【人教版】初三數(shù)學(xué)上冊(cè)《專訓(xùn)1-用二次函數(shù)解決問題的四種類型》

專訓(xùn)1用二次函數(shù)解決問題的四種類型名師點(diǎn)金：利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，巧妙地運(yùn)用二次函數(shù)解析式實(shí)行建模，從而達(dá)到應(yīng)用二次函數(shù)的某些性質(zhì)來解決問題的目的．建立平面直角坐標(biāo)系解決實(shí)際問題eq\a\vs4\al(題型1)拱橋(隧道)問題1．如圖是某地區(qū)一條公路上隧道入口在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，點(diǎn)A和A1、點(diǎn)B和B1分別關(guān)于y軸對(duì)稱．隧道拱部分BCB1為一段拋物線，最高點(diǎn)C離路面AA1的距離為8m，點(diǎn)B離路面AA1的距離為6m，隧道寬AA1為16m.(1)求隧道拱部分BCB1對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)現(xiàn)有一大型貨車，裝載某大型設(shè)備后，寬為4m，裝載設(shè)備的頂部離路面均為7m，問：它能否安全通過這個(gè)隧道？并說明理由．(第1題)eq\a\vs4\al(題型2)建筑物問題2．某公園草坪的防護(hù)欄由100段形狀相同的拋物線組成，為了牢固，每段防護(hù)欄需要間距0.4m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點(diǎn)到底部距離為0.5m(如圖)，則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長(zhǎng)度為()(第2題)A．50mB．100mC．160mD．200meq\a\vs4\al(題型3)物體運(yùn)動(dòng)類問題3．如圖，在水平地面點(diǎn)A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，在地面上的落點(diǎn)為B.有人在直線AB上點(diǎn)C(靠點(diǎn)B一側(cè))處豎直向上擺放無蓋的圓柱形桶，試圖讓網(wǎng)球落入桶內(nèi)．已知AB＝4米，AC＝3米，網(wǎng)球飛行最大高度OM＝5米，圓柱形桶的直徑為0.5米，高為0.3米(網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì))．(1)如果豎直擺放5個(gè)圓柱形桶，網(wǎng)球能不能落入桶內(nèi)？(2)當(dāng)豎直擺放多少個(gè)圓柱形桶時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)？(第3題)建立二次函數(shù)模型解決幾何最值問題eq\a\vs4\al(題型1)利用二次函數(shù)解決圖形高度的最值問題(第4題)4．如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個(gè)簡(jiǎn)易的秋千．拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的高度為________米．eq\a\vs4\al(題型2)利用二次函數(shù)解決圖形面積的最值問題5．如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3a，兩動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從頂點(diǎn)B，C同時(shí)開始以相同速度沿邊BC，CD運(yùn)動(dòng)，與△BCF相應(yīng)的△EGH在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持△EGH≌△BCF，B，E，C，G在一條直線上．(1)若BE＝a，求DH的長(zhǎng)．(2)當(dāng)E點(diǎn)在BC邊上的什么位置時(shí)，△DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值．(第5題)建立二次函數(shù)模型解決動(dòng)點(diǎn)探究問題6．如圖所示，直線y＝eq\f(1,2)x－2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，C，拋物線過點(diǎn)A，C和點(diǎn)B(1，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出最大距離．(第6題)建立二次函數(shù)模型作決策問題eq\a\vs4\al(題型1)幾何問題中的決策7．如圖，有長(zhǎng)為24m的圍欄，一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度為10m)，圍成中間隔有一道柵欄的長(zhǎng)方形雞舍．設(shè)雞舍的一邊AB為xm，面積為Sm2.(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍)．(2)如果圍成面積為45m2的雞舍，AB的長(zhǎng)是多少米？(3)能圍成面積比45m2更大的雞舍嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積；如果不能，請(qǐng)說明理由．(第7題)eq\a\vs4\al(題型2)實(shí)際問題中的決策8．【2016·武漢】某公司計(jì)劃從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每年產(chǎn)銷x件．已知產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的有關(guān)信息如表：產(chǎn)品每件售價(jià)(萬元)每件成本(萬元)每年其他費(fèi)用(萬元)每年最大產(chǎn)銷量(件)甲6a20200乙201040＋0.05x280其中a為常數(shù)，且3≤a≤5.(1)若產(chǎn)銷甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)分別為y1萬元、y2萬元，直接寫出y1，y2與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)；(3)為獲得最大年利潤(rùn)，該公司應(yīng)該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品？請(qǐng)說明理由．答案(第1題)1．解：(1)由已知得OA＝OA1＝8m，OC＝8m，AB＝6m．故C(0，8)，B(－8，6)．設(shè)拋物線BCB1對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝ax2＋8，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a＝－eq\f(1,32)，所以y＝－eq\f(1,32)x2＋8(－8≤x≤8)．(2)能．若貨車從隧道正中行駛，則其最右邊到y(tǒng)軸的距離為2m．如圖，設(shè)拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)為點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AA1于點(diǎn)E.當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－eq\f(1,32)×22＋8＝7eq\f(7,8)，即Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，7\f(7,8)))，所以DE＝7eq\f(7,8)m.因?yàn)?eq\f(7,8)＞7，所以該貨車能安全通過這個(gè)隧道．2．C(第3題)3．解：(1)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，則有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)).設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋c，由拋物線過點(diǎn)M和點(diǎn)B，可得a＝－eq\f(5,4)，c＝5.故拋物線的解析式為y＝－eq\f(5,4)x2＋5.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝eq\f(15,4)；當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，y＝eq\f(35,16).故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(15,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(35,16)))兩點(diǎn)在拋物線上．當(dāng)豎直擺放5個(gè)圓柱形桶時(shí)，桶高為0.3×5＝1.5＝eq\f(3,2)(米)．∵eq\f(3,2)＜eq\f(15,4)且eq\f(3,2)＜eq\f(35,16)，∴網(wǎng)球不能落入桶內(nèi)．(2)設(shè)豎直擺放m個(gè)圓柱形桶時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)．由題意，得eq\f(35,16)≤0.3m≤eq\f(15,4)，解得7eq\f(7,24)≤m≤12eq\f(1,2).∵m為整數(shù)，∴m的值為8，9，10，11，12.∴當(dāng)豎直擺放8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，11個(gè)或12個(gè)圓柱形桶時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)．4．0.55．解：(1)連接FH，∵△EGH≌△BCF，∴BC＝EG，HG＝FC，∠G＝∠BCF，∴CG＝BE，HG∥FC，∴四邊形FCGH是平行四邊形，∴FHCG，∴∠DFH＝∠DCG＝90°.由題意可知，CF＝BE＝a.在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，F(xiàn)H＝a，∴DH＝eq\r(DF2＋FH2)＝eq\r(5)a.(2)設(shè)BE＝x，△DHE的面積為y.依題意，得y＝S△CDE＋S梯形CDHG－S△EGH＝eq\f(1,2)×3a×(3a－x)＋eq\f(1,2)(3a＋x)x－eq\f(1,2)×3a×x，∴y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)ax＋eq\f(9,2)a2，即y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\f(27,8)a2.∴當(dāng)x＝eq\f(3,2)a，即E是BC的中點(diǎn)時(shí)，y取得最小值，即△DHE的面積取得最小值，最小值是eq\f(27,8)a2.6．解：(1)在y＝eq\f(1,2)x－2中，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴A(4，0)，C(0，－2)．設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵點(diǎn)A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在拋物線上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＋c＝0，,a＋b＋c＝0，,c＝－2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝\f(5,2)，,c＝－2.))∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(5,2)x－2.(第6題)(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(5,2)x－2(1＜x＜4)．在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝2，由勾股定理得AC＝2eq\r(5).如圖所示，連接CD，AD.過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥FD交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則FG＝AO＝4，F(xiàn)D＝x，DG＝4－x，OF＝AG＝y(tǒng)，F(xiàn)C＝y(tǒng)＋2.∴S△ACD＝S梯形AGFC－S△CDF－S△ADG＝eq\f(1,2)(AG＋FC)·FG－eq\f(1,2)FC·FD－eq\f(1,2)DG·AG＝eq\f(1,2)(y＋y＋2)×4－eq\f(1,2)(y＋2)·x－eq\f(1,2)(4－x)·y＝2y－x＋4.將y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(5,2)x－2代入，得S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，此時(shí)S△ACD最大，且最大值為4.∴D(2，1)．∵S△ACD＝eq\f(1,2)AC·DE，AC＝2eq\r(5).∴當(dāng)△ACD的面積最大時(shí)，高DE最大，則DE的最大值為eq\f(4,\f(1,2)AC)＝eq\f(4,\f(1,2)×2\r(5))＝eq\f(4\r(5),5).∴當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，1)，最大距離為eq\f(4\r(5),5).7．解：(1)因?yàn)锳B＝xm，所以BC＝(24－3x)m，此時(shí)S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.(2)由已知得－3x2＋24x＝45，整理可得x2－8x＋15＝0.解得x1＝5，x2＝3.∵0＜24－3x≤10，得eq\f(14,3)≤x＜8，∴x2＝3不符合題意，故AB＝5m.(3)能．S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48.∵eq\f(14,3)≤x＜8，∴當(dāng)x＝eq\f(14,3)時(shí)，S最大值＝46eq\f(2,3).∴能圍成面積比45m2更大的雞舍．圍法是：BC的長(zhǎng)是10m，AB的長(zhǎng)是4eq\f(2,3)m，這時(shí)雞舍的面積最大，為46eq\f(2,3)m2.8．解：(1)y1＝(6－a)x－20，(0＜x≤200)y2＝(20－10)x－40－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40.(0＜x≤80)(2)對(duì)于y1＝(6－a)x－20，∵3≤a≤5，∴6－a＞