第六章多個(gè)多元均值向量的比較

§6.2單個(gè)總體均值的推斷一、均值向量的檢驗(yàn)二、置信區(qū)域三、聯(lián)合置信區(qū)間當(dāng)前第1頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)一、均值向量的檢驗(yàn)設(shè)x1,x2,?,xn是取自總體x~Np

(μ,Σ)的一個(gè)樣本，這里Σ>0,n>p，欲檢驗(yàn)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ01.Σ已知檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為拒絕規(guī)則為：若，則拒絕H0當(dāng)前第2頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)2.Σ未知檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為稱之為霍特林（Hotelling）T2統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)H0為真時(shí)服從F(p,n?p)，對給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：若，則拒絕H0其中

。當(dāng)前第3頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)例62.1對某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圍、上半臂圍進(jìn)行測量，得樣本數(shù)據(jù)如表所示。根據(jù)以往資料，該地區(qū)城市2周歲男嬰的這三個(gè)指標(biāo)的均值μ0=(90,58,16)′，現(xiàn)欲在多元正態(tài)性假定下檢驗(yàn)該地區(qū)農(nóng)村男嬰是否與城市男嬰有相同的均值。這是假設(shè)檢驗(yàn)問題：H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0表4.2.1 某地區(qū)農(nóng)村男嬰的體格測量數(shù)據(jù)編

號身高(cm)胸圍(cm)上半臂圍(cm)17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0當(dāng)前第4頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)

查表得F0.01(3,3)=29.5，于是

故在顯著性水平α=0.01下，拒絕原假設(shè)H0，即認(rèn)為農(nóng)村與城市的2周歲男嬰上述三個(gè)指標(biāo)的均值有顯著差異(p=0.002)。當(dāng)前第5頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)二、置信區(qū)域當(dāng)前第6頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)μ的置信度為1?α的置信區(qū)域?yàn)楫?dāng)p=1時(shí)，它是一個(gè)區(qū)間；當(dāng)p=2時(shí)，它是一個(gè)橢圓，這時(shí)可將其在坐標(biāo)平面上畫出；當(dāng)p=3時(shí)，它是一個(gè)橢球；當(dāng)p＞3時(shí)，它是一個(gè)超橢球；它們均以為中心。同置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系一樣，置信區(qū)域與假設(shè)檢驗(yàn)之間也有著同樣的密切關(guān)系。一般來說，μ0包含在上述置信區(qū)域內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)原假設(shè)H0：μ=μ0在顯著性水平α下被接受。因此，可以通過構(gòu)造的置信區(qū)域的方法來進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。當(dāng)前第7頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)三、聯(lián)合置信區(qū)間

即

以1?α的概率對一切a∈Rp成立，稱它為一切線性組合｛a′μ，a∈Rp｝的置信度為1?α的聯(lián)合置信區(qū)間（simultaneousconfidenceintervals）。對k個(gè)線性組合｛ai′μ，i=1,2,?,k｝，有當(dāng)前第8頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)當(dāng)k很小時(shí)，聯(lián)合T2置信區(qū)間

的置信度一般會(huì)明顯地大于1?α，因而上述區(qū)間會(huì)顯得過寬，即精確度明顯偏低。這時(shí)，我們可以考慮采用邦弗倫尼

（Bonferroni）聯(lián)合置信區(qū)間：

它的置信度至少為1?α。若tα/2k(n?1)≤Tα，則邦弗倫尼區(qū)間比T2區(qū)間要窄，這時(shí)宜采用前者作為聯(lián)合置信區(qū)間；反之，若tα/2k(n?1)>Tα，則邦弗倫尼區(qū)間比T2

區(qū)間寬，宜采用后者作為聯(lián)合置信區(qū)間。當(dāng)k=p時(shí)，邦弗倫尼區(qū)間要比T2

區(qū)間窄。故在求μ的所有p個(gè)分量μ1,μ2,?,μp的聯(lián)合置信區(qū)間時(shí)，應(yīng)采用邦弗倫尼區(qū)間。當(dāng)前第9頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)例6.2.2為評估某職業(yè)培訓(xùn)中心的教學(xué)效果，隨機(jī)抽取8名受訓(xùn)者，進(jìn)行甲和乙兩個(gè)項(xiàng)目的測試，其數(shù)據(jù)列于表。假定x=(x1,x2)′服從二元正態(tài)分布。n=8,p=2，取1?α=0.90，F(xiàn)0.10(2,6)=3.46，于是，T0.10=2.841。表4.2.2 兩個(gè)項(xiàng)目的測試成績編

號12345678甲項(xiàng)成績x16280668475805479乙項(xiàng)成績x27077758787916184當(dāng)前第10頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)μ的0.90置信區(qū)域?yàn)?/p>

即 0.0436×(μ1?72.5)2?0.0812×(μ1?72.5)(μ2?79) +0.0475×(μ2?79)2≤1.009

這是一個(gè)橢圓區(qū)域。μ1和μ2的0.90聯(lián)合T2置信區(qū)間為

即61.84≤μ1≤83.16，68.80≤μ2≤89.20

這兩個(gè)區(qū)間分別正是橢圓在μ1軸和μ2軸上的投影。當(dāng)前第11頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)μ1和μ2的0.90邦弗倫尼聯(lián)合置信區(qū)間為（t0.025(7)= 2.3646）

即63.63≤μ1≤81.37，70.51≤μ2≤87.49這個(gè)聯(lián)合置信區(qū)間在精確度方面要好于T2聯(lián)合置信區(qū)間。由該聯(lián)合置信區(qū)間可得到置信度至少為0.90的矩形置信區(qū)域（見圖中的實(shí)線矩形），但其矩形面積要大于橢圓面積。當(dāng)前第12頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)圖4.2.1置信橢圓和聯(lián)合置信區(qū)間當(dāng)前第13頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)利用置信區(qū)域進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)在例中，如果在α=0.10下對假設(shè)

H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0進(jìn)行檢驗(yàn)，其中μ=(μ1,μ2)′，μ0=(μ01,μ02)′，則我們?nèi)菀桌脠D中的橢圓得出檢驗(yàn)的結(jié)果。若被檢驗(yàn)值μ0位于圖中的橢圓外，則拒絕；反之，則接受。圖中的虛線矩形在μ1和μ2軸上的區(qū)間范圍分別是μ1和μ2的0.90置信區(qū)間。當(dāng)μ0位于橢圓外虛線矩形內(nèi)的位置（如圖中A點(diǎn)）時(shí)，檢驗(yàn)結(jié)果雖拒絕H0，但如在α=0.10下分別檢驗(yàn)H01：μ1=μ01，H11：μ1≠μ01和H02：μ2=μ02，H12：μ2≠μ02

則檢驗(yàn)結(jié)果都將接受原假設(shè)；當(dāng)μ0位于橢圓內(nèi)虛線矩形外的位置（如圖中B點(diǎn)）時(shí)，檢驗(yàn)結(jié)果雖接受H0，但H01：μ1=μ01和H02：μ2=μ02都將會(huì)被拒絕。當(dāng)前第14頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)§6.3單個(gè)總體均值分量間

結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)設(shè)x1,x2,?,xn是取自多元正態(tài)總體Np(μ,Σ)的一個(gè)樣本，Σ>0，n>p，欲檢驗(yàn)H0：Cμ=φ，H1：Cμ≠φ

其中C為一已知的k×p矩陣，k＜p,rank(C)=k，φ為已知的k維向量。根據(jù)多元正態(tài)分布的性質(zhì)知Cx~Nk(Cμ,CΣC′)

由于當(dāng)前第15頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)

故CΣC′>0。故我們可以用上一節(jié)檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ=μ0的方法來檢驗(yàn)上述假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

當(dāng)原假設(shè)H0：Cμ=φ為真時(shí)，

對于給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：

若

，則拒絕H0

其中

。特別地，若欲檢驗(yàn)H0：Cμ=0，H1：Cμ≠0

則T2可簡化為

當(dāng)前第16頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)例6.3.1設(shè)x~Np(μ,Σ)，μ=(μ1,μ2,?,μp)′，Σ>0，x1,x2,?,xn是取自該總體的一個(gè)樣本，欲檢驗(yàn)H0：μ1=μ2=?=μp，H1：μi≠μj,至少存在一對i≠j

令

則上面的假設(shè)可表達(dá)為H0：Cμ=0，H1：Cμ≠0

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為當(dāng)前第17頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)

對于給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：

若

，則拒絕H0

其中由于C是行滿秩的，且每行均為對比向量（即有一個(gè)1和一個(gè)?1，其余皆為0），故稱C為對比矩陣。該例中對比矩陣C的選擇不是惟一的，比如也可以選取對比矩陣為當(dāng)前第18頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)例6.3.2在例中，假定人類有這樣一個(gè)一般規(guī)律：身高、胸圍和上半臂圍的平均尺寸比例為6:4:1，我們希望檢驗(yàn)表中的數(shù)據(jù)是否符合這一規(guī)律，也就是欲檢驗(yàn)H0：μ1/6=μ2/4=μ3，H1：μ1/6,μ2/4,μ3至少有兩個(gè)不等

令

則上面假設(shè)可表達(dá)為H0：Cμ=0，H1：Cμ≠0

經(jīng)計(jì)算

從而當(dāng)前第19頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)

故

又因

所以拒絕原假設(shè)H0，即認(rèn)為這組數(shù)據(jù)與人類的一般規(guī)律不一致(p=0.008)。上述的C也可以選擇為

檢驗(yàn)的結(jié)果是不變的。當(dāng)前第20頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)§6.4兩個(gè)總體均值的比較推斷一、兩個(gè)獨(dú)立樣本的情形二、成對試驗(yàn)的T2統(tǒng)計(jì)量當(dāng)前第21頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)一、兩個(gè)獨(dú)立樣本的情形設(shè)從兩個(gè)總體Np(μ1,Σ)和Np(μ2,Σ)中各自獨(dú)立地抽取一個(gè)樣本

和

，Σ>0，欲檢驗(yàn)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2 μ1,μ2的無偏估計(jì)

Σ的聯(lián)合無偏估計(jì)

其中當(dāng)前第22頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)

為兩個(gè)樣本協(xié)方差矩陣。

霍特林T2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，

對給定的α，拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0

其中當(dāng)前第23頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)在實(shí)際應(yīng)用中，一旦H0：μ1=μ2被拒絕了，則可以考慮對所有的i(1≤i≤p)，在相同的顯著性水平下再進(jìn)一步檢驗(yàn)H0i：μ1i=μ2i，以判斷是否有分量及（若有）具體是哪些分量對拒絕H0：μ1=μ2起了較大作用，這樣做常常是有益的。｛a′(μ1?μ2)，a∈Rp｝的1?α聯(lián)合置信區(qū)間為當(dāng)k很小時(shí)，可采用邦弗倫尼不等式給出｛ai′(μ1?μ2)，i=1,2,?,k｝的1?α聯(lián)合置信區(qū)間當(dāng)前第24頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)例6.4.1(例續(xù))表給出了相應(yīng)于表的9名2周歲女嬰的數(shù)據(jù)。我們欲在多元正態(tài)性假定下檢驗(yàn)2周歲的男嬰與女嬰的均值向量有無顯著差異。表4.4.1 某地區(qū)農(nóng)村女嬰的體格測量數(shù)據(jù)編

號身高(cm)胸圍(cm)上半臂圍(cm)18058.414.027559.215.037860.315.047557.413.057959.514.067858.114.577558.012.586455.511.098059.212.5當(dāng)前第25頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)從例得

從表計(jì)算得當(dāng)前第26頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)

所以

因

，故不能拒絕原假設(shè)H0，即認(rèn)為兩個(gè)均值向量無顯著差異(p=0.27)。當(dāng)前第27頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)二、成對試驗(yàn)的T2統(tǒng)計(jì)量設(shè)(xi,yi)，i=1,2,?,n(n>p)是成對試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，令di=xi?yi，i=1,2,?,n

又設(shè)d1,d2,?,dn獨(dú)立同分布于Np(δ,Σ)，其中Σ>0，δ=μ1?μ2，μ1和μ2分別是總體x和總體y的均值向量。希望檢驗(yàn)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2

等價(jià)于H0：δ=0，H1：δ≠0

這樣，兩個(gè)總體的均值比較檢驗(yàn)問題就可以化為一個(gè)總體的情形。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為當(dāng)前第28頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)

其中

當(dāng)原假設(shè)H0：δ=0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量

對給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0

其中當(dāng)前第29頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)§6.5兩個(gè)總體均值分量間

結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的樣本

和

分別取自總體Np(μ1,Σ)和總體Np(μ2,Σ)，Σ>0，n1+n2?2≥p，我們希望檢驗(yàn)H0：C(μ1?μ2)=φ，H1：C(μ1?μ2)≠φ

其中C為一已知的k×p矩陣，k＜p,rank(C)=k，φ為一已知的k維向量。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

其中Sp是Σ的聯(lián)合無偏估計(jì)。當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，當(dāng)前第30頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0其中例4.5.1某種產(chǎn)品有甲、乙兩種品牌，從甲產(chǎn)品批和乙產(chǎn)品批中分別隨機(jī)地抽取5個(gè)樣品，測量相同的5個(gè)指標(biāo)，數(shù)據(jù)列于表。在多元正態(tài)性假定下，試問甲、乙兩種品牌產(chǎn)品的每個(gè)指標(biāo)間的差異是否有顯著的不同。該題就是要檢驗(yàn)H0：C(μ乙?μ甲)=0，H1：C(μ乙?μ甲)≠0

其中當(dāng)前第31頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)表4.5.1 甲、乙兩種品牌產(chǎn)品的指標(biāo)值指標(biāo)12345樣品甲111181518152332731211732028272319418261818952223221610均

值20.824.422.619.214.0乙1181720181823124312620314161720174252431261853628242629均

值24.821.824.623.220.4當(dāng)前第32頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

經(jīng)計(jì)算當(dāng)前第33頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)當(dāng)前第34頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)

所以

由于

，所以在α=0.05下拒絕原假設(shè)H0(p=0.044)。當(dāng)前第35頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)§6.6多個(gè)總體均值的比較檢驗(yàn)

（多元方差分析）設(shè)有k個(gè)總體π1,π2,?,πk，它們的分布分別是Np(μ1,Σ),Np(μ2,Σ), ?,Np(μk,Σ)，今從這k個(gè)總體中各自獨(dú)立地抽取一個(gè)樣本，取自總體πi的樣本為

，i=1,2,?,k?，F(xiàn)欲檢驗(yàn)H0：μ1=μ2=?=μk，H1：μi≠μj,至少存在一對i≠j

記當(dāng)前第36頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)

則SST=SSE+SSTR

稱SST、SSE和SSTR分別為總平方和及交叉乘積和、誤差(或組內(nèi))平方和及交叉乘積和和處理(或組間)平方和及交叉乘積和，它們分別具有自由度(n?1)、(n?k)和(k?1)。采用似然比方法可以得到威爾克斯（Wilks）Λ統(tǒng)計(jì)量

對給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：若Λp,k?1,n?k≤Λp,k?1,n?k,α，則拒絕H0

其中臨界值Λp,k?1,n?k,α滿足：當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，P(Λp,k?1,n?k≤Λp,k?1,n?k,α)=α Λp,m,r,α常通過查F分布(或卡方分布)表得到(或近似得到)。當(dāng)前第37頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)例6.6.1為了研究銷售方式對商品銷售額的影響，選擇四種商品（甲、乙、丙和丁）按三種不同的銷售方式（Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ）進(jìn)行銷售。這四種商品的銷售額分別為x1,x2,x3,x4,其數(shù)據(jù)見表。表4.6.1 銷售額數(shù)據(jù)編

號銷售方式Ⅰ銷售方式Ⅱ銷售方式Ⅲx1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x41125603382106654455310653348026021198023333082454032101003446829536351260203656531228065634162654655142915040514772801174846825051306540320567544812931146339538066945350190385046821055305462357466058520042453511906451507320當(dāng)前第38頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)8146662732501134039031011090442225987545852408055520200606244024810110775072707660507189110693772601110760364200943326028088782993601213061391200605142919073633903201380454292705540390295114554942401460504421906548481177103544163101581542602806948442225100332733121613587507260125633122701406131234517574840028512056416280803628625018755252026070454683701355446834519766540325062664162241306932536020554241117069603772806057273260當(dāng)前第39頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)該題中，我們需要檢驗(yàn)H0：μ1=μ2=μ3，H1：μ1,μ2,μ3中至少有兩個(gè)不相等

其中μ1,μ2,μ3分別為銷售方式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的總體均值向量。假定這三個(gè)總體均為多元正態(tài)總體，且它們的協(xié)差陣相同。p=4，k=3，n1=n2=n3=20，n=n1+n2+n3=60

當(dāng)前第40頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)當(dāng)前第41頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)

于是

由附錄4?3中的(4?3.4)式可得

查F分布表得，F(xiàn)0.01(8,108)=2.68＜3.039，從而在α=0.01的水平下拒絕原假設(shè)H0，因此可認(rèn)為三種銷售方式的銷售額有十分顯著的差異(p=0.004)。當(dāng)前第42頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)為了解這三種銷售方式的顯著差異究竟是由哪些商品引起的，我們對這四種商品分別用一元方差分析方法進(jìn)行檢驗(yàn)分析。利用SSTR和SSE這兩個(gè)矩陣對角線上的元素有

查表得，F(xiàn)0.05(2,57)=3.16，F(xiàn)0.01(2,57)=5.01，故甲商品有顯著差異(p=0.041)，丁商品有十分顯著的差異(p=0.001),而乙和丙商品無顯著差異(p=0.208和p=0.848)。當(dāng)前第43頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)如果剔除丁商品，然后再對其他三種商品用Λ統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，則有

F0.05(6,110)=2.18>1.328，不顯著，因此說明對甲、乙、丙這三種商品，銷售方式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的總體均值向量之間無顯著差異(p=0.251)。當(dāng)前第44頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)上面我們論述了多個(gè)遵從多元正態(tài)分布的總體的均值比較問題，在實(shí)際研究中，人們常常需要對來自兩正態(tài)總體的樣本做更細(xì)致的分析。比如，比較兩總體各個(gè)指標(biāo)之間變動(dòng)的幅度是否相等，進(jìn)一步，如果兩總體各指標(biāo)之間的變量幅度相等，比較兩總體的均值是否相等，更進(jìn)一步，當(dāng)通過了兩總體均值相等的假設(shè)之后，檢驗(yàn)兩總體各個(gè)指標(biāo)的取值是否相等。統(tǒng)計(jì)學(xué)家將對這類問題的解決方法歸結(jié)為本節(jié)所講的形象分析（ProfileAnalysis）。形象分析廣泛地用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，同時(shí)，也可應(yīng)用于其他領(lǐng)域?qū)Χ鄠€(gè)指標(biāo)的比較研究。本節(jié)主要講述形象分析的基本思想，分析過程及用SPSS軟件進(jìn)行形象分析的方法。2023/6/1745

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§6.6形象分析當(dāng)前第45頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)2023/6/1746

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§2.3.1形象分析的基本思想形象（profile）又稱輪廓圖，是將總體樣本的均值繪制到同一坐標(biāo)軸里所得的折線圖，每一個(gè)指標(biāo)都表示為折線圖上的一點(diǎn)，若總體有個(gè)指標(biāo)，則其形象即由坐標(biāo)軸里個(gè)點(diǎn)連接而成。注意這里的個(gè)指標(biāo)必須是同類可比指標(biāo)，否則不能畫到一個(gè)坐標(biāo)里面。形象分析即是將兩（多）總體的形象繪制到同一坐標(biāo)下，根據(jù)形象（輪廓圖）的形狀對總體的均值進(jìn)行比較分析。設(shè)我們要對A、B兩個(gè)多元正態(tài)總體（方差相等）的個(gè)同類指標(biāo)作比較，分別從兩總體隨機(jī)抽取、個(gè)樣本，將樣本均值作圖得到如圖2-1所示的形象：當(dāng)前第46頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)2023/6/1747

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§2.3.1形象分析的基本思想由上面的輪廓圖可以清楚地看到，兩總體的形象大體平行，也就是說，個(gè)指標(biāo)的變動(dòng)幅度大致相等，是否如此還須得到統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)才能下結(jié)論。圖2-1兩總體的形象圖當(dāng)前第47頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)2023/6/1748目錄上頁下頁返回結(jié)束

§2.3.1形象分析的基本思想進(jìn)一步，若兩總體形象平行的假設(shè)被接受，我們還想知道兩總體的形象是否重合，即兩總體均值是否相等。更進(jìn)一步，若兩總體均值相等，那么兩總體的形象是否水平，即這個(gè)指標(biāo)之間是否有顯著差異呢？形象分析就是針對這些問題，借助于方差分析的思想，依次提出兩總體形象平行、重合、水平的假設(shè)，然后選擇合適的統(tǒng)計(jì)量對這三個(gè)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)的分析。當(dāng)前第48頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)2023/6/1749

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§2.3.2形象分析的基本理論設(shè)均值向量，,均值向量,則針對上面的問題，相應(yīng)的假設(shè)的形式與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如下所述：1.兩總體形象平行的假設(shè)與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：(2.23)當(dāng)前第49頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)2023/6/1750

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§2.3.2形象分析的基本理論則上面的假設(shè)可寫為：

當(dāng)前第50頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)2023/6/1751

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§2.3.2形象分析的基本理論(2.25)則若：拒絕，否則沒有足夠理由拒絕，認(rèn)為兩總體的形象平行，若假設(shè)被接受，則我們可以繼續(xù)對下面兩個(gè)假設(shè)給予檢驗(yàn).當(dāng)前第51頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)2023/6/1752

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§2.3.2形象分析的基本理論

2.兩總體的形象重合的假設(shè)與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(2.26)由前所述，反映了兩總體之間的平均差異程度，因此可以求出的置信區(qū)間，若所求置信區(qū)間顯著不包括0，則說明兩總體均值有明顯差異，即拒絕兩總體形象重合的假設(shè)，反之，沒有足夠理由拒絕，認(rèn)為兩總體形象是重合的。的極大似然估計(jì)為：(2.27)當(dāng)前第52頁\共有57頁\編于星期五\10點(diǎn)2023/6/1753