工程計(jì)算幾種矩陣

工程計(jì)算幾種矩陣第一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4幾種矩陣

4.1初等矩陣

4.2矩陣特征值估計(jì)——Gerschgorin圓盤定理

4.3對角占優(yōu)矩陣

2023/6/182第二頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4.1初等矩陣定義4.1.1下列各種類型的變換，叫做矩陣的初等變換(1)矩陣的任二行(列)互換位置；

(2)非零常數(shù)c乘矩陣的某一行(列)；

(3)矩陣的某一行(列)的c倍加到另一行(列)上去

對單位矩陣施行上述三種類型的初等變換，便得相應(yīng)的三種初等矩陣P(i，j)，P(i(c))，P(i，j(c))，即

2023/6/183第三頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4.1初等矩陣定理4.1.1對一個(gè)mn矩陣A的行作初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的m階初等矩陣左乘A。對A的列作初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的n階初等矩陣右乘A。

容易驗(yàn)證，初等矩陣都是可逆的，并且

P(i，j)1=P(i，j)，P(i(c))

1=P(i(c1))，P(i，j(c))

1=P(i，j(c))2023/6/184第四頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4.1初等矩陣定義

4.1.2如果A經(jīng)過有限次的初等變換后變成B，則稱A與B等價(jià)，記為A≌B。

定理

4.1.2A與B等價(jià)等價(jià)的充要條件是存在兩個(gè)可逆矩陣P與Q，使得

B=PAQ

定義

4.1.3設(shè)u，vCn，F(xiàn)，稱矩陣

E(u，v，)=EuvH

為初等矩陣。

初等矩陣有如下性質(zhì)(1)E(u，v，)E(u，v，)=E(u，v，

+

vH

u)2023/6/185第五頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4.1初等矩陣(2)E1(u，v，)=E(u，v，)其中，1+1=vH

u

(3)|E(u，v，)|=1vH

u

定義4.1.4初等三角形矩陣。設(shè)miRn，其前i個(gè)分量為零。則稱

Li(mi)=E(mi，ei，)=Emi

ei

T

E(u，v，)=EuvH

為初等三角形矩陣。因此，上述三種初等矩陣是定義5.1.2的特例

2023/6/186第六頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4.1初等矩陣由定義知，初等三角形矩陣有如下性質(zhì)：

(1)|Li(mi)|=1(2)Li1(mi)=Li(mi)(3)Li(mi)左乘矩陣A的結(jié)果是從A的各行中減去第i行的倍數(shù)。

2023/6/187第七頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4.1初等矩陣LRnn是單位下三角形矩陣則有

(1)L=L1(m1)L2(m2)…Ln1(mn1)(2)L=I

m1e1T

m2e2T…mn1eTn1

2023/6/188第八頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4.1初等矩陣定義4.1.5設(shè)wCn，wHw=1，則

H(w)=E(w，w，2)=E2wwH

稱為初等Hermite矩陣。它是Householder矩陣的特例。

定義5.1.6稱矩陣

當(dāng)wRn時(shí)，稱為初等鏡面反射矩陣。

P(i，j)=E(eiej，eiej，1)=E

(eiej)(eiej)T

為初等置換矩陣。初等置換矩陣的乘積稱為排列陣。

2023/6/189第九頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4.2矩陣特征值估計(jì)——Gerschgorin圓盤定理

Gerschgorin圓盤定理給出了n階矩陣A的n個(gè)特征值在復(fù)平面上的分布范圍

定理4.2.1(Gerschgorin圓盤定理)n階矩陣A的每個(gè)特征值位于復(fù)平面上以aii為中心，以Ri為半徑的諸圓盤

Di={z||z

aii|≤Ri}i=1，2，…，n

中的一個(gè)，其中

定理4.2.2(第二圓盤定理)如果定理5.2.1中有s個(gè)圓盤組成一個(gè)聯(lián)通域，并與其余圓盤隔開，則在此聯(lián)通域中恰好有s個(gè)A的特征值。2023/6/1810第十頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4.2矩陣特征值估計(jì)——Gerschgorin圓盤定理

推論：如果n階矩陣A的n個(gè)圓盤兩兩不相交，則A相似于對角矩陣。

推論：如果n階實(shí)矩陣A的n個(gè)圓盤兩兩不相交，則A的特征值全為實(shí)數(shù)。

2023/6/1811第十一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4.3對角占優(yōu)矩陣

定義4.3.1設(shè)ARnn，如果存在一個(gè)排列陣P，使得

則稱A為可約的，否則稱為不可約的。

定義4.3.2設(shè)ARnn，如果

稱A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。

定義定義4.3.3設(shè)ARnn是不可約的，如果

至少有一個(gè)不等式嚴(yán)格成立，稱為不可約弱對角占優(yōu)矩陣。

2023/6/1812第十二頁，共十三頁，編輯于2023年，星期日4.3對角占優(yōu)矩陣

定理4.3.1設(shè)ARnn為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則aii≠0