立足學(xué)科核心主干知識關(guān)注數(shù)學(xué)素質(zhì)教育價(jià)值

立足學(xué)科核心主干知識

關(guān)注數(shù)學(xué)素質(zhì)教育價(jià)值

——說一道中考數(shù)學(xué)試題題目1已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

(一)說題目立意(四)說試題背景與導(dǎo)向(三)說本題數(shù)學(xué)思想方法說題流程(二)說試題解法(五)說變式與拓展試題說題目立意

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價(jià)要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注他們的學(xué)習(xí)過程，而過程目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的標(biāo)志是學(xué)生形成基本活動經(jīng)驗(yàn)。

2.本題考查的能力：以拋物線為載體，設(shè)置了基本幾何（三角形、圓）在坐標(biāo)系中的綜合背景，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測、合理推斷、演繹論證等數(shù)學(xué)活動，以此考察學(xué)生解決與拋物線有關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的面積最值以及基本幾何圖形變化過程中的不變性問題（此題中的第（2）問以及第三問當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)）的能力。1.本題考查的知識點(diǎn)：（1）數(shù)與代數(shù)：方程(二元一次方程組、一元二次方程）、函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)）；（2）空間與圖形：直角三角形（面積、勾股定理、全等）、圓（圓內(nèi)接四邊形、圓周角）、平面直角坐標(biāo)系、圖形變換（運(yùn)動、對稱、平移、旋轉(zhuǎn)）。說試題解法問(1)的解法◆已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

解：根據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；解得：

∴y=x2﹣x+3；點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，3）；說試題解法問(2)的解法◆已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．（2）如圖1，連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

圖1解法二解法一解法四解法三說試題解法

?已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．問(3)的解法（3）如圖2，連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．圖2解：通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)△EOF是等腰直角三角形，并容易證明：在證得△EOF為等腰直角三角形后，我們開始探索△EOF的面積取得最小值時(shí)的點(diǎn)E得坐標(biāo)。解法一二三方法1：圓的內(nèi)接四邊形中∠EAF=90°，且∠EAO=45°,∠FAO=45°方法2：△CEO△AFO方法3：利用圖形的旋轉(zhuǎn)原理說本題數(shù)學(xué)思想方法五、其他一、分類討論第二問二、數(shù)形結(jié)合第二問的第1種解法第三問的第1種解法三、函數(shù)建模思想第二問的第1種解法第三問的第1種解法四、方程建模思想第一問的待定系數(shù)法求解析式第二問的第4種解法體現(xiàn)了“解析思想”在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)候的簡潔明快第二問的第4種解法第三問的第2種解法將最值問題轉(zhuǎn)化為線段長短問題，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化思想“的應(yīng)用第三問的第3種解法體現(xiàn)了一種”整體思想與化歸思想“的有效結(jié)合說試題背景與導(dǎo)向近幾年來的數(shù)學(xué)中考中，以二次函數(shù)拋物線為載體，結(jié)合基本幾何圖形——三角形、圓、四邊形的相關(guān)知識，求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)，探索與二次函數(shù)有關(guān)的涉及幾何圖形的形狀、位置關(guān)系的動點(diǎn)存在性和可能性問題以及面積最值問題，成為中考數(shù)學(xué)卷壓軸的重頭戲。背景教學(xué)導(dǎo)向：1.新課程改革的指向要求我們關(guān)注數(shù)學(xué)活動的教育價(jià)值，數(shù)學(xué)教學(xué)要從初中生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的經(jīng)驗(yàn)和接受考試的心理承受力出發(fā)，注重學(xué)生對數(shù)學(xué)核心概念的理解、思想方法的應(yīng)用和綜合實(shí)踐活動。2.數(shù)學(xué)教學(xué)中問題設(shè)置要面向全體學(xué)生，習(xí)題的選擇上要針對性與發(fā)散性相結(jié)合，特別是對于綜合題解法的多角度透析。

4.關(guān)注基本圖形與數(shù)學(xué)思想的提煉。例如本題中所呈現(xiàn)的：3.對于初三中考壓軸題要牢牢抓住方程、函數(shù)，以及基本幾何圖形的形狀、位置、性質(zhì)、圖形的動態(tài)變化、圖形與坐標(biāo)之間橫、縱向的聯(lián)系,尤其關(guān)注并創(chuàng)新以往壓軸題的變式與改編。說變式與拓展?針對本題，把握數(shù)學(xué)核心知識，可作如下變式與拓展訓(xùn)練：變式一：當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動時(shí)，以E為圓心，OE為半徑的圓與AB所在直線有何位置關(guān)系？變式三：當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△APE與△AOB相似，若有請求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若沒有請說明理由。變式二：當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q使得△QAC與△AFC面積相等，若有請求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，若沒有請說明理由說變式與拓展變式訓(xùn)練四（鞏固型）：在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A(0，2)．點(diǎn)C(1，0)，如圖所示；拋物線經(jīng)過點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外)．使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．

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