2022北京平谷高二（下）期末數(shù)學(xué)（教師版）

1/12022北京平谷高二（下）期末數(shù)學(xué)2022.7一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（）A.1 B.2 C.3 D.42.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么（）A.函數(shù)在上不單調(diào)B.函數(shù)在的切線的斜率為0C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值點(diǎn)3.已知等比數(shù)列滿足，則等于（）A. B. C. D.4.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.在所有重卦中恰有3個(gè)陽(yáng)爻的個(gè)數(shù)是（）A.20 B.8 C.9 D.1205.已知是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)和，則其公差A(yù). B. C. D.6.若是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（）A.26 B.18 C.22 D.727.函數(shù)在上極小值點(diǎn)為（）A. B. C. D.8.口袋中裝有三個(gè)編號(hào)分別為1，2，3小球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取球，每次取一個(gè)球，確定編號(hào)后放回，連續(xù)取球兩次．則“兩次取球中有3號(hào)球”的概率為A. B. C. D.9.已知直線與曲線切于點(diǎn)，則b的值為（）A.3 B. C.5 D.10.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過(guò)程中，其含量M（單位：太貝克）與時(shí)間t（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系：M（t）=M0，其中M0為t=0時(shí)銫137的含量．已知t=30時(shí)，銫137含量的變化率是﹣10In2（太貝克/年），則M（60）=（）A.5太貝克 B.75In2太貝克 C.150In2太貝克 D.150太貝克二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上.）11.展開式中x的系數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.12.甲?乙兩人向同一目標(biāo)各射擊一次，已知甲命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為，已知目標(biāo)至少被命中1次，則乙命中目標(biāo)的概率為___________.13.在等比數(shù)列中，若，則公比__________；__________時(shí)，的前項(xiàng)積最大.14.設(shè)雙曲線＝1(a>0，b>0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為________.15.已知數(shù)列具有性質(zhì)對(duì)任意與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng).現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：①數(shù)列具有性質(zhì)；②數(shù)列具有性質(zhì)；③若數(shù)列具有性質(zhì)，則；④若數(shù)列具有性質(zhì)，則.其中正確的命題有___________.三?解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且當(dāng)時(shí)，取得極值.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.17.已知是等差數(shù)列，，其前5項(xiàng)和.（1）求的通項(xiàng)；（2）求前項(xiàng)和的最大值.18.某學(xué)校為了解高一新生的體質(zhì)健康狀況，對(duì)學(xué)生的體質(zhì)進(jìn)行了測(cè)試，現(xiàn)從男?女生中各隨機(jī)抽取20人作為樣本，把他們的測(cè)試數(shù)據(jù)，按照《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》整理如下表，規(guī)定：數(shù)據(jù)，體質(zhì)健康為合格.等級(jí)數(shù)據(jù)范圍男生人數(shù)女生人數(shù)優(yōu)秀42良好54及格811不及格60以下33總計(jì)—2020（1）估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生體質(zhì)健康等級(jí)是合格的概率；（2）從樣本等級(jí)為優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行再測(cè)試，設(shè)抽到的女生數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率.19.已知橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與直線平行的直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：為定值.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.21.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和4.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且直線與軸不重合，直線分別與軸交于兩點(diǎn).求證：為定值.

參考答案一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得解；【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；故選：A2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么（）A.函數(shù)在上不單調(diào)B.函數(shù)在的切線的斜率為0C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象與原函數(shù)的關(guān)系逐個(gè)判斷即可【詳解】對(duì)A，在上，故函數(shù)在上單調(diào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故函數(shù)在的切線的斜率大于0，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，左右兩邊都有，故不是函數(shù)的極小值點(diǎn)；對(duì)D，且在左側(cè)，右側(cè)，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故D正確；故選：D3.已知等比數(shù)列滿足，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得公比，進(jìn)而計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列公比為，若，，則有，解得，故.故選：D.4.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.在所有重卦中恰有3個(gè)陽(yáng)爻的個(gè)數(shù)是（）A.20 B.8 C.9 D.120【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意在6個(gè)爻選3個(gè)作為陽(yáng)爻求解即可【詳解】由題意，在所有重卦中恰有3個(gè)陽(yáng)爻的個(gè)數(shù)是故選：A5.已知是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)和，則其公差A(yù). B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】，解得，則，故選D．6.若是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（）A.26 B.18 C.22 D.72【答案】C【解析】【分析】利用數(shù)列前項(xiàng)和與數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系即得.【詳解】∵∴.故選：C.7.函數(shù)在上的極小值點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性得出結(jié)論即可.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間[0，]上是增函數(shù)，在區(qū)間[，]上是減函數(shù)，在[，π]是增函數(shù)．因此，函數(shù)在上的極小值點(diǎn)為.故選：C.8.口袋中裝有三個(gè)編號(hào)分別為1，2，3的小球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取球，每次取一個(gè)球，確定編號(hào)后放回，連續(xù)取球兩次．則“兩次取球中有3號(hào)球”的概率為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】每次取球時(shí)，出現(xiàn)3號(hào)球的概率為，則兩次取得球都是3號(hào)求得概率為，兩次取得球只有一次取得3號(hào)求得概率為，故“兩次取球中有3號(hào)球”的概率為，本題選擇A選項(xiàng).9.已知直線與曲線切于點(diǎn)，則b的值為（）A.3 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】因?yàn)槭侵本€與曲線的交點(diǎn),所以把代入直線方程即可求出斜率k的值,然后利用求導(dǎo)法則求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù),把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中得到切線的斜率,讓斜率等于k列出關(guān)于a的方程,求出方程的解得到a的值,然后把切點(diǎn)坐標(biāo)和a的值代入曲線方程,即可求出b的值.【詳解】把代入直線中,得到,求導(dǎo)得：,所以,解得,把及代入曲線方程得：,則b的值為3.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程斜率,是一道基礎(chǔ)題.10.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過(guò)程中，其含量M（單位：太貝克）與時(shí)間t（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系：M（t）=M0，其中M0為t=0時(shí)銫137的含量．已知t=30時(shí)，銫137含量的變化率是﹣10In2（太貝克/年），則M（60）=（）A.5太貝克 B.75In2太貝克 C.150In2太貝克 D.150太貝克【答案】D【解析】【詳解】M'（t）=M0×，M'（30）=M0×=﹣10ln2，∴M0=600．∴．故選D．二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上.）11.的展開式中x的系數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)，再令，求出，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，故展開式中的系數(shù)為；故答案為：12.甲?乙兩人向同一目標(biāo)各射擊一次，已知甲命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為，已知目標(biāo)至少被命中1次，則乙命中目標(biāo)的概率為___________.【答案】##【解析】【分析】計(jì)算得到目標(biāo)至少被命中1次的概率、目標(biāo)至少被命中1次且乙命中目標(biāo)的概率，由條件概率公式可求得結(jié)果．【詳解】解：記事件為“乙命中目標(biāo)”，事件為“目標(biāo)至少被命中1次”，則，，．故答案為：．13.在等比數(shù)列中，若，則公比__________；__________時(shí)，的前項(xiàng)積最大.【答案】①.②.【解析】【詳解】在等比數(shù)列中,由,得，∴；∴則的前n項(xiàng)積：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有最大值．又，且當(dāng)n為大于等于4的偶數(shù)時(shí),，∴當(dāng)n=4時(shí),的前n項(xiàng)積最大.故答案為；4.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)，前n項(xiàng)積的表達(dá)式，要分析奇數(shù)，偶數(shù)的特點(diǎn)，從而找出最大項(xiàng).14.設(shè)雙曲線＝1(a>0，b>0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為________.【答案】y＝±x【解析】【分析】由已知得，再結(jié)合求得a，可得漸近線方程．【詳解】因?yàn)?b＝2，所以b＝1，因?yàn)?c＝2，所以c＝，所以a＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.故答案為：y＝±x．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題．15.已知數(shù)列具有性質(zhì)對(duì)任意與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng).現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：①數(shù)列具有性質(zhì)；②數(shù)列具有性質(zhì)；③若數(shù)列具有性質(zhì)，則；④若數(shù)列具有性質(zhì)，則.其中正確的命題有___________.【答案】②③④.【解析】【分析】利用數(shù)列新定義判斷①,②；③取數(shù)列中最大項(xiàng)，則與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，而不是該數(shù)列中的項(xiàng)，所以0是該數(shù)列中的項(xiàng),即可判斷；④由題意可知與至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，且，分是該數(shù)列中的一項(xiàng)和是該數(shù)列中的一項(xiàng)討論即可.【詳解】解：①對(duì)于數(shù)列0，1，3，選取1，3，則3+1A，，所以數(shù)列0，1，3不具有性質(zhì)P，故錯(cuò)誤；②對(duì)于數(shù)列0，2，4，6，（2+0，2-0），（4+0，4-0），(6+0，6-0)，(4+2，4-2)，(6+2，6-2)，(6+4，6-4)這6組數(shù)中的每一組至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，所以數(shù)列0，2，4，6具有性質(zhì)P.故正確；③若數(shù)列具有性質(zhì)，取數(shù)列中最大項(xiàng)，則與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，而不是該數(shù)列中的項(xiàng)，所以0是該數(shù)列中的項(xiàng)，又由，所以，故③正確；④因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，所以與至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，且，若是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則，因?yàn)?，易知不是該?shù)列的項(xiàng)，所以，所以．若是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則或或，a、若同，b、若，則，與矛盾，c、，則，綜上．故④正確．故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，此題能很好的考查學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，側(cè)重于對(duì)能力的考查，屬中檔題．三?解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且當(dāng)時(shí)，取得極值.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得且，即可得到方程組，解得即可；（2）由（1）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【小問(wèn)1詳解】解：由，有且，，解得，故，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，取得極值，符合題意.【小問(wèn)2詳解】解：，，令解得或，令解得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.17.已知是等差數(shù)列，，其前5項(xiàng)和.（1）求的通項(xiàng)；（2）求前項(xiàng)和的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合等差設(shè)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)直接求解即可.小問(wèn)1詳解】為等差數(shù)列，，，.又，即，解得，故，即【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，隨著的增大而減小，且，，故當(dāng)或時(shí)，有最大值.18.某學(xué)校為了解高一新生的體質(zhì)健康狀況，對(duì)學(xué)生的體質(zhì)進(jìn)行了測(cè)試，現(xiàn)從男?女生中各隨機(jī)抽取20人作為樣本，把他們的測(cè)試數(shù)據(jù)，按照《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》整理如下表，規(guī)定：數(shù)據(jù)，體質(zhì)健康為合格.等級(jí)數(shù)據(jù)范圍男生人數(shù)女生人數(shù)優(yōu)秀42良好54及格811不及格60以下33總計(jì)—2020（1）估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生體質(zhì)健康等級(jí)是合格的概率；（2）從樣本等級(jí)為優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行再測(cè)試，設(shè)抽到的女生數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意的可能取值為、、，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）首先求出樣本中男、女生健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率，再利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：樣本中合格的學(xué)生數(shù)為：，樣本總數(shù)為：，這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率.【小問(wèn)2詳解】解：依題意的可能取值為、、，所以，，，所以的分布列為：所以.【小問(wèn)3詳解】解：由樣本可知男生健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率為，女生健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率為，則這3人中恰有2人健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率.19.已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與直線平行的直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得、，再根據(jù)、、的關(guān)系，求出，即可得解；（2）設(shè)直線的方程為：，，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立直線與橢圓方程，求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，再求出，的坐標(biāo)，最后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到，即可得證；【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，，，解得，所以橢圓的方程為：；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)直線的方程為：，則過(guò)原點(diǎn)的直線且與直線平行的直線為，因?yàn)槭侵本€與的交點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的方程與橢圓方程聯(lián)立：，整理可得：，可得，，即，因?yàn)?，?/p>