2022-2023學(xué)年湖南省長沙市高三年級下冊學(xué)期5月高考仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

長沙市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期5月高考仿真模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)： 1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。 2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。 3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。 4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，設(shè)全集，則() A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則() A． B． C．2 D．43．已知平面向量滿足，，且與的夾角為，則() A． B． C． D．4．李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，通過統(tǒng)計(jì)相關(guān)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時(shí)和騎自行車用時(shí)都近似服從正態(tài)分布.繪制了概率分布密度曲線，如圖所示，則下列哪種情況下，應(yīng)選擇騎自行車()A.有26min可用 B.有30min可用 C.有34min可用 D.有38min可用5．已知角的終邊在直線上，則()A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，，垂足為，與軸交點(diǎn)為，若，且的面積為，則的方程為() A． B． C． D．7．如圖，一個(gè)由四根細(xì)鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時(shí)針排布），若，一個(gè)半徑為1的球恰好放在支架上與四根細(xì)鐵桿均有接觸，則球心到點(diǎn)的距離是()A．2 B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)滿足：則()A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．6個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成的散點(diǎn)圖，如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，若在6個(gè)數(shù)據(jù)中去掉后，下列說法正確的是()A．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng) B．樣本相關(guān)系數(shù)r變大C．殘差平方和變小 D．決定系數(shù)變小10．若，且，則()A． B．C． D．11．在△中，角所對的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是()A． B．△為鈍角三角形C．若，則△的面積是 D．若△外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則12．如圖，圓柱的底面半徑和母線長均為是底面直徑，點(diǎn)在圓上且，點(diǎn)在母線，點(diǎn)是上底面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則()A．的最小值為B．若，則點(diǎn)的軌跡長為4C．若，則四面體的外接球的表面積為D．若，則點(diǎn)的軌跡長為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是________．14．中國古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.15.直線與橢圓(m>0)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，則m＝，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.16．若，則的取值范圍是____________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求和：.18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其中ω為正整數(shù)，|φ|＜Eq\f(π,2)，且．(1)求y＝f(x)圖象的一個(gè)對稱中心；(2)若，求φ．19.（本小題滿分12分）如圖，三棱臺(tái)，,，平面平面，，,與相交于點(diǎn)，，且∥平面.(1)求三棱錐的體積；(2)平面與平面所成角為，與平面所成角為，求證：.20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，，求證：.21.（本小題滿分12分）甲、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即，(=1\*romani)求的取值范圍；(=2\*romanii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實(shí)際含義.22.（本小題滿分12分）如圖，已知直線，，是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∥且與相交于點(diǎn)（位于第一象限），∥,且與相交于點(diǎn)（位于第四象限），若四邊形（為原點(diǎn)）的面積為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，是否存在定直線，使以為直徑的圓與直線相交于兩點(diǎn)，且為定值，若存在，求出的方程，若不存在，請說明理由.數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，設(shè)全集，則() A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得到，所以，又因，所以，因?yàn)槿怨蔬x：C．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則() A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】由，得，.故選：A.3．已知平面向量滿足，，且與的夾角為，則() A． B． C． D． 【答案】D4．李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，通過統(tǒng)計(jì)相關(guān)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時(shí)和騎自行車用時(shí)都近似服從正態(tài)分布.繪制了概率分布密度曲線，如圖所示，則下列哪種情況下，應(yīng)選擇騎自行車() A.有26min可用 B.有30min可用 C.有34min可用 D.有38min可用【答案】D【解析】根據(jù)X和Y的分布密度曲線圖可知，.所以，如果有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎自行車.【命題來源】改編自《選擇性必修第三冊》P86-例.5．已知角的終邊在直線上，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榻堑慕K邊在直線上，故，所以，故選：A.6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，，垂足為，與軸交點(diǎn)為，若，且的面積為，則的方程為() A． B． C． D．【答案】B【解析】由拋物線定義知，所以為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，,的面積，所以的方程為，故答案為：B.7．如圖，一個(gè)由四根細(xì)鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時(shí)針排布），若，一個(gè)半徑為1的球恰好放在支架上與四根細(xì)鐵桿均有接觸，則球心到點(diǎn)的距離是()A．2 B． C． D．【答案】C【解析】如上圖正四棱錐，為底面中心，為球心，為球體與的切點(diǎn)，又，故各側(cè)面均為等邊三角形，若側(cè)面三角形邊長為，則，，，顯然△△，故，則.故選A.8．已知實(shí)數(shù)滿足：則()A． B． C． D．【答案】A【解析】，設(shè)設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，設(shè)設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，同理，由得，又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，由，所以，且是單調(diào)遞減函數(shù)，所以.綜上：

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．6個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成的散點(diǎn)圖，如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，若在6個(gè)數(shù)據(jù)中去掉后，下列說法正確的是()A．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng) B．樣本相關(guān)系數(shù)r變大C．殘差平方和變小 D．決定系數(shù)變小【答案】AC【解析】去掉后，變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，故A正確；但由于散點(diǎn)的分布是從左上到右下，故變量x，y負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)r變小，殘差平方和變小，決定系數(shù)變大，C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC.10．若，且，則()A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由基本不等式：，A正確；B正確；，C不正確；，D正確.11．在△中，角所對的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是()A． B．△為鈍角三角形C．若，則△的面積是 D．若△外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則【答案】BD【解析】設(shè)，則，對于A，，故A不正確；對于B，，故B正確；對于C，若，則，，，所以，所以△的面積是，故C不正確；對于D，若正弦定理，△的周長，，所以內(nèi)切圓半徑為，所以.故D正確.故選：BD12．如圖，圓柱的底面半徑和母線長均為是底面直徑，點(diǎn)在圓上且，點(diǎn)在母線，點(diǎn)是上底面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則()A．的最小值為B．若，則點(diǎn)的軌跡長為4C．若，則四面體的外接球的表面積為D．若，則點(diǎn)的軌跡長為【答案】ACD【解析】設(shè)E關(guān)于D點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，故的最小值為，故A正確；由題意知，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，則，對選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的軌跡長為上底面圓的一條弦MN，到MN的距離為1，所以，故點(diǎn)的軌跡長為，所以B錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其軌跡長為，故D正確；對選項(xiàng)C：在中，，為直角三角形，其外心為與的交點(diǎn)，且，而所以，所以Q為四面體的外接球的球心，球半徑為，所以球的表面積為，故C正確.故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是________．【答案】【解析】的二項(xiàng)展開式有7項(xiàng)，其每項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.由二項(xiàng)式定理得二項(xiàng)式系數(shù)最大的一項(xiàng)是.14．中國古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】將這個(gè)人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，，其公比，令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，而，因此，解得，所以此人在第六天行走的路程（里）.故答案為：615.直線與橢圓(m>0)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，則m＝，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【答案】，【解析】法1：聯(lián)立方程得，得，所以，得，所以.法2：設(shè)，則處切線，與可化為，比對得，代入橢圓方程得：，得.得，所以，得，所以.法3：橢圓長軸長，焦點(diǎn).由橢圓的定義知，橢圓上每一個(gè)點(diǎn)P，均滿足，橢圓上外部的每一個(gè)點(diǎn)P，均滿足，直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，則對于直線上任意一點(diǎn)，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，等號成立，即當(dāng)在處時(shí)，取得最小值.求得關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，所以,因此，橢圓方程為，P的坐標(biāo)是.16．若，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】∵x>0，原不等式變形得．或，由于，若，則恒成立，在上單調(diào)遞增，無最大值，不符合題意；若，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.綜上：,在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.，且當(dāng)，，單調(diào)遞增，且當(dāng)，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求和：.【解析】(1)，又，所以，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為. 4分(2)得兩式相減得：又，所以又，所以. 7分①②兩式相減得：. 10分【考查內(nèi)容】等差數(shù)列性質(zhì)與公式，和式遞推數(shù)列求通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求和.18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其中ω為正整數(shù)，|φ|＜Eq\f(π,2)，且．(1)求y＝f(x)圖象的一個(gè)對稱中心；(2)若，求φ．解：(1)由題設(shè)，的最小正周期．又因?yàn)椋?所以為圖象的一個(gè)對稱中心是． 4分(2)由(1)知，故，由，得． 5分由為的一個(gè)對稱中心，所以． 6分因?yàn)?，所以或?7分若，則，即．不存在整數(shù)，使得． 9分若，則，即．不存在整數(shù)，使得．當(dāng)時(shí)，． 11分此時(shí)，由，得． 12分【命題來源】改編自2023年四省聯(lián)考T18【考查內(nèi)容】的對稱性、周期性、單調(diào)性.19.（本小題滿分12分）如圖，三棱臺(tái)，,，平面平面，，,與相交于點(diǎn)，，且∥平面.(1)求三棱錐的體積；(2)平面與平面所成角為，與平面所成角為，求證：.【解析】(1)因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面?2分連接，因?yàn)椤纹矫妫矫?，平面平面，所以，∥，又，所以，從? 4分所以三棱錐底面的面積，高，因此其體積為：. 6分(2)證明：法1：因?yàn)槠矫妗纹矫?平面與平面所成角即平面與平面所成角，亦即的平面角，因?yàn)?，所以平面，又∥，所以平面，所以即的平面角，所以?8分作，垂足為，因?yàn)槠矫?，所以，所以平面，所? 10分又△為等腰直角三角形，所以. 12分法2：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.則.設(shè)平面的法向量為，由，取，則，平面的一個(gè)法向量為，所以 8分 10分又因?yàn)?，所以又，所? 12分【考查內(nèi)容】棱錐的體積計(jì)算，直線與平面平行的性質(zhì)定理，平面與平面垂直的性質(zhì)定理，直線與平面所成角，平面與平面所成角，兩角和的正、余弦公式。20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，，求證：.【解析】(1)，令(=1\*romani)當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； 3分(=2\*romanii)當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 6分(2)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)或，，① 8分在處的切線方程為：，該切線經(jīng)過點(diǎn)，則，即,② 10分①、②聯(lián)立得：因?yàn)?，所以，所以，? 12分【命題來源】改編自《選擇性必修第二冊P99-T13》【考查內(nèi)容】利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)性，曲線的切線，【背景】三次方程的韋達(dá)定理.21.（本小題滿分12分）甲、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即，(=1\*romani)求的取值范圍；(=2\*romanii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實(shí)際含義.【解析】(1)，即采用3局2勝制，所有可能取值為， 2分的分布列如下表：23所以的數(shù)學(xué)期望為. 3分(2)采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為： 4分采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：， 5分，得. 7分(3)由(2)知.局比賽中恰好甲