立的是

(

)A、

B、若，，則C、D、參考答案：D略10.直線x+6y+2=0在x軸和y軸上的截距分別是

（

）A.

B.

C.

D.－2，－3參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將二進(jìn)制數(shù)110101（2）轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為．參考答案：53【考點(diǎn)】整除的定義．【分析】二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制方法：按權(quán)相加法，即將二進(jìn)制每位上的數(shù)乘以權(quán)（即該數(shù)位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十進(jìn)制數(shù)，據(jù)此解答即可．【解答】解：110101（2）=1+1×22+1×24+1×25=53故答案為：53．12.已知直線與圓沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是

.參考答案：13.△ABC的周長等于3（sinA+sinB+sinC），則其外接圓直徑等于

．參考答案：3【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由正弦定理和△ABC的外接圓半徑表示出sinA、sinB、sinC，代入已知的式子化簡后求出答案．【解答】解：由正弦定理得，，且R是△ABC的外接圓半徑，則sinA=，sinB=，sinC=，因?yàn)椤鰽BC的周長等于3（sinA+sinB+sinC），所以a+b+c=3（sinA+sinB+sinC）=3（++），化簡得，2R=3，即其外接圓直徑等于3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理的應(yīng)用：邊角互化，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)函數(shù)則=

參考答案：515.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)，若在曲線上存在點(diǎn)P使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

▲

參考答案：

14．

15．或

16．16.如圖，過點(diǎn)P(7,0)作直線l與圓交于A,B兩點(diǎn)，若PA=3，則直線l的方程為___________．參考答案：略17.已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個根組成以為首項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，則＝_______.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等差數(shù)列{an}中，，且成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）當(dāng)時，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：（1）成等比數(shù)列，，…………2分由，得，或。…4分或………6分（2）當(dāng)時，，，…8分則……10分…………12分線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，的最小值為8.（1）求拋物線方程；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，問是否存在定點(diǎn)，使過點(diǎn)的動直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn),若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過作于，過作于，

（1）由拋物線定義知(折線段大于垂線段)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線取等號.由題意知,即拋物線的方程為：

5分（2）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，顯然，，設(shè)，，由以為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)有

①

6分把代人得由韋達(dá)定理

②

7分又

③②代人③得

④

②④代人①得

動直線方程為必過定點(diǎn)

10分當(dāng)不存在時，直線交拋物線于,仍然有，

綜上：存在點(diǎn)滿足條件

（注：若設(shè)直線BC的方程為可避免討論.）略19.已知曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線x=﹣1的距離相等，直線l過點(diǎn)A（1，1），且與C交于P，Q兩點(diǎn)；（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）若A為PQ的中點(diǎn)，求三角形OPQ的面積．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）利用曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線x=﹣1的距離相等，可知曲線C的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，從而可求曲線C的方程；（Ⅱ）求出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，即可求三角形OPQ的面積．【解答】解：（Ⅰ）∵曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線x=﹣1的距離相等．∴曲線C的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線∴曲線C的方程為y2=4x．…（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1+y2=2因?yàn)閥12=4x1，y22=4x2，所以作差，可得直線l斜率為2，…（6分）所以直線方程為y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．此時直線l與拋物線相交于兩點(diǎn)．…（7分）設(shè)T為l與x的交點(diǎn)，則|OT|=，…（8分）由y=2x﹣1與y2=4x，消去x得y2﹣2y﹣2=0，…（9分）所以y1+y2=2，y1y2=﹣2，…（10分）所以三角形OPQ的面積為S=|OT||y1﹣y2|=．…（12分）【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義，正確運(yùn)用韋達(dá)定理．20.(本小題滿分12分)

如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).

（1）求的長；

（2）求cos<>的值；（3）求證：A1B⊥C1M.參考答案：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.（1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1）∴||=.（2）依題意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.（3）證明：依題意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù),是奇函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式；（2）求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值參考答案：（1）

(2)

最大值為

最小值為22.某公司2017年元旦晚會現(xiàn)場，為了活躍氣氛，將在晚會節(jié)目表演過程中進(jìn)行抽獎活動．（1）現(xiàn)需要從第一排就座的6位嘉賓A、B、C、D、E、F中隨機(jī)抽取2人上臺抽獎，求嘉賓A和嘉賓B至少有一人上臺抽獎的概率；（2）抽獎活動的規(guī)則是：嘉賓通過操作按鍵使電腦自動產(chǎn)生兩個[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)x，y，并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行．若電腦顯示“中獎”，則該嘉賓中獎；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎．求該嘉賓中獎的概率．參考答案：【考點(diǎn)】程序框圖；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式，可得A和B至少有一人上臺抽獎的概率；（2）確定滿足0≤x≤1，0≤y≤1點(diǎn)的區(qū)域，由條件，到的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，計(jì)算面積，可求該代表中獎的概率．【解答】解：（1）6位嘉賓，從中抽取2人上臺抽獎的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，