層次分析法法

層次分析法法第一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

層次分析法本節(jié)主要內(nèi)容一、層次分析法簡(jiǎn)介一、適用場(chǎng)合三、層次分析法的基本原理四、基本思想五、實(shí)施步驟六、應(yīng)用舉例第二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日一、層次分析法簡(jiǎn)介

層次分析法（AnalyticalHierarchyProcess）是美國匹茲堡大學(xué)運(yùn)籌學(xué)家A.Lsaaty教授于1973年提出的一種層次權(quán)重決策分析方法。該方法把復(fù)雜問題中的各種因素，通過劃分相互聯(lián)系的有序?qū)哟?，使之條理化，并根據(jù)一定的客觀現(xiàn)實(shí)的判斷，就每一層次的元素相對(duì)重要性給以定量表示，并利用數(shù)學(xué)方法確定全部要素的相對(duì)重要性次序（權(quán)重），從而幫助人們更好地進(jìn)行評(píng)價(jià)與決策。目前，AHP在能源政策分析、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)研究、科技成果評(píng)價(jià)、發(fā)展戰(zhàn)略規(guī)劃、人才考核評(píng)價(jià)以及發(fā)展目標(biāo)分析等方面得到了廣泛的應(yīng)用，取得了令人滿意的成果。第三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日AHP是一種能將定性分析與定量分析相結(jié)合的系統(tǒng)分析方法。在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，有些問題難以甚至根本不可能建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行定量分析；應(yīng)用AHP方法進(jìn)行分析，就可以簡(jiǎn)便而迅速地解決問題。AHP是一種分析多目標(biāo)、多準(zhǔn)則的復(fù)雜大系統(tǒng)的有力工具。層次分析法是在一個(gè)多層次的分析結(jié)構(gòu)中，最終被系統(tǒng)分析歸結(jié)為最低層相對(duì)于最高層的相對(duì)重要性數(shù)值的確定或相對(duì)優(yōu)劣次序的排列問題。第四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日二、適用場(chǎng)合層次分析法(AnalyticHierarchyProcess-AHP)適用于處理那些多目標(biāo)、多層次、多準(zhǔn)則、定性指標(biāo)較多的社會(huì)系統(tǒng)工程的復(fù)雜問題。第五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日三、層次分析法的基本原理

如果知道N個(gè)西瓜總重量為1，每個(gè)西瓜的重量為[ｗ1

ｗ2……ｗｎ]，這些西瓜兩兩比較（相除），可以得到表示N個(gè)西瓜相對(duì)重量關(guān)系的比較矩陣（判斷矩陣）。從A陣可以看出

第六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日由于AW＝λW，λ對(duì)應(yīng)A矩陣的特征根，W對(duì)應(yīng)A矩陣的特征向量。在比較矩陣中AW＝NW,N是A矩陣的一個(gè)特征根，W對(duì)應(yīng)特征根為N時(shí)的特征向量，W代表每個(gè)西瓜重量，此時(shí)N代表西瓜的個(gè)數(shù)或矩陣的階數(shù)。假如不知道每個(gè)西瓜的重量W，但通過某種手段，設(shè)法知道每?jī)蓚€(gè)西瓜的相對(duì)比較重量，即構(gòu)造出判斷矩陣Ａ，因?yàn)椋辆仃嚌M足完全一致性要求時(shí)，或Ａ具有較滿意的一致性要求時(shí),λmax≈N，其余特征根接近于零。

第七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日四、基本思想 通過分析系統(tǒng)所包含的要素及其相互關(guān)系，建立遞階層次結(jié)構(gòu)；然后對(duì)同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一要素的重要性進(jìn)行兩兩比較，得出該層要素對(duì)于該要素的權(quán)重；最后計(jì)算各層次要素對(duì)于總體目標(biāo)的總權(quán)重，從而得出不同設(shè)想方案的權(quán)值，為選擇最優(yōu)方案提供依據(jù)。第八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日確定最優(yōu)生產(chǎn)方案期望利潤(rùn)產(chǎn)品成品率市場(chǎng)占有率投資費(fèi)用產(chǎn)品外觀自行設(shè)計(jì)國外引進(jìn)改建第九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日選擇旅游景點(diǎn)A景色B1門票B2交通B3龍門石窟C1白馬寺C2關(guān)林廟C3第十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日SA1A2AmB1B2BnC1C2Ck第十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日五、實(shí)施步驟投資效果評(píng)價(jià)為例進(jìn)行說明

（一）建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型

（二）構(gòu)造判斷矩陣（三）層次單排序計(jì)算權(quán)重，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)（四）層次總排序，并得出結(jié)論第十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（一）建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型 分析系統(tǒng)所包含的要素，以及要素間的相互關(guān)系。根據(jù)要素之間的關(guān)系，建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型。第十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日1、建立方法（1）解釋結(jié)構(gòu)模型化技術(shù)（ISM）（2）分解法。目標(biāo)->一級(jí)指標(biāo)->二級(jí)指標(biāo)->……->方案2、三個(gè)層次（P124）（1）目標(biāo)層

（2）準(zhǔn)則層（3）方案層第十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（目標(biāo)層）（準(zhǔn)則層）（方案層）選擇旅游景點(diǎn)A景色B1門票B2交通B3龍門石窟C1白馬寺C2關(guān)林廟C3第十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（二）構(gòu)造判斷矩陣AHP法采用兩兩比較的方法建立判斷矩陣，然后導(dǎo)出各要素的相對(duì)重要性。第十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日1、判斷矩陣的形式以上一層的某一要素A作為評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，對(duì)本層的各要素B1、B2、……的重要性進(jìn)行兩兩比較，即計(jì)算aij=bi/bj的值，來確定矩陣的元素，并寫成矩陣形式，如下圖所示：AB1B2…BnB1B2…Bna11a12…a1na21a22…a2n……an1an2…ann比較次數(shù)：n(n-1)/2第十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日AB1B2B3WiWi0B111/32B2315B31/21/51第十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日B1C1C2C3WiWi0C111/31/5C2311/3C3531第十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日B2C1C2C3WiWi0C1127C21/215C31/71/51第二十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日B3C1C2C3WiWi0C1131/7C21/311/9C3791第二十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日標(biāo)度含義(ai與aj相比)135792，4，6，8上述值的倒數(shù)前者與后者具有同樣重要性（ai與自身相比）前者比后者稍微重要前者比后者明顯重要前者比后者強(qiáng)烈重要前者比后者極端重要上述兩相鄰判斷的中間值若因素i與j相比為aij,則因素j與i相比為aji=1/aij

2、判斷矩陣元素的取值（1－9標(biāo)度法）為了使判斷定量化，層次分析法采用1－9標(biāo)度方法，對(duì)不同情況的評(píng)比給予數(shù)量尺度（共17個(gè)）。第二十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日采用1-9標(biāo)度法的依據(jù)：選擇1-9之間的整數(shù)及其倒數(shù)作為aij取值的主要原因是，它符合人們進(jìn)行比較判斷時(shí)的心理習(xí)慣。（1）心理學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，大多數(shù)人對(duì)不同事物在某種相同屬性上的差別的分辨能力在5～9個(gè)之間，1～9標(biāo)度能夠反映大多數(shù)人的判斷能力；（2）大量社會(huì)調(diào)查表明，1～9的比例標(biāo)度早已為人們所熟悉和采用；（3）科學(xué)考察和實(shí)踐表明，1～9的比例標(biāo)度已完全能區(qū)分引起人們感覺差別的事物的各種屬性。第二十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日3、判斷矩陣的性質(zhì)（1）aij>0（2）aii=1（3）aij=1/aji（4）（在理想情況下）

幾個(gè)概念：正矩陣：滿足（1）正互反矩陣：滿足（1）、（2）、（3）一致性矩陣：滿足（1）、（2）、（3）、（4）AB1B2B3WiWi0B111/32B2315B31/21/51第二十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（三）層次單排序計(jì)算權(quán)重，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)權(quán)重——判斷矩陣的特征向量1、特征根、特征向量計(jì)算方法：（1）迭代法（2）和積法（3）方根法第二十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（1）特征根、特征向量計(jì)算(迭代法)

迭代法的計(jì)算步驟為：（1）取任意與判斷矩陣B同階的正規(guī)化的初值向量W0；

（2）計(jì)算（3）令，計(jì)算，（4）對(duì)于預(yù)先給定的精確度，當(dāng)對(duì)所有成立時(shí)，為所求特征向量。可由下式求得

式中：n為矩陣階數(shù)；為向量的第i個(gè)分量。第二十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（2）特征根、特征向量計(jì)算(和積法

)和積法的計(jì)算步驟為：（1）將矩陣Ａ的每一列正規(guī)化（2）將正規(guī)化后的矩陣按行加總（3）將加總后得到的向量再正規(guī)化，所得到的即為所求特征向量；（4）計(jì)算矩陣Ａ的最大特征根：式中表示向量的第i個(gè)分量。第二十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（3）特征根、特征向量計(jì)算(方根法

)方根法計(jì)算步驟為：

(1)將B的元素按行相乘（2）所得乘積分別開n次方（3）將所得方根向量正規(guī)化，即得特征向量W，其中（4）計(jì)算判斷矩陣最大特征根第二十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日AB1B2B3WiWi0B111/320.8740.230B23152.4660.648B31/21/510.4640.122λMax=3.004C.I.=0.002R.I.=0.52C.R.<0.11、用方根法計(jì)算權(quán)重例：計(jì)算權(quán)重，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)第二十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日AB1B2B3WiWi0B111/320.8740.230B23152.4660.648B31/21/510.4640.122λMax=3.004C.I.=0.002R.I.=0.52C.R.<0.1（1）計(jì)算判斷矩陣每一行元素的連乘積Mi：M1=1*(1/3)*2=0.667M2=3*1*5=153=(1/2)*(1/5)*1=0.1（2）計(jì)算Mi的n次方根(n為判斷矩陣的階數(shù))（3）將Mi進(jìn)行歸一化處理第三十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日AB1B2B3WiWi0B111/320.8740.230B23152.4660.648B31/21/510.4640.1222、一致性檢驗(yàn)（1）一致性檢驗(yàn)的原因

判斷矩陣不可能具有完全一致性，必然會(huì)導(dǎo)致判斷矩陣特征向量（層次單排序）也有偏差。為了保證應(yīng)用層次分析法分析得到的結(jié)論合理化，還需要檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性，以決定是否能接受它。第三十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日判斷矩陣的2個(gè)定理定理1若A為一致性矩陣，則A的最大特征值λmax=n(其中n為矩陣A的階)，A的其余特征根均為零。

以下用兩個(gè)例子來證明該定理：（2）一致性檢驗(yàn)的原理第三十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日例證1：所以，λmax=2第三十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日所以，λmax=3例證2：第三十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日定理2n階正互反矩陣為一致性矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根λmax=n，并且當(dāng)正互反矩陣非一致時(shí)，必有λmax>n。由定理2可知，當(dāng)判斷矩陣完全一致時(shí)，應(yīng)該有λmax=n。稍有不一致，則λmax>n，并且λmax比n大得越多，判斷矩陣的不一致性程度就越嚴(yán)重。因此可以用λmax-n作為度量偏離一致性的指標(biāo)。第三十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日①計(jì)算λmax

（3）一致性檢驗(yàn)的步驟AB1B2B3WiWi0B111/320.8740.230B23152.4660.648B31/21/510.4640.122第三十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日②計(jì)算一致性指標(biāo)（C.I.）提示：當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時(shí)，C.I.=0第三十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日③查找同階數(shù)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)（R.I.）R.I.的值是這樣得到的：隨機(jī)地從1-9及其倒數(shù)中抽取數(shù)字構(gòu)造1000個(gè)樣本的正互反矩陣，這樣構(gòu)造的判斷矩陣最不一致，求其一致性指標(biāo)的平均值。1.491.461.411.361.261.120.890.5200R.I.10987654321n平均隨機(jī)一致性指標(biāo)第三十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日④計(jì)算一致性比例（C.R.）只有C.R.<0.1時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，層次單排序的結(jié)果才認(rèn)為是可信的，否則需要調(diào)整判斷矩陣元素的取值，直到具有滿意的一致性為止。第三十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日B1B2B30.2300.6480.122C10.1050.5920.1490.426C20.2580.3330.0660.283C30.6370.0750.7850.291B層C層（四）計(jì)算層次總排序，并得出結(jié)論第四十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

四、應(yīng)用舉例某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，有一筆企業(yè)留成利潤(rùn)要由廠領(lǐng)導(dǎo)和職工代表大會(huì)決定如何使用?？梢怨┻x擇的方案有：

(1)作為獎(jiǎng)金發(fā)給職工

(2)擴(kuò)建職工宿舍、食堂、托兒所等福利設(shè)施

(3)辦職工業(yè)余技術(shù)學(xué)校

(4)建圖書館、俱樂部、文工團(tuán)與體工隊(duì)

(5)引進(jìn)技術(shù)設(shè)備進(jìn)行企業(yè)技術(shù)改造 這些方案都有其合理的因素，但哪一個(gè)方案更能調(diào)動(dòng)職工的積極性，更能促進(jìn)企業(yè)快速發(fā)展呢?這是廠領(lǐng)導(dǎo)和職工代表大會(huì)所面臨的需要分析決策的問題。第四十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

1、建立層次分析結(jié)構(gòu)模型 對(duì)于本題，經(jīng)過分析后，上面五個(gè)措施可以歸結(jié)為三個(gè)方面的準(zhǔn)則：（1）調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性（2）提高企業(yè)技術(shù)水平（3）改善職工物質(zhì)文化生活以上三個(gè)準(zhǔn)則都是以合理使用企業(yè)利潤(rùn)，促進(jìn)企業(yè)發(fā)展為目的的。

第四十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日辦職工業(yè)余技校(

S3)合理使用企業(yè)利潤(rùn)促進(jìn)企業(yè)發(fā)展(A)調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性(

B1)提高企業(yè)技術(shù)水平(

B2)改善職工物質(zhì)文化生活(

B3)發(fā)獎(jiǎng)金(

S1)擴(kuò)建職工宿舍(

S2)新建圖書館(

S4)引進(jìn)新技術(shù)設(shè)備(

S5)第四十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日2、建立判斷矩陣假定廠長(zhǎng)或職工代表大會(huì)根據(jù)實(shí)際情況構(gòu)造的判斷矩陣如下：（1）相對(duì)于合理使用企業(yè)利潤(rùn)，促進(jìn)企業(yè)發(fā)展的總目標(biāo)A，各考慮準(zhǔn)則之間Bi的相對(duì)重要性比較(判斷矩陣A—B)：A第四十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（2）相對(duì)于調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性準(zhǔn)則B1，各方案之間的重要性比較(判斷矩陣B1—S)：B1第四十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（3）相對(duì)于提高企業(yè)技術(shù)水平準(zhǔn)則B2，各方案之間的重要性比較(判斷矩陣B2—S)：B2第四十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（4）相對(duì)于改善職工物質(zhì)文化生活準(zhǔn)則B3，各方案之間的重要性比較(判斷矩陣B3—S)：B3第四十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日3、層次單排序，并進(jìn)行一致性矩陣（1）判斷矩陣A—BW00.1050.6370.258第四十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日(2)判斷矩陣B1—SW00.4350.2680.0880.1470.062CR<0.1第四十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日一致性檢驗(yàn)：W00.1050.6370.258BW00.3181.9360.785解得：úúú?ùêêê?é11/333151/31/51BBBBBB321321第五十頁，共五十六頁，編輯于2023