復(fù)變函數(shù)第一章復(fù)數(shù)的乘冪與方根

復(fù)變函數(shù)第一章復(fù)數(shù)的乘冪與方根第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日解:解:第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1.2.3復(fù)數(shù)的方根(乘冪的逆運算)第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日注:解:因為所以第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日即四個根是內(nèi)接于中心在原點,半徑為21/8的圓的正方形的四個頂點.第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1.3平面點集平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓:|z-z0|<d內(nèi)部的點的集合稱為z0的鄰域,而稱由不等式0<|z-z0|<d所確定的點集為z0的去心鄰域.1.3.1區(qū)域設(shè)G為一平面點集,z0為G中任意一點.如果存在z0的一個鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點.

如果G內(nèi)的每個點都是它的內(nèi)點,則稱G為開集平面點集D稱為一個區(qū)域,如果它滿足下列兩個條件:

1)D是一個開集;

2)D是連通的。就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D

的一條折線連接起來.第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日例4:區(qū)域不是區(qū)域(不是開集)不是區(qū)域(不連通)第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個點z都滿足|z|<M,則稱D為有界的,否則稱為無界的.0M|z|>M第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1.3.2曲線在數(shù)學(xué)上,經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線.如果x(t)和y(t)是兩個連續(xù)的實變函數(shù),則方程組

x=x(t),y=y(t),(atb)

代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

則此曲線可用一個方程

z=z(t) (atb)

來代表.這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.1.簡單曲線,簡單閉曲線第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日設(shè)C:z=z(t)(atb)為一條連續(xù)曲線,z(a)與z(b)分別為C的起點與終點.對于滿足a<t1<b,at2b的t1與t2,當t1t2而有z(t1)=z(t2)時,點z(t1)稱為曲線C的重點.沒有重點的連續(xù)曲線C,稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線.如果簡單曲線C的起點與終點閉合,即z(a)=z(b),則曲線C稱為簡單閉曲線.簡單,閉簡單,不閉非簡單,不閉非簡單,閉第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日2.光滑曲線,逐段光滑曲線

由幾段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線.第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1.3.3單連通區(qū)域,多連通區(qū)域單連通域多連通域(一個整體)(帶有裂痕,漏洞)第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1.4復(fù)變函數(shù)1.4.1復(fù)變函數(shù)的概念(實變函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的推廣)單值函數(shù),多值函數(shù)定義在整個復(fù)平面上的多值函數(shù)定義在除原點外整個復(fù)平面上的單值函數(shù)第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日則兩類常見的復(fù)變函數(shù)第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1.4.2復(fù)變函數(shù)的幾何解釋—映照幾何意義:DG第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日設(shè)函數(shù)w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1.5初等函數(shù)介紹幾種常見的復(fù)變函數(shù)—指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù)1.5.1指數(shù)函數(shù)第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日則第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日求得(歐拉公式)復(fù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì):第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日電源第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日此電路系統(tǒng)滿足疊加原則.電源電流當電路系統(tǒng)穩(wěn)定后,電路中的電壓,電流變化的頻率最終與電源頻率相一致.第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日電容:對應(yīng)的等效電阻為電感:對應(yīng)的等效電阻為整個電路的總電阻為:第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1.5.2對數(shù)函數(shù)定義：記：

多值性-------主值例如：第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日性質(zhì):證明:第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1.5.3冪函數(shù)定義:為z的冪函數(shù).…單值函數(shù)….n值函數(shù)….n值函數(shù)….無窮值函數(shù)第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1.5.4三角函數(shù)定義:(1)各種三角恒等式仍然成立

性質(zhì):例如:(3)類似地,可以定義其