【人教版】八年級數(shù)學上冊：第章《全等三角形》全章教案

第十二章全等三角形．1全等三角形1．了解全等形及全等三角形的概念．2．理解全等三角形的性質(zhì)．重點探究全等三角形的性質(zhì)．難點掌握兩個全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的尋找規(guī)律，能迅速正確地指出兩個全等三角形的對應(yīng)元素．一、情境導(dǎo)入一位哲人曾經(jīng)說過：“世界上沒有完全相同的葉了”，但是在我們的周圍卻有著好多形狀、大小完全相同的圖案．你能舉出這樣的例子嗎？二、探究新知1．動手做(1)和同桌一起將兩本數(shù)學課本疊放在一起，觀察它們能重合嗎？(2)把手中三角板按在紙上，畫出三角形，并裁下來，把三角板和紙三角形放在一起，觀察它們能夠重合嗎？得出全等形的概念，進而得出全等三角形的概念．能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．2．觀察觀察△ABC與△A′B′C′重合的情況．總結(jié)知識點：對應(yīng)頂點、對應(yīng)角、對應(yīng)邊．全等的符號：“≌”，讀作：“全等于”．如：△ABC≌△A′B′C′.3．探究(1)在全等三角形中，有沒有相等的角、相等的邊呢？通過以上探索得出結(jié)論：全等三角形的性質(zhì)．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．(2)把△ABC沿直線BC平移、翻折，繞定點旋轉(zhuǎn)，觀察圖形的大小形狀是否變化．得出結(jié)論：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)只能改變圖形的位置，而不能改變圖形的大小和形狀．把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角．如△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應(yīng)頂點；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應(yīng)角．三、應(yīng)用舉例例1如圖，△ADE≌△BCF，AD＝6cm，CD＝5cm，求BD的長．分析：由全等三角形的性質(zhì)可知，全等三角形的對應(yīng)邊相等，找出對應(yīng)邊即可．解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6cm，∴BC＝6cm.又∵CD＝5cm，∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)．四、鞏固練習教材練習第1題．教材習題.1第1題．補充題：1．全等三角形是()A．三個角對應(yīng)相等的三角形B．周長相等的三角形C．面積相等的兩個三角形D．能夠完全重合的三角形2．下列說法正確的個數(shù)是()①全等三角形的對應(yīng)邊相等；②全等三角形的對應(yīng)角相等；③全等三角形的周長相等；④全等三角形的面積相等．A．1B．2C．3D．43．如圖，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE的度數(shù)與DE的長．補充題答案：1．D2．D3．∠DFE＝35°，DE＝8五、小結(jié)與作業(yè)1．全等形及全等三角形的概念．2．全等三角形的性質(zhì)．作業(yè)：教材習題.1第2，3，4，5，6題．本節(jié)課通過學生在做模型、畫圖、動手操作等活動中親身體驗，加深對三角形全等、對應(yīng)含義的理解，即培養(yǎng)了學生的畫圖識圖能力，又提高了邏輯思維能力．．2三角形全等的判定(4課時)第1課時“邊邊邊”判定三角形全等1．掌握“邊邊邊”條件的內(nèi)容．2．能初步應(yīng)用“邊邊邊”條件判定兩個三角形全等．3．會作一個角等于已知角．重點“邊邊邊”條件．難點探索三角形全等的條件．一、復(fù)習導(dǎo)入多媒體展示，帶領(lǐng)學生復(fù)習全等三角形的定義及其性質(zhì)，從而得出結(jié)論：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．反之，這六個元素分別相等，這樣的兩個三角形一定全等．思考：三角形的六個元素分別相等，這樣的兩個三角形一定全等嗎？二、探究新知根據(jù)上面的結(jié)論，提出問題：兩個三角形全等，是否一定需要六個條件呢？如果只滿足上述六個條件中的一部分，是否也能保證兩個三角形全等呢？出示探究1：先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使△ABC與△A′B′C′滿足上述六個條件中的一個或兩個．你畫出的△A′B′C′與△ABC一定全等嗎？(1)三角形的兩個角分別是30°，50°.(2)三角形的兩條邊分別是4cm，6cm.(3)三角形的一個角為30°，一條邊為3cm.學生剪下按不同要求畫出的三角形，比較三角形能否和原三角形重合．引導(dǎo)學生按條件畫三角形，再通過畫一畫，剪一剪，比一比的方式得出結(jié)論：只給出一個或兩個條件時，都不能保證所畫出的三角形一定全等．出示探究2：先任意畫出一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？讓學生充分交流后，教師明確已知三邊畫三角形的方法，并作出△A′B′C′，通過比較得出結(jié)論：三邊分別相等的兩個三角形全等．強調(diào)在應(yīng)用時的簡寫方法：“邊邊邊”或“SSS”．實物演示：由三根木條釘成的一個三角形的框架，它的大小和形狀是固定不變的．明確：三角形的穩(wěn)定性．三、舉例分析例1如右圖，△ABC是一個鋼架，AB＝AC，AD是連接點A與BC中點D的支架．求證：△ABD≌△ACD.引導(dǎo)學生應(yīng)用條件分析結(jié)論，尋找兩個三角形的已有條件，學會觀察隱含條件．讓學生獨立思考后口頭表達理由，由教師板演推理過程．教師引導(dǎo)學生作圖．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.討論尺規(guī)作圖法，作一個角等于已知角的理論依據(jù)是什么？教師歸納：(1)什么是尺規(guī)作圖；(2)作一個角等于已知角的依據(jù)是“邊邊邊”．四、鞏固練習教材第37頁練習第1，2題．學生板演．教師巡視，給出個別指導(dǎo)．五、小結(jié)與作業(yè)回顧反思本節(jié)課對知識的研究探索過程，小結(jié)方法及結(jié)論，提煉數(shù)學思想，掌握數(shù)學規(guī)律．進一步明確：三邊分別相等的兩個三角形全等．布置作業(yè)：教材習題.2第1，9題．本節(jié)課的重點是探索三角形全等的“邊邊邊”的條件；運用三角形全等的“邊邊邊”的條件判別兩個三角形是否全等．在課堂上讓學生參與到探索的活動中，通過動手操作、實驗、合作交流等過程，學會分析問題的方法．通過三角形穩(wěn)定性的實例，讓學生產(chǎn)生學數(shù)學的興趣，學會用數(shù)學的眼光去觀察、分析周圍的事物，為下一節(jié)內(nèi)容的學習打下基礎(chǔ)．第2課時“邊角邊”判定三角形全等1．掌握“邊角邊”條件的內(nèi)容．2．能初步應(yīng)用“邊角邊”條件判定兩個三角形全等．重點“邊角邊”條件的理解和應(yīng)用．難點指導(dǎo)學生分析問題，尋找判定三角形全等的條件．一、復(fù)習引入1．什么是全等三角形？2．全等三角形有哪些性質(zhì)？3．“SSS”具體內(nèi)容是什么？二、新知探究已知△ABC，畫一個三角形△A′B′C′，使AB＝A′B′∠B＝∠B′，BC＝B′C′.教師畫一個三角形△ABC.先讓學生按要求討論畫法，再給出正確的畫法．操作：(1)把畫好的三角形剪下和原三角形重疊，觀察能重合在一起嗎？(2)上面的探究說明什么規(guī)律？總結(jié)：判定兩個三角形全等的方法：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”．三、舉例分析多媒體出示教材例2.例2如圖，有一池塘，要測池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個點C，從點C不經(jīng)過池塘可以直接到達點A和B.連接AC并延長到點D，使CD＝CA.連接BC并延長到點E，使CE＝CB.連接DE，那么量出DE的長就是A，B的距離，為什么？分析：如果證明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE.證明：在△ABC和△DEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CA＝CD，,∠1＝∠2，,CB＝CE，))∴△ABC≌△DEC(SAS)．∴AB＝DE.歸納解決實際問題的一般方法是：分析實際問題，按要求畫出圖形，根據(jù)圖形及已知條件選擇對應(yīng)的方法．四、課堂練習如圖，已知AB＝AC，點D，E分別是AB和AC上的點，且DB＝EC.求證：∠B＝∠C.學生先獨立思考，然后討論交流，用規(guī)范的書寫完成證明過程．五、小結(jié)與作業(yè)1．師生小結(jié)：(1)“邊角邊”判定兩個三角形全等的方法．(2)在判定兩個三角形全等時，要注意使用公共邊和公共角．2．布置作業(yè)：教材習題.2第3，4題．本節(jié)課的重點是讓學生認識掌握運用“邊角邊”判定兩個三角形全等的方法，讓學生自己動手操作，合作交流，通過學生之間的質(zhì)疑討論，發(fā)現(xiàn)此定理中角必為夾角，從而得出“邊角邊”的判定方法．不僅學習了知識，也訓(xùn)練了思維能力，對三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要強調(diào)書寫的格式的規(guī)范，同時讓學生感受到在證明分別屬于兩個三角形的線段或角相等的問題時，通常通過證明這兩個三角形全等來解決．第3課時“角邊角”和“角角邊”判定三角形全等1．掌握“角邊角”及“角角邊”條件的內(nèi)容．2．能初步應(yīng)用“角邊角”及“角角邊”條件判定兩個三角形全等．重點“角邊角”條件及“角角邊”條件．難點分析問題，尋找判定兩個三角形全等的條件．一、復(fù)習導(dǎo)入1．復(fù)習舊知：(1)三角形中已知三個元素，包括哪幾種情況？三個角、三個邊、兩邊一角、兩角一邊．(2)到目前為止，可以作為判定兩三角形全等的方法有幾種？各是什么？2．[師]在三角形中，已知三個元素的四種情況中，我們研究了三種，我們接著探究已知兩角一邊是否可以判定兩三角形全等．二、探究新知1．[師]三角形中已知兩角一邊有幾種可能？[生](1)兩角和它們的夾邊；(2)兩角和其中一角的對邊．做一做：三角形的兩個內(nèi)角分別是60°和80°，它們的夾邊為4cm，你能畫一個三角形同時滿足這些條件嗎？將你畫的三角形剪下，與同伴比較，觀察它們是不是全等，你能得出什么規(guī)律？學生活動：自己動手操作，然后與同伴交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．教師活動：檢查指導(dǎo)，幫助有困難的同學．活動結(jié)果展示：以小組為單位將所得三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)完全重合，這說明這些三角形全等．提煉規(guī)律：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等．(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”)[師]我們剛才做的三角形是一個特殊三角形，隨意畫一個△ABC，能不能作一個△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？[生]能．學生口述畫法，教師進行多媒體課件演示，使學生加深對“ASA”的理解．[生](1)先用量角器量出∠A與∠B的度數(shù)，再用直尺量出AB的邊長； (2)畫線段A′B′，使A′B′＝AB；(3)分別以A′，B′為頂點，A′B′為一邊作∠DA′B′，∠EB′A′，使∠DA′B′＝∠CAB，∠EB′A′＝∠CBA；(4)射線A′D與B′E交于一點，記為C′.即可得到△A′B′C′.將△A′B′C′與△ABC重疊，發(fā)現(xiàn)兩三角形全等．[師]于是我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩角和它們的夾邊分別相等的兩三角形全等．(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”)這又是一個判定兩個三角形全等的條件．2．出示探究問題：如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC與△DEF全等嗎？能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎？證明：∵∠A＋∠B＋∠C＝∠D＋∠E＋∠F＝0°，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠A＋∠B＝∠D＋∠E.∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠E，,BC＝EF，,∠C＝∠F，))∴△ABC≌△DEF(ASA)．于是得規(guī)律：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等．(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”)例如下圖，點D在AB上，點E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求證：AD＝AE.[師生共析]AD和AE分別在△ADC和△AEB中，所以要證AD＝AE，只需證明△ADC≌△AEB即可．學生寫出證明過程．證明：在△ADC和△AEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠A，,AC＝AB，,∠C＝∠B，))∴△ADC≌△AEB(ASA)．∴AD＝AE.[師]到此為止，在三角形中已知三個條件探索兩個三角形全等問題已全部結(jié)束．請同學們把兩個三角形全等的判定方法作一個小結(jié)．學生活動：自我回憶總結(jié)，然后小組討論交流、補充．三、隨堂練習1．教材第41頁練習第1，2題．學生板演．2．補充練習圖中的兩個三角形全等嗎？請說明理由．四、課堂小結(jié)有五種判定兩個三角形全等的方法：1．全等三角形的定義2．邊邊邊(SSS)3．邊角邊(SAS)4．角邊角(ASA)5．角角邊(AAS)推證兩個三角形全等，要學會聯(lián)系思考其條件，找它們對應(yīng)相等的元素，這樣有利于獲得解題途徑．五、課后作業(yè)教材習題.2第5，6，題．在前面研究“邊邊邊”和“邊角邊”兩個判定方法的前提下，本節(jié)研究“角邊角”和“角角邊”對于學生并不困難，讓學生通過直觀感知、操作確認的方式體驗數(shù)學結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程，在這節(jié)課的教學中，學生也了解了分類思想和類比思想．第4課時“斜邊、直角邊”判定三角形全等1．探索和了解直角三角形全等的條件：“斜邊、直角邊”．2．會運用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等．重點探究直角三角形全等的條件．難點靈活運用直角三角形全等的條件進行證明．一、情境引入(顯示圖片)舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量．(1)你能幫他想個辦法嗎？(2)如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務(wù)嗎？方法一：測量斜邊和一個對應(yīng)的銳角(AAS)；方法二：測量沒遮住的一條直角邊和一個對應(yīng)的銳角(ASA或AAS)．工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別相等，于是他就肯定“兩個直角三角形是全等的”．你相信他的結(jié)論嗎？二、探究新知多媒體出示教材探究5.任意畫出一個Rt△ABC，使∠C＝90°.再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把畫好的Rt△A′B′C′剪下來，放到Rt△ABC上，它們?nèi)葐?？畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.想一想，怎么樣畫呢？按照下面的步驟作一作：(1)作∠MC′N＝90°；(2)在射線C′M上截取線段B′C′＝BC；(3)以B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于點A′；(4)連接A′B′.△A′B′C′就是所求作的三角形嗎？學生把畫好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，觀察這兩個三角形是否全等．由探究5可以得到判定兩個直角三角形全等的一個方法：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”．多媒體出示教材例5如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC＝BD.求證：BC＝AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C與∠D都是直角．在Rt△ABC和Rt△BAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BA，,AC＝BD，))∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴BC＝AD.想一想：你能夠用幾種方法判定兩個直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，還有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”．三、鞏固練習如圖，兩根長度為米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由．學生獨立思考完成．教師點評．四、小結(jié)與作業(yè)1．判定兩個直角三角形全等的方法：斜邊、直角邊．2．直角三角形全等的所有判定方法：定義，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.思考：兩個直角三角形只要知道幾個條件就可以判定其全等？3．作業(yè)：教材習題.2第7題．本節(jié)課教學，主要是讓學生在回顧全等三角形判定的基礎(chǔ)上，進一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，讓學生充分認識特殊與一般的關(guān)系，加深他們對公理的多層次的理解．在教學過程中，讓學生充分體驗到實驗、觀察、比較、猜想、歸納、驗證的數(shù)學方法，一步步培養(yǎng)他們的邏輯推理能力．．3角的平分線的性質(zhì)掌握角的平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運用角的平分