2023年江西省高考數(shù)學(xué)解答題專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)及解三角形（含答案解析）

2023年江西省高考數(shù)學(xué)解答題專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)及解三角形

o/71

1.在△46C中，cos/=4cosC,sinC=1A.

(I)求8；

(2)若cos(5-6)=g,求sin0.

2.在銳角△48C中，a,b,c分別為角Z,B,C所對(duì)的邊，且ga=2csirb4.

(I)確定角C的大??；

a

(II)若c=g,且△48C的面積為三一,若a>b,求mb的值.

第1頁(yè)共57頁(yè)

Tlr

3.△力8c的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos?(5+/)+coS/4=

(1)求4；

(2)若…=冬/,證明：△N8C是直角三角形.

■TT__7T

4.已知函數(shù)/㈤=sinQx-看)+cos3%(3>0)圖象兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為了

(I)求函數(shù)/(x)在［0,可上的單調(diào)遞增區(qū)間;

7T

(II)將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移二個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)y

6

=g(x)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo).

第2頁(yè)共57頁(yè)

5.在△ABC中，設(shè)邊a,b,c所對(duì)的角分別為4B,C,Ra2+b2-3acosC=6,sinA=

y/2sinB.

(I)若b=V2,求tanA的值.

b

(II)若△/8C的面積為5，求a+b的值.

6.已知△ZBC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足acos8+6cosZ=2ccosC.

(1)求C；

3V3

(2)若6=2,△ZBC的面積為二~,求△/BC的周長(zhǎng).

第3頁(yè)共57頁(yè)

7.在△NBC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知6siM=a(2-V3cosB).

(1)求8；

(2)若a=2次，b=V7,求△Z8C的面積.

8.已知△ZBC的內(nèi)角力,B,C滿足(sin/}+sinS)(sinJ-sinfi)=(sinC-sinfi)sinC,△

N8C的面積為10V3.

⑴求sin24

(2)sinB+sinC=^^-,求△/8C的周長(zhǎng).

第4頁(yè)共57頁(yè)

9.在△NBC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,acosC+y^asinC=b.

(1)求角4;

(2)若a=2b一2,且△/BC的面積為2,求邊b,c的值.

TT1TT

10.已知向量Q=(sinx,l+cos2x),b=(cosx,^),定義函數(shù)/(%)=b.

(1)當(dāng)xe[—副時(shí)，求函數(shù)/G)的值域；

(2)在△/8C中，角/為銳角，且4+3=碧，/(/)=1,BC=2,求邊/C的長(zhǎng).

第5頁(yè)共57頁(yè)

11.已知a,b,c分別是△4BC內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊，sin2/i+sin2C—^sirL4sinC=sin2S.

(1)求sinS的值;

(2)若6=2,△N8C的面積為VI求△/BC的周長(zhǎng).

12.在中,角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sin2^+sin25+siiL4sin5=2csinC,A

N8C的面積S=a6c.

(1)求角C；

(2)求a+b的取值范圍.

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13.在△Z8C中，角4,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.

(I)若a=3c,b=y/2,cosB=求邊c的值；

(II)若2bsia4=acos8,求sin(28+號(hào))的值.

14.四邊形/BCD的內(nèi)角/與C互補(bǔ)，4B=BC=2,8=3,D4=l.

(1)求角C和8。的長(zhǎng)；

(2)求四邊形488的面積.

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15.已知△/8C的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.滿足2c=a+26cos4

(1)求8：

(2)若a+c=5,6=3,求△/BC的面積.

16.已知a,b,c分別為銳角△N8C三個(gè)內(nèi)角Z,B,C的對(duì)邊，滿足sii?/-si「8-

sin2C+sinfisinC=0.

(1)求小

(2)若6=2,求面積的取值范圍.

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1

17.已知△/8C中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S.a=ccosB+^b.

(1)求cosC；

(2)若c=V5,求a+b的取值范圍.

18.如圖在四邊形/BCD中，sinZACD^Z￡)=J,AC=y/7.

(1)求處

(2)若8c=1,NBCD=*,求△/8C的面積.

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19.已知△Z8C中，內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且b=c=3,3sinJ=2sin8.

(1)求。邊的長(zhǎng)：

(2)求cos(A-B)的值.

20.在△Z8C中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知(siM+sinB)(a-b)=

(sinC+sinB).

(1)求小

(2)若。為8c邊上一點(diǎn)，且BC=264D,求sin5.

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4r—

21.在△NBC中，角/,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,己知a(2VZcos2^-<2)=b?cosC+c

?cosB.

(1)求角A的大小；

1

(2)若c=6近,且48邊上的高等于石48,求sinC的值.

22.已知/(x)=V3sin(x+苓)-cosx.

(I)寫出/(X)的最小正周期，并求/(X)的最小值；

(II)已知a、b、c分別為△/8C的內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊，b=5b，cos/=|fif(B)

=1,求邊。的長(zhǎng).

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23.在△48C中，內(nèi)角4B,C滿足國(guó)sin(B+C)=

(1)求內(nèi)角”的大??；

(2)若4B=5,BC=7,求8c邊上的高.

24.在△/8C中，a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角4B,C的對(duì)邊，若△Z8C的面積為二一,a-h

=1,V3acosC-csinJ=0.

(I)求c及cos/；

(II)求cos(2A-C)的值.

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25.在△N8C中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足a=c(cosB+亨sinB).

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若c=2,且邊BC上的高為V5,求△/8C的周長(zhǎng).

26.己知△/BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,△/8C的面積為S,a2+b2-c2=

2s.

⑴求cosC；

(2)若〃cos3+bsirL4=c,a=V5,求從

第13頁(yè)共57頁(yè)

Q

27.在中，角4,B,C為三個(gè)內(nèi)角，已知4=45°,cosB

(1)求tanC的值；

(2)若8c=10,。為N8的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)及△N8C的面積

28.在△力BC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知百6=(acosC+ccos/)tanJ.

(1)求角A的大??；

(2)若△48C的面積為百，且a=而，求b,c.

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29.已知/(x)=V3sina)x-Zsin2-^-(a)>0)的最小正周期為3TT.

(1)求3的值；

7T37r

(2)當(dāng)在弓，彳］時(shí)，求函數(shù)/(%)的最小值.

2bcosBcosCcosA

30.Zi/BC的內(nèi)角aB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足：----=——+——.

acca

(1)求N8；

(2)若△N8C面積為S=2百，外接圓直徑為4,求△/BC的周長(zhǎng).

第15頁(yè)共57頁(yè)

31.在銳角△/8C中，角4B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,且cos2/+sin(y-^)+1-0.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若的面積5=3百，b=3.求sinC的值.

32.在△ZBC中，角/、B、C所對(duì)的邊分別為“、b、c,且-2sin2c+2ecosC+3=0.

(1)求角C的大小；

l,V2

(2)右b=41a,△A8C的面積為wsia4sin8,求siM及c的值.

第16頁(yè)共57頁(yè)

33.已知△/BC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且--=---

cosAa

(1)求角4

(2)若△Z8C為銳角三角形，Hb2+c2^a+bc+2,求b+c的取值范圍.

34.在△A5C中，角4,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且扶+c2-a?=挈%.

(1)求sirt4的值：

(II)若△ZBC的面積為VL且&sin8=3sinC,求△NBC的周長(zhǎng).

第17頁(yè)共57頁(yè)

35.如圖，四邊形/8C。中，AD=2BC.

(1)用/，G表示命；

(2)若N/=90°，點(diǎn)E在N8上，6=2備，點(diǎn)P在OE上，茄=2而，|扇|=\BC\=1,

求cos/C。尸.

Oz

36.已知向量m=(sinx,—n=(COST,-1),設(shè)/'(x)=2(m+n)-n

(I)若/"(x)=I，求X的所有取值；

(II)已知銳角△/8c三內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若廿=。(a+c),求/

(4)的取值范圍.

第18頁(yè)共57頁(yè)

37.在△/8C中，BC=V5,AC=3,sinC=2sinA.

(1)求48的值；

(II)求sin(24—I)的值.

4,

38.在△/8C中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足（2b-c）cosA^acosC.

（1）求角出

（2）若a=VH,b+c=5,求△/8C的面積.

第19頁(yè)共57頁(yè)

39.已知在△48C中，角Z,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,且asin8+6coS=0.

(1)求角力的大小：

(2)若a=2西，b=2,求△/SC的面積.

40.在△48C中，角/、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且向量￡=(2a-c,cosC)與向量

m=(b,cosB)共線.

(I)求角B的大小；

(II)若應(yīng))=2Z)E且CD=1,AD=小,求三角形48C的面積.

第20頁(yè)共57頁(yè)

41.已知函數(shù)/(x)=2cosx(sinx+cosx).

57r

(1)求/(不)的值；

(2)求函數(shù)/(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

(3)在銳角△Z8C中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知/(4)=2,a=2,

B=J,求△N8C的面積.

42.在△N8C中，4C=3,C=120°.

(1)若AB=1,求8c邊的長(zhǎng)；

(2)若cos/=V5sinB,求△/BC的面積.

第21頁(yè)共57頁(yè)

43.在△Z8C中，內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a-孝c=bcosC.

(1)求N8的值；

(2)若a=4,cosC=嗯,求△NBC的面積.

44.在△ZBC中，角B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知cos24-3cos(5+C)=1.

(7)求角A的大?。?/p>

(//)若△4BC的面積S=5VI,b=5,求sin5sinC的值.

第22頁(yè)共57頁(yè)

45.在△NBC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足百(bcosA+acosB)=26譏C.

(1)求角8的大?。?/p>

V3

(2)若△Z8C的面積為8是鈍角，求6的最小值.

46.在△N8C中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足反os4-百asin5=0.

(1)求/；

(2)已知。=20，B=求△N8C的面積.

第23頁(yè)共57頁(yè)

(CL22)?s

47.已知△45C中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為“，h,c,且^---=ac.

s二inC:

(1)若C=金，c=3,求a；

(2)若4s△/Bc+c2=2q2,求8的大小.

48.在△45C中，角4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且2百5譏2?+sim4-V5=0.

(I)求角A的大小；

(II)已知△N8C外接圓半徑R=百，AC=V3,求△4BC的周長(zhǎng).

第24頁(yè)共57頁(yè)

49.如圖，在RtZ\48C中，C=90°,8=30°，。是8c的中點(diǎn)，求sin/。。的值.

50./XABC的內(nèi)角4,8,C的對(duì)邊分別為a,h,c,其中c=2遮，且(2g+b)(sinC-s仇B(yǎng))=

(a—b)sinA.

(1)求角c的大??；

(2)求△ZBC的周長(zhǎng)的范圍.

第25頁(yè)共57頁(yè)

2023年江西省高考數(shù)學(xué)解答題專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)及解三角形

參考答案與試題解析

1.在△/BC中，cos4=4cosC,sinC=

(1)求8；

(2)若cos(^-9)=耳，求sin。.

【解答】解：(1)VsinC=^1i,

I________V7

/.cosC=±V1-sin7C=±77，

14

若cosC=-第，

則cos/=4cosC<0,從而4,C均為鈍角，這不可能，

故cosC=五，cos/i=-y-isin^=

?n/-、，c.一―/72474213A/211

??cos8=-cos(4+C)=-cos/lcosC+sin^sinC=—訶xtx

V0<5<TT,

3

(2)Vcos(8-0)=1,

4

/.sin(8-6)=±—,

sin0=sin[B-(5-0)]=sin5cos(5-0)-cosBsin(5-0),

業(yè).zc、4.y/33143y/3—4

當(dāng)sin(8n-。)=耳，sinn0=x耳一2'虧=——，

當(dāng)sm(B-0)=—寧sin8=三x耳+2xg=-—.

2.在銳角△Z8C中，a,b,c分別為角Z,B,。所對(duì)的邊，且遮a=2csiM.

(I)確定角。的大?。?/p>

(II)若c=V7,且△48C的面積為一^一,若a>b,求。，6的值.

【解答】解：(I)銳角△48C中，Q,b,c分別為角4B,。所對(duì)的邊，且Ba=2csinJ.

利用正弦定理Ks出4=2sinCsinA,

由于(0,n),

第26頁(yè)共57頁(yè)

所以siMWO,

整理得sinC=苧,解得C=*

(II)由于。=夕，

所以c2=a2^-b2-246cosC,

整理得7=/+屬-ahf

3V3

/\ABC的面積為三一，

1V33V3

所以5xabX—=—,解得ab=6,

由于卜213,由于心兒

解得〃=3,b=2.

3.△力8C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知cos2(一+/)+cos/=^.

24

(1)求Z；

(2)若b-c=^a,證明：△/8C是直角三角形.

【解答】解：(1)Vcos2(]+/)+cosJ=sin2J+cos/i=1-cos2J+cosJ=

/.cos2J-C0S/1+-T=0,解得cosJ=3，

4L

9：AE(0,IT),

?An

-A=T

(2)證明：VZ?-c=-^-a,A—

/.由正弦定理可得sin^-sinC=孚sin4=

■:BW(0,竽)，B-^e(-J,g),

=可得8=?？傻谩鱖3C是直角三角形，得證.

3bL

■TT__7T

4.已知函數(shù)/㈤=sin(a)x-^+cos3X(3>0)圖象兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為5.

(I)求函數(shù)/(x)在［0,可上的單調(diào)遞增區(qū)間；

71

(II)將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移二個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)y

6

第27頁(yè)共57頁(yè)

=g(x)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo).

【解答】解：(/)/(%)=sin(a)%—口)+cos穌3>0),

=-^-sinu)x+^coscDx,

=sin((DX+看)，

???圖象兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為今

115

:.-T=-7T,即r=TT,

22

TT

.*.0)=2,f(x)=sin(2r+q),

令一"+2kn<2x+看<*兀+2kn,可得內(nèi)r-亨WxW內(nèi)r+芯，kWZ,

故函數(shù)/(X)在［o,n］上的單調(diào)遞增區(qū)間［o,力，［半，

(II)由題意可得y=g(x)=sin(2x+搭)，

令2x4-=Kr可得x=—今+%r,kWZ,

函數(shù)y=g(x)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)(一/+%TT,0),kez.

5.在△力8c中，設(shè)邊a,b,c所對(duì)的角分別為4,B,C,.Ra2+&2-3acosC=6,sinA=

y［2sinB.

(I)若b=V2,求tan力的值.

(II)若△Z8C的面積為5,求a+b的值.

【解答】解：(I)?.,s譏4=奩5譏8,

a—y［2b,

,:b=V2,

?二4=2,

*/cP'+b2-34cosc=6,

/.cosC=0?

VCG(0,n),

C=I,

tanA=*=y/2.

第28頁(yè)共57頁(yè)

(II)VS^ABC=訝QbsinC=于

.._1_1

??SLrTtC?———,

a42bt

22

Va+h-3〃cosC=6,且a=y/2bf

?__.2_2

■-Cr0SC=12b，

Vsin2C+cos2C=1,

1(b2-2)2

“,----k+---2-b-2----111

.?.6=1或6，

當(dāng)b=1時(shí)，a-V2,

，a+b=y/2+1,

當(dāng)6=通時(shí)，Q=J1U,

?，?Q+b=V10+Vs.

6.6知△ABC的內(nèi)角4B,6的對(duì)邊分別為a,6c,且滿足QCOS8+6COS/=2CCOSC.

(1)求G

3V3

(2)若6=2,△力8c的面積為可，求△/AC的周長(zhǎng).

【解答】解：(1)由題意及正弦定理，得siMcosH+siriScos4=2sinCcosC,

即sin(A+B)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC.

又因?yàn)镺VCVTT,所以sinC/0,

所以cosC=今所以C=*

(2)因?yàn)椤?8c=*absinC,又由(1),得C=與，

一,3V31n“，

所以一^―=-xax2xsin-,解得a=3,

又由余弦定理，得c?—a2+b2-2abcosC=9+4—2x3x2x?=7,

所以c=V7,

所以△49C的周長(zhǎng)為5+V7.

7.在△/BC中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsiM=a(2-V3cosB).

(1)求8；

(2)若a=2W,h=V7,求△48C的面積.

【解答】解：⑴"：bsinA=a(2-V3cos5),

第29頁(yè)共57頁(yè)

???由正弦定理可,得sia5sirt4=siM(2-V3cos5),

/.sin(8+.)=1,

TT7T47r

"：BW(0,IT),

333

:?B=%

6

(2),:B=W，a=2V3,b=V7,

(V7)2=(2V3)2+c2-2x2V3xcxco雷，

可得C2-6C+5=0,解得c=l或5

當(dāng)c=1時(shí)，S^ABC=-^acsinB=x2A/3x1x=苧：

當(dāng)c=5時(shí)，S^ABC=-^acsinB=x273x5x

8.已知△Z8C的內(nèi)角Z,B,C滿足(siM+sinB)(siM-sinB)=(sinC-sin5)sinC,△

48C的面積為10V3.

(1)求sin2力；

(2)sinB+sinC=才?,求△Z5C的周長(zhǎng).

【解答】解：(1)設(shè)內(nèi)角aB,C的對(duì)邊分別為訪b,C,

■:(siiU+sinB)(sinJ-sinB)=(sinC-siaB)sinC,

可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,

222

化簡(jiǎn)可得，b+c-bc=af

由余弦定理可得，cos//富Q2二,

V0<^<n,

n

.\A=

3f

V3

???sin24=

2'

(2)因?yàn)閟inB+sinC=與F，------=-------a

痂=2R，

14sinBsinC

13行.CD13a

所以b+c=-ir2R=-

由10V5='bcsin/,

be=40,

第30頁(yè)共57頁(yè)

因?yàn)閎2+c2-bc=a2,

22

:.(6+c)-3bc=af

13a、o

(—)2-120=Q2,

7

:?a=7,

所以△48。的周長(zhǎng)為7+13=20.

9.在△NBC中，角力,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,acosC^>/3asinC=b.

(1)求角Z;

(2)若Q=28一2,且△/8C的面積為2,求邊6,。的值.

【解答】解：(1)*?acosC+\/3asinC=b,

由正弦定理得：siir4cosc+V^siMsinC=sinB,

又入出3=$m(Z+C)=sin4cosc+cos4sinC,

:.gsiMsinC=cos4sinC,

XVCE(0,7i),AsinC^O,

、叵

.??taiM=?,又/€(0,n),

?n

■-AA=6;

(2)'：A=

6

11

:?S〉A(chǔ)BC=2be-sinA=%bc=2,

：.bc=S,

v??b2+c2-cfiB

乂.COSJ=----?r-----=虧,

2bc2

/.(/?4-c)2-2bc-a2=y/3bc,又Q=2遙-2,bc=8,

?，?b+c=4-\/2,

:?b=c=Wl.

TT]TT

10.已知向量Q=(S譏％,1+cos2x),b=(cosx,2)，定義函數(shù)f(%)=b.

(1)當(dāng)副時(shí)，求函數(shù)/(x)的值域；

(2)在△ABC中，角4為銳角，且4+B="，/0)=1,8C=2,求邊4c的長(zhǎng).

izJ

TT1TT

【解答】解：(1)..,向量a=(s譏％,1+cos2x)fb=(cosx,^),函數(shù)/(x)=a?b

第31頁(yè)共57頁(yè)

,cos2x+l/2./c?江、

???/(x)=cosxsinxd------2-----=-ysin(2x4-4)+r

,當(dāng)尤e[一9勺時(shí),2x+軟一爭(zhēng)爭(zhēng),sin⑵+9e[一冬1],

V2+1

：.y=f(x)的值域?yàn)閇0,-^―]................................................................(6分)

,/、,_V27rl

(2)?.?由/(/)=1,得"ysin(2/4--)4--=1,

SITI(2,A+*)=

V0<71<J,

六24+/=竽，則4=$

BCAC

?.?在△/8C中,由正弦定理得薪工=或而'

.AkBCsinB

-AC=^rV6..(12分)

11.已知a,b,c分別是△45C內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊，sin2^+sin2C—|sirL4sinC=sin2^.

(1)求sinB的值;

(2)若6=2,△N8C的面積為注，求△A8C的周長(zhǎng).

【解答】解：(1)因?yàn)閟in2/+sin2。一下in4sinC=sin2￡

由正弦定理可得，a2+c2-&2=-|ac,

由余弦定理可得，cosB=

故sin5=

1R

(2),:S&ABC=qacsinB=%ac=0,

所以ac=3,

因?yàn)椤?+c?—川=1ac,

o

所以(a+c)2=4+@ac=4+8=12,

所以a+c+b=2+2V3.

12.在△48C中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sin2A+sin2B+sinAsinB=2csinC,A

AffC的面積S=a6c.

第32頁(yè)共57頁(yè)

(1)求角c；

(2)求的取值范圍.

1

【解答】解(1)由S=abc=1absinC可知2c=sinC,

sin2^4-sin2B+sin^sinB=sin2c.

由正弦定理得a2+h2+ah=c2.

由余弦定理得cosC=°+；叱°=一發(fā)

CE(0,n),

7r

???Jr-年2

(2)由余弦定理可得，c2=a2+y+"=(?+/>)2-成2(a+b)2-例學(xué),

.33(a+b)2

?,16-4，

1

解可得a+b<今

因?yàn)閍+6>c=孚

故a+6的范圍,—].

42

13.在△N8C中，角4,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.

(I)若a=3c,b=V2,COSB=可求邊c的值；

(II)若2bsinJ=〃cos8,求sin(2B+。)的值.

2a^+c^—b^10c^—2

【解答】解：(/)由余弦定理可得，-=—;-----=—1—，

32ac6c乙

解可得，c=字，

(//)*.*IbsmA=acosB,

由正弦定理可得，2sin8siM=sinJcos8,

因?yàn)閟iMWO,

所以cosBuZsiriS〉。，

因?yàn)閟in2^+cos2^=1,

所以cosB=sirt^=絡(luò)，

4?

所以sin2B=2sin8cosB=耳，cos2B=2cos2B-1=

第33頁(yè)共57頁(yè)

.1.OD^A/314,7333V3+4

sin(28+q)=5sirCZB-\—cosO2DB=5xszqH—xsz'=■=—亦—.

D乙乙乙DNi。J.U

14.四邊形力BCD的內(nèi)角/與C互補(bǔ)，AB=BC=2,CD=3,DA=\.

(1)求角C和8。的長(zhǎng)；

(2)求四邊形的面積.

【解答】解：(1)在△88中，8c=2,CD=3,

由余弦定理得：BD2^BC2+CD2-22UCQcosC=13-12cosC①，

在△ARD中，AB=2,D4=l,4+C=180°,

由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB'ADcosA=5-4cos/=5+4cosC②,

由①②得：cosC=*,

由0<C<180°得，C=60°,BD=V7；

(2)VC=60°,/+C=180°,則4=120°,

.■「_?/3

??sinC—sin/i—?，

貝ljS=^AB'DAsinA+/c.CDsinC=/xlX2x*+￡x3X2x*=2收

15.已知△Z8C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為“，b,c.滿足2c=a+26cos4

(1)求B；

(2)若a+c=5,6=3,求△N8C的面積.

【解答】解：(1)由題知2sinC=sinJ+2sinScoM,.............................(2

分)

則2sin(.A+B)=sirL4+2sinBcoS,

則2sirb4cos8=sirt4,

在△/8C中，siMWO,

一1

所以cosB=2，..................(4分)

貝(J8=*............(6分)

(2)由余弦定理，得/=a2+c2-2accosB，

第34頁(yè)共57頁(yè)

從而得：9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,.........................................................(9分)

又Q+C=5,

所以ac=竽，

4V3

所以△ZSC的面積為一^—?....................(12分)

16.已知a,b,c分別為銳角△力8。三個(gè)內(nèi)角力,B,C的對(duì)邊，滿足sii?4-si/B-

sin2C+sin5sinC=0.

(1)求4；

(2)若6=2,求面積的取值范圍.

【解答】解：⑴由己知及正弦定理得，a2=b2+c2-be,

由余弦定理可得cosA=

又0V4<n,

可得4=*

(2)由已知及正弦定理得，c=穹萼，

SlllD

由R+C一27r徨s_12sme、反加(冬_8)_g31

由B+C-手，^S^c-^xZx^^-smA--麗—~^-+2XT^B'

△/8C是銳角三角形，得0<8吾，0-B<p得汴8苦

..tCLTlD>百~，

<S4ABC

???△/8C面積的取值范圍是(年，2V3).

1

17.已知△4BC中，角Z,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,且。="058+2上

(1)求cosC；

(2)若c=V5,求的取值范圍.

【解答】解：(1)方法一：因?yàn)閍=ccosB+

由正弦定理得siM=cos8sinC+asin8,

即sin(8+C)=sin8cosc+cos8sinC=cos8sinC+5sinB,

第35頁(yè)共57頁(yè)

1

所以sin5cosc=^sinS,

因?yàn)镺VBVir,sin^WO,

所以cosC=

方法二：由Q=ccosB+可得2a2-ab—laccosB—a2+c2-R,

整理得a2+b2-c2=ab,

刈2+12<2_i

所以cosC=

2ab—2,

（2）解法一：由（1）得cosC=I",C=sinC=苧，c=V3,

abc

由正弦定理得一二=——=--=2,

sinAsinBsine

所以a+b=2sinJ+2sia5=2sirL4+2sin（——A）=3sinJ+V5cos4=2V5sin（Z+卷）,

因?yàn)椤?爭(zhēng)

所以0</V爭(zhēng)<A+l<^,可得;Vsin（/+專）<1,

所以a+b的取值范圍（遮，2V3].

解法二：由（1）得cosC=④，c=>/3,及余弦定理得：3=a2+62_qb=（.+6）2

（a+b）2-3X（―）2=J（a+b）2,

24

所以（a+6）242,a+bW2百，當(dāng)”=6時(shí)取等號(hào)，

又a+b>c=V3,

所以。+b的取值范圍（遮，2V3].

18.如圖在四邊形N8C。中，sin//CD=孥，ND=§AC=V7.

（1）求CD；

（2）若BC=1,/BCD=q,求△/8C的面積.

4DAC

【解答】解：（1）在△/8C中，由正弦定理得:

sinZ-ACDsinZ-D

第36頁(yè)共57頁(yè)

/X阜

；?AD=---后乙=2,

v3

222

設(shè)CD=x,由余弦定理得AC=AD+CD-2AD-CDcos^f

即f-ZxTuO,解得：x=3或-1（舍）,

:?CD=3,

(2)由題意可知cos/ZCD=孥，

722/7/2y[2i_(2+/3)x/14

，sin/8CZ=sin(ZBCD-ZACD)

：.S=SMBC=^XACXBCXsin^BCA=1xV7x-+.14=2\,號(hào)、后

ZZ144

19.已知△ABC中，內(nèi)角X、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且b=c=3,3siiL4=2sinS.

（1）求a邊的長(zhǎng);

(2)求cos(A-B)的值.

abc

【解答】解：△Z5C中，由正弦定理一7；=—T=—T=2R，3siM=2sin^得:

sinAsinBsinC

3〃=2b=6,??a=2；

4+9-9_1

（）由余弦定理可知：

2COS5=——y———2x2x3=于

.b2+c2—a29+9-44

COSA=2^=2^3=9)

△/8C中，內(nèi)角力、B、C,siiL4>0,sinB>0,

.?.siM=絡(luò)si3孥,

,An\Ani'A-n1x/652y反

cos(A-B)=cosZcos6+smJsin6=gX@+—^x—,

4+27130

~27~

20.在△4BC中，內(nèi)角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知（siM+sinB）（a-b）=

(sinC+sin5).

(1)求出

(2)若。為5C邊上一點(diǎn)，且ZO_L8C,BC=2gD,求siM.

【解答】解：(1),:(sirU+sinB)(a-b)=c(sinC+sin5),

222

，由正弦定理可得：(a+b)(a-b)=c(c+b),BPa=b+c+bc9

，由余弦定理可得：cosJ==~

第37頁(yè)共57頁(yè)

VO<J<n,

iiy/3

(2)???在△48C中，S^4BC=24B?4C?sinNBAC=^BC?4D,即萬(wàn)歷=〃?4。,

由已知岳Q,可得a

3C=240=礪

/.3/?c=a2,

???在△/BC中，由余弦定理可得a2=b2^-c2-2/?ccosl20°,

即3兒=房+，+兒，整理可得(i)2=0,即6=c,

7T1

Asin5=sin-=—.

62

4r-

21.在△4BC中，角/,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,己知a(2立cos：-6)=b?cosC+c

?cosB.

(1)求角4的大??；

1

(2)若c=6近,且48邊上的高等于石力8,求sinC的值.

【解答】解：(1)a(2V2cos2^--V2)—*cosC+c?cos^,

V2acosJ=bcosC+ccosB,由正弦定理可得&sirL4cos4=sin^cosC+sinCcosB,

???迎sin/cos/=sin(B+C)=siivI,

\'AE(0,n),siMWO,

「?解得cosJ=孝，A=1

(2)設(shè)力8邊上的高為CD,在RtZ\CD4中，可得40=8=梟6&=2a=2也

可得3Q=4VL

在Rt/\CDB中，根據(jù)勾股定理，可得BC=y/CD24-BD2=2V10,

6&空_3同

在△/BC中，根據(jù)正弦定理一AB^