高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)選修回歸分析教學(xué)設(shè)計

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一課時3。1教學(xué)目標(biāo)（1）通過實(shí)例引入線性回歸模型，感受產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因；（2)通過對回歸模型的合理性等問題的研究，滲透線性回歸分析的思想和方法；（3）能求出簡單實(shí)際問題的線性回歸方程．教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估計值的探求方法．教學(xué)過程一．問題情境1．情境：對一作直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動過程觀測了次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，試估計當(dāng)x=９時的位置y的值．時刻/s［來源:］位置觀測值/cm根據(jù)《數(shù)學(xué)（必修)》中的有關(guān)內(nèi)容,解決這個問題的方法是：先作散點(diǎn)圖，如下圖所示：［來源：]從散點(diǎn)圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈直線趨勢，時間與位置觀測值y之間有著較好的線性關(guān)系．因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關(guān)系．根據(jù)線性回歸的系數(shù)公式，可以得到線性回歸方為，所以當(dāng)時,由線性回歸方程可以估計其位置值為2．問題：在時刻時，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動位置一定是嗎？二．學(xué)生活動思考，討論:這些點(diǎn)并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反映與之間的關(guān)系，的值不能由完全確定，它們之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系，的實(shí)際值與估計值之間存在著誤差．三．建構(gòu)數(shù)學(xué)1．線性回歸模型的定義：我們將用于估計值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)；的實(shí)際值與估計值之間的誤差記為,稱之為隨機(jī)誤差;將稱為線性回歸模型．說明:(1）產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有：①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差；②忽略了某些因素的影響;③存在觀測誤差．（2）對于線性回歸模型，我們應(yīng)該考慮下面兩個問題：①模型是否合理；②在模型合理的情況下，如何估計，？2．探求線性回歸系數(shù)的最佳估計值：對于問題②，設(shè)有對觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)線性回歸模型,對于每一個，對應(yīng)的隨機(jī)誤差項,我們希望總誤差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值時的，值作為，的估計值，記為，．注:這里的就是擬合直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離．用什么方法求，?回憶利用最小二乘法可以得到，的計算公式為，其中，由此得到的直線就稱為這對數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù),稱為回歸值．在前面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的線性回歸方程中，,．3．線性回歸方程中，的意義是:以為基數(shù)，每增加1個單位,相應(yīng)地平均增加個單位；4．化歸思想(轉(zhuǎn)化思想）在實(shí)際問題中，有時兩個變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識或散點(diǎn)圖,對某些特殊的非線性關(guān)系,選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)．下面列舉出一些常見的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式．（1）,令，，則有．（2)，令，，，則有．（3），令，，，則有．（4），令，，，則有．（5），令，,則有．四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用典例分析例1．下表給出了我國從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計我國年的人口數(shù)．年份人口數(shù)/百萬解:為了簡化數(shù)據(jù)，先將年份減去,并將所得值用表示，對應(yīng)人口數(shù)用表示，得到下面的數(shù)據(jù)表：［來源:］作出個點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖，由圖可知,這些點(diǎn)在一條直線附近，可以用線性回歸模型來表示它們之間的關(guān)系．根據(jù)公式（1）可得這里的分別為的估計值,因此線性回歸方程為由于年對應(yīng)的,代入線性回歸方程可得（百萬），即年的人口總數(shù)估計為13.23億.例2．某地區(qū)對本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查,下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本(萬元）與人均產(chǎn)出（萬元）的數(shù)據(jù)：人均資本/萬元人均［來源：]產(chǎn)出/萬元(1）設(shè)與之間具有近似關(guān)系（為常數(shù)），試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計和的值；（2）估計企業(yè)人均資本為萬元時的人均產(chǎn)出（精確到）．分析：根據(jù),所具有的關(guān)系可知，此問題不是線性回歸問題，不能直接用線性回歸方程處理．但由對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可知，只要對的兩邊取對數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系．解(1）在的兩邊取常用對數(shù)，可得，設(shè)，，，則．相關(guān)數(shù)據(jù)計算如圖所示．1人均資本/萬元345.56.578910。511。5142人均產(chǎn)出/萬元4.124.678.6811.0113.0414。4317.525。4626.6645.230.477120。602060。740360。812910.84510.903090。954241。021191.06071.1461340.61490.669320。938521。041791.115281.159271。243041。405861。425861。65514仿照問題情境可得，的估計值，分別為由可得，即，的估計值分別為和．（2）由（1）知．樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖（見書本頁）當(dāng)時，（萬元），故當(dāng)企業(yè)人均資本為萬元時,人均產(chǎn)值約為萬元．五．回顧小結(jié)：1．線性回歸模型與確定性函數(shù)相比，它表示與之間是統(tǒng)計相關(guān)