人教版必修五數(shù)學(xué)課件332簡(jiǎn)單線性問(wèn)題

3.3.2

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題第三章 §

3.3

二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.了解線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一線性規(guī)劃中的基本概念答案名

稱意

義約束條件關(guān)于變量x，y的一次不等式(組)線性約束條件關(guān)于x，y的一次不等式(組)目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的關(guān)于變量x，y的函數(shù)解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于變量x，y的一次解析式答案可行解滿足

線性約束條件

的解(x，y)可行域由所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得

最大值或最小值

的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)二 線性規(guī)劃問(wèn)題1.目標(biāo)函數(shù)的最值線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by

(b≠0)對(duì)應(yīng)的斜截式直線方程是y＝－ax＋z，在b

bb答案y軸上的截距是z，當(dāng)z變化時(shí)，方程表示一組互相平行的直線.當(dāng)b>0，截距最大時(shí)，z取得最大值，截距最小時(shí)，z取

最小值；當(dāng)b<0，截距最大時(shí)，z取得最小值，截距最小時(shí)，z取得

最大值.2.解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟可以概括為：“畫(huà)、移、求、答”四步，即，畫(huà)：根據(jù)線性約束條件，在平面直角坐標(biāo)系中，把可行域表示的平面圖形準(zhǔn)確地畫(huà)出來(lái)，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開(kāi)放的無(wú)限大的平面區(qū)域.移：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把目標(biāo)函數(shù)表示的直線平行移動(dòng)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)(或邊界)便是最優(yōu)解.求：解方程組求最優(yōu)解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.(4)答：寫(xiě)出答案.知識(shí)點(diǎn)三 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用1.線性規(guī)劃的實(shí)際問(wèn)題的類(lèi)型給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問(wèn)怎樣運(yùn)用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；給定一項(xiàng)任務(wù)，問(wèn)怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最小.常見(jiàn)問(wèn)題有：①物資調(diào)動(dòng)問(wèn)題例如，已知兩煤礦每年的產(chǎn)量，煤需經(jīng)兩個(gè)車(chē)站運(yùn)往外地，兩個(gè)車(chē)站的運(yùn)輸能力是有限的，且已知兩煤礦運(yùn)往兩個(gè)車(chē)站的運(yùn)輸價(jià)格，煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)動(dòng)方案，才能使總運(yùn)費(fèi)最??？②產(chǎn)品安排問(wèn)題例如，某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一個(gè)單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個(gè)工廠在每個(gè)月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使每月獲得的總利潤(rùn)最大？③下料問(wèn)題例如，要把一批長(zhǎng)鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管，應(yīng)怎樣下料能使損耗最小？2.解答線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用題的步驟(1)模型建立：正確理解題意，將一般文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，這需要在學(xué)習(xí)有關(guān)例題解答時(shí)，仔細(xì)體會(huì)范例給出的模型建立方法.模型求解：畫(huà)出可行域，并結(jié)合所建立的目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，選定可行域中的特殊點(diǎn)作為最優(yōu)解.模型應(yīng)用：將求解出來(lái)的結(jié)論反饋到具體的實(shí)例中，設(shè)計(jì)出最佳的方案.返回題型探究重點(diǎn)突破題型一 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值解析答案反思與感悟y≤2，例

1

已知變量

x，y

滿足約束條件x＋y≥1，x－y≤1，則

z＝3x＋y

的最大值為(

)A.12C.3B.11D.－1解析首先畫(huà)出可行域，建立在可行域的基礎(chǔ)上，分析最值點(diǎn)，然后通過(guò)解方程組得最值點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可.如圖中的陰影部分，即為約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，當(dāng)直線y＝－3x＋z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值.由反思與感悟x－y＝1?y＝2，

x＝3，y＝2，此時(shí)z＝3x＋y＝11.圖解法是解決線性規(guī)劃問(wèn)題的有效方法.其關(guān)鍵在于平移目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線ax＋by＝0，看它經(jīng)過(guò)哪個(gè)點(diǎn)(或哪些點(diǎn))時(shí)最先接觸可行域和最后離開(kāi)可行域，則這樣的點(diǎn)即為最優(yōu)解，再注意到它的幾何意義，從而確定是取最大值還是最小值.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練

1

(1)x

yx＋y－2≤0，，

滿足約束條件x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0，若z＝y(tǒng)－ax

取得最大值的最優(yōu)解不．唯．一．，則實(shí)數(shù)

a

的值為(

)A.1或－1 B.2

或12C.2

或12D.2

或－1解析答案解析

如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，解析答案故當(dāng)a>0時(shí)，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2；當(dāng)a<0時(shí)，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1.答案

Dx－y＋1≤0，(2)若變量x，y

滿足約束條件x＋2y－8≤0，x≥0，解析答案解析

由題意，作出約束條件組成的可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y，即y＝－3x＋z過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)z取最小值1.則z＝3x＋y

的最小值為

1

.題型二 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題解析答案x－y－2≤0，例

2

設(shè)實(shí)數(shù)

x，y

滿足約束條件x＋2y－4≥0，2y－3≤0，求(1)x2＋y2的最小值；則垂足為x＋2y－4＝0，y＝2x的解，即

，4

85

5，解

如圖，畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域ABC，(1)

令u

＝

x2

＋y2

，其幾何意義是可行域

ABC內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)的距離的平方.

過(guò)原點(diǎn)向直線x＋2y－4＝0

作垂線y＝2x，又由x＋2y－4＝0，2y－3＝0，得C1，

32，解析答案所以垂足在線段AC的延長(zhǎng)線上，故可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為|OC|＝

1＋

322＝

132，所以，x2＋y2

的最小值為134

.y(2)x的最大值.解析答案反思與感悟x解

令

v＝y(tǒng)，其幾何意義是可行域

ABC

內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)相連的直線

lx－0的斜率為v，即v＝y(tǒng)－0.由圖形可知，當(dāng)直線l

經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)點(diǎn)C時(shí)，v

最大，由(1)知C1，

3

2，max所以

v

＝3，所以y的最大值為3.2

x

2反思與感悟非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，要充分理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，諸如兩點(diǎn)間的距離(或平方).點(diǎn)到直線的距離，過(guò)已知兩點(diǎn)的直線的斜率等.常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義主要有：(1)

(x－a)2＋(y－b)2表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離；

x2＋y2表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離.y－by(2)x－a表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率；x表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率.這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化，往往是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.解析答案x≥0，跟蹤訓(xùn)練

2

已知

x，y

滿足約束條件y≥0，x＋y≥1，則(x＋3)2＋y2

的最小值為

.解析

畫(huà)出可行域(如圖所示).(x＋3)2＋y2即點(diǎn)A(－3,0)與可行域內(nèi)點(diǎn)

(x，y)之間距離的平方.顯然AC長(zhǎng)度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值為10.答案

10題型三 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用例3

某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過(guò)12千克.通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是多少？解析答案反思與感悟于是有x＋2y≤12，2x＋y≤12，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，z＝300x＋400y，解

設(shè)每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，相應(yīng)的利潤(rùn)為z元，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線

300x＋400y＝0，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過(guò)該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(4,4)時(shí)，相應(yīng)直線在y軸上的截距達(dá)到最大，此時(shí)z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2

800，即該公司可獲得的最大利潤(rùn)是2

800元.反思與感悟線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：①分析并根據(jù)已知數(shù)據(jù)列出表格；②確定線性約束條件；③確定線性目標(biāo)函數(shù)；④畫(huà)出可行域；⑤利用線性目標(biāo)函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；⑥實(shí)際問(wèn)題需要整數(shù)解時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整，以確定最優(yōu)解.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3

預(yù)算用2000元購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的總數(shù)盡可能的多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問(wèn)桌子、椅子各買(mǎi)多少才行？返回解

設(shè)桌子、椅子分別買(mǎi)x張、y把，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y，50x＋20y≤2

000，y≥x，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件為y≤1.5x，*x≥0，x∈N

，*y≥0，y∈N

.50x＋20y＝2

000，由

＝x，y解得7x＝200，200y＝

7

，所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為200

2007

，

7.解析答案由50x＋20y＝2000，y＝1.5x，解得x＝25，75y＝

2

，所以B

點(diǎn)的坐標(biāo)為25，752.所以滿足條件的可行域是以A200

2007

，

7，B

25，752，解析答案O(0,0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(如圖).由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y

在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為B

25，752，*

*但注意到x∈N

，y∈N

，故取x＝25，y＝37.故買(mǎi)桌子25張，椅子37把是最好的選擇.返回當(dāng)堂檢測(cè)1

2

3解析答案x＋y－3≤0，1.若直線y＝2x上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件x－2y－3≤0，x≥m，則實(shí)數(shù)m的最大值為(

)A.－1B.1C.32D.2解析

如圖，當(dāng)y＝2x經(jīng)過(guò)且只經(jīng)過(guò)x＋y－3＝0和x＝m的交點(diǎn)時(shí)，m取到最大值，此時(shí)，即(m,2m)在直線x＋y－3＝0上，則m＝1.答案

B1

2

32.某公司招收男職員

x

名，女職員

y

名，x

和

y

需滿足約束條件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，*x∈N

，*y∈N

，則

z＝10x＋10y

的最大值是(

)A.80B.85C.90D.95解析答案1

2

3解析

該不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分.由于

x，y∈N*，1192

2，

最近的點(diǎn)為(5,4)，故當(dāng)x＝5，y＝4

時(shí)，z