《函數的單調性》第2課時示范課教學設計【高中數學人教B版必修第一冊】

第三章函數3.1函數的概念與性質《3.1.2函數的單調性》教學設計第2課時教學目標教學目標1．掌握判斷和證明某些函數的增減性的方法．2．會借助函數的單調性求最值3．會根據函數的單調性求參數或解參數不等式教學重難點教學重難點教學重點：判斷和證明某些函數的增減性的方法．教學難點：函數單調性的判斷和證明．課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程一、整體概覽問題1：閱讀課本第97~102，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點是什么？目標是什么？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，在本節(jié)課的學習過程中回答問題預設的答案：（1）本節(jié)將要進一步研究函數的單調性．（2）起點是函數單調性的概念、判斷函數的單調性以及證明函數的單調性．由于函數的單調性與最值是初等數學和高等數學銜接的樞紐，所以在本學科有不可替代的重要位置的地位，是本學科的核心內容．教學的重點是掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數的單調性，理解單調區(qū)間以及理解函數最大（小）值的定義并掌握其求法．目標是進一步理解函數的單調性，會用平均變化率證明函數的單調性以及會利用函數的單調性求函數的最大（小）值．重點是培養(yǎng)學生的數學抽象和邏輯推理素養(yǎng)．設計意圖：通過閱讀課本，讓學生明晰本節(jié)課的學習目標，初步搭建學習內容的框架．二、探索新知1．復習引入師生活動：學生回顧函數的單調性和最值的概念，教師補充．函數的單調性：一般地，設函數y=f（x）的定義域為D，且I?D：（1）如果對任意x1，x2∈I，當x1<x2時，都有f（x1）<f（x2），則稱y=f（x）在I上是增函數（也稱在I上單調遞增）；（2）如果對任意x1，x2∈I，當x1<x2時，都有f（x1）>f（x2），則稱y=f（x）在I上是減函數（也稱在I上單調遞減）．兩種情況下，都稱函數在I上具有單調性（當I為區(qū)間時，稱I為函數的單調區(qū)間，也可分別稱為單調遞增區(qū)間或單調遞減區(qū)間）．函數的最值：一般地，設函數f（x）的定義域為D，且x0∈D：如果對任意x∈D，都有f（x）≤f（x0），則稱f（x）的最大值為f（x0），而x0稱為f（x）的最大值點；如果對任意x∈D，都有f（x）≥f（x0），則稱f（x）的最小值為f（x0），而x0稱為f（x）的最小值點．最大值和最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點和最小值點統(tǒng)稱為最值點．設計意圖：復習所學內容，便于更好地進入本節(jié)課的內容學習．2．探究新知知識點1函數的平均變化率我們已經知道，兩點確定一條直線，在平面直角坐標系中，這一結論當然也成立．一般地，給定平面直角坐標系中的任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2），當x1≠x2時，稱為直線AB的斜率；當x1=x2時，稱直線AB的斜率不存在．直線AB的斜率反映了直線相對于x軸的傾斜程度．若記Δx=x2一x1，相應的Δy=y2－y1，則當Δx≠0時，斜率可記為斜率的幾何意義的理解：如下圖所示，若Δx=x2一x1表示線段AC的長度，相應的Δy=y2－y1表示線段BC的長度，直線AB的斜率即為Rt△ACB中BC與AC的比．因此，對于直線AB來說，斜率大于零；如果設D（x3，y3），則可以看出，，所以直線AD的斜率小于零．強調：（1）直線的斜率與直線上兩點的順序列無關，即兩點的縱坐標和橫坐標在定義中的前后次序可以同時顛倒；（2）不與x軸垂直的直線，斜率要么為正，要么為負；（3）與x軸垂直的直線的斜率不存在．（4）用斜率可證三點共線：不難看出，平面直角坐標系中的三個點共線，當且僅當其中任意兩點確定的直線的斜率都相等或都不存在．下面我們用直線的斜率來研究函數的單調性．（5）由函數的定義可知，任何一個函數圖像上的兩個點，它們所確定的直線的斜率一定存在．設計意圖：引入平均變化率，一是為了借助平均變化率來理解和證明函數的單調性，二是為后面比較函數值變化的快慢引入一個得力工具，三是為選擇性必修中的函數導數打下基礎．【嘗試與發(fā)現】如圖所示，觀察函數圖像上任意兩點連線的斜率的符號與函數單調性之間的關系，并總結出一般規(guī)律．師生活動：學生討論，教師與學生一起總結．教師總結：函數遞增的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都大于0，函數遞減的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都小于0．一般地，若I是函數y=f（x）的定義域的子集，對任意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1=f（x1），y2=f（x2），（即），則：（1）y=f（x）在I上是增函數的充要條件是在I上恒成立；（2）y=f（x）在I上是減函數的充要條件是在I上恒成立．一般地，當x1≠x2時，稱為函數y=f（x）在區(qū)間[x1，x2]（x1<x2時）或[x2，x1]（x1>x2時）上的平均變化率．說明：利用上述結論，可以證明函數的單調性．【做一做】利用上述結論，證明此函數y=－2x在R上是減函數．師生活動：學生嘗試完成．預設的答案：對于函數y=－2x來說，對任意x1，x2∈R且x1≠x2，有．因此y=－2x在R上是減函數．★資源名稱：【數學探究】分段函數的單調性1★使用說明：本資源通過操作展示動畫，使學生觀察認識理解分段函數的單調性．通過交互式動畫的方式，運用了本資源，可以吸引學生的學習興趣，增加教學效果，提高教學效率．注：此圖片為動畫縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調用三、初步應用例1求證：函數在區(qū)間（－∞，0）和（0，+∞）上都是減函數師生活動：學生自主完成，教師巡視．預設的答案：證明：設x1≠x2，那么．如果x1，x2∈（－∞，0），則x1x2>0，此時，所以函數在（－∞，0）上是減函數．同理，函數在（0，+∞）也是減函數設計意圖：讓學生學會用平均變化率證明反比例函數的單調性．例2判斷一次函數y=kx+b（k≠0）的單調性．★資源名稱：【數學探究】探究一次函數的性質★使用說明：本資源通過操作展示動畫，使學生觀察認識理解一次函數的單調性．通過交互式動畫的方式，運用了本資源，可以吸引學生的學習興趣，增加教學效果，提高教學效率．注：此圖片為動畫縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調用．預設的答案：解：設x1≠x2，那么．因此，一次函數的單調性取決于k的符號：當k>0時，一次函數在R上是增函數；當k<0時，一次函數在R上是減函數．說明：一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像上任意兩點確定的直線斜率均為k，這實際上也說明了一次函數的圖像一定是直線，不僅如此，此時從還可以看出，Δy=kΔx，這就意味著在一次函數中，Δy與Δx成正比，且比例系數為k．特別地，當自變量每增大一個單位時，因變量增大k個單位，而且可以證明，只有一次函數才具有這個性質．事實上，如果Δy=kΔx，設x=0時函數值為y0，則y－y0=k（x－0）．即y=kx+y0，因此一定是一次函數．正因為如此，一次函數也經常被稱為線性函數．設計意圖：學會用平均變化率證明一次函數的單調性．【實際應用】如果向給定的容器中倒水，且任意相等的時間間隔內所倒的水體積相等，那么容器內水面的高度y是時間t的函數．當容器是下圖（1）所示的圓柱時，在固定的Δt時間內，Δy應該是常數，因此函數的圖像是如下圖（2）所示的一條線段．當容器是如下圖（1）所示圓臺時，由容器的形狀可知，在固定的Δt時間內，隨著t的增加，Δy應該越大，因此函數的圖像如圖（2）所示．設計意圖：體現數學來源于生活，又可以解決生活中的問題！例3證明函數f（x）=x2+2x在（－∞，－1]上是減函數，在[－1，+∞）上是增函數，并求這個函數的最值．師生活動：與學生一起分析，教師書寫規(guī)范解答（邊寫邊讓學生回答）．預設的答案：解：設，則因此：當時，有，從而，因此f（x）在（－∞，－1]上是減函數；當時，有，從而，因此f（x）在[－1，+∞）上是增函數．由函數的單調性可知，函數沒有最大值；而且，當時，有，當時，不等式也成立，因此f（－1）=－1是函數的最小值用類似的方法證明，二次函數的單調性為：（1）當a>0時，f（x）在上單調遞減，在上單調遞增，函數沒有最大值，但有最小值；（2）當a<0時，f（x）在上單調遞增，在上單調遞減，函數沒有最小值，但有最大值．說明：這一結論也可以從二次函數的圖像是關于對稱的拋物線與開口方向看出來．設計意圖：學會用平均變化率來證明函數的單調性．練習：教科書P102練習A5、6補：求函數f（x）=－2x2+3x+c（c為常數）的單調性．參考答案：顯然函數的定義域為R，則設是函數定義域上任意兩個不相等的實數，則當時，有，注意到應該是同一個集合中的兩個不同的實數，因此當時，必定有，即f（x）在上是增函數．類似地，可得f（x）在上是減函數．設計意圖：讓學生進一步練習用平均變化率來求函數的單調性．強調：二次函數的單調性與c的值沒有關系，研究函數的單調性．四、歸納小結，布置作業(yè)1．板書設計：3.1.2函數的單調性1．函數的平均變化率2．利用函數的平均變化率求或證明函數的單調性3．利用函數的單調性求函數最值例1例2例32．總結概括：回顧本節(jié)課，你有什么收獲？（1）什么函數的平均變化率？（2）如何利用函數的平均變化率求或證明函數的單調性？（3）如何利用函數的單調性求函數的最值？師生活動：學生總結，老師適當補充．作業(yè)：教科書P103練習B6、7、8【拓展閱讀1】物理中的變化率我們在物理中已經學習過：變化率是描述變化快慢的量例如，速度是用來衡量物體運動快慢的，速度等于位移的變化量與發(fā)生這一變化所用時間的比值，即加速度是用來衡量速度交化快慢的，加速度等于速度的變化量與發(fā)生這一變化所用時間的比值，即而且，從物理中我們還知道，由物體的速度一時間圖像，可看出加速度的有關信息．如圖所示，如果甲、乙兩物體的速度一時間圖像都是直線，則由圖中的信息可以看出，Δt相等時，Δv甲>Δv乙，從而甲的速度變化更快，即變化率更大，因此甲的加速度更大．你注意到了嗎？物理中的這個變化率與我們所說的函數的平均變化率其實是一回事．【拓展閱讀2】付出與收獲的關系俗話說，“一分耕耘一分收獲”，那么，在實際生活中，如果把收獲看成付出的函數，它們之間的關系可以怎樣描述呢？如果同樣多的付出所得到的收獲總是相等，那么收獲是付出的線性函數，其圖像可以用圖1表示．例如，當以勻速的方式駕駛汽車時，行駛的里程與所用的時間之間的關系就是如此．如果隨著付出的增長，同樣多的付出所得到的收獲不一定