三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)“十校聯(lián)賽”一等獎

三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)一、三角函數(shù)圖像的作法幾何法五點法圖像變換法二、三角函數(shù)圖像的性質(zhì)三、解三角不等式（數(shù)形結(jié)合）四、f(x)=Asin(x+)的性質(zhì)---11---1--作法:(1)等分(2)作正弦線(3)平移(4)連線一、三角函數(shù)圖像的作法1.幾何法y=sinx

作圖步驟:o11PAM正弦線MP余弦線OM正切線ATT0相位相位相位相位相位---------1-1因為終邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以y=sinx的圖象在……，……與y=sinx,x∈[0,2π]的圖象相同正弦函數(shù)的圖像正弦曲線余弦函數(shù)y=cosx=sin(x+)由y=sinx左移y=cosxy=sinxy=cosx余弦曲線正,余弦函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于

x軸的直線,對稱中心為圖象與x軸的交點正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)作函數(shù)的簡圖解:列表描點作圖---2.五點法作函數(shù)

y=Asin(x+)

的圖像的步驟:(1)令相位

x+=0,,,,2,解出相應(yīng)的

x

的值;23

2

(2)求(1)中

x

對應(yīng)的

y

的值,并描出相應(yīng)五點;1

2110(3)用光滑的曲線連結(jié)(2)中五點.步驟1步驟2步驟3步驟4步驟5沿x軸平行移動橫坐標(biāo)伸長或縮短縱坐標(biāo)伸長或縮短沿x軸擴展橫坐標(biāo)向左(>0)或向右(<0)平移||個單位

要特別注意,若由

y=sin(x)

得到

y=sin(x+)

的圖象,則向左或向右平移應(yīng)平移

|

|

個單位.將各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/ω

倍(縱坐標(biāo)不變).各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍(橫坐標(biāo)不變)；3.例1：如何由函數(shù)f(x)=sinx的圖象得到下列函數(shù)的圖象？(1)y=2sinx(2)y=sinx21(3)y=sin2x(4)y=sinxy=2sinx圖象由y=sinx圖象（橫坐標(biāo)不變），縱坐標(biāo)伸長2倍而得。21y=sinx圖象由y=sinx圖象（橫坐標(biāo)不變）縱坐標(biāo)縮短而得。2121例1：如何由函數(shù)f(x)=sinx的圖象得到下列函數(shù)的圖象？(1)y=2sinx(2)y=sinx(3)y=sin2x(4)y=sinx2121y=sin2x圖象由y=sinx圖象（縱標(biāo)不變），橫標(biāo)縮短而得。21y=sinx圖象由y=sinx圖象（縱標(biāo)不變），橫標(biāo)伸長2倍而得。21O方法1：y=sinx縱向伸長3倍y=3sinx－)－例2：如何由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=3sin(2x+

)3π左移3πy=3sin(x+)3π橫向縮短21y=3sin(2x+)3πO方法2：y=sinx縱向伸長3倍y=3sinxy=3sin2x)－左移6πy=3sin(2x+)3π橫向縮短21例2：如何由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=3sin(2x+

)3π方法1：y=sinx縱向伸長3倍y=3sinx左移3πy=3sin(x+)3π橫向縮短21y=3sin(2x+)3π例3、已知函數(shù)

y=

cos2x+

sinxcosx+1,xR.

(1)求當(dāng)

y

取得最大值時自變量

x

的集合;(2)該函數(shù)可由y=sinx(xR)

的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?1232解:(1)y=

cos2x+

sinxcosx+1=

cos2x+

sin2x+12321434546

=

sin(2x+)+.5412當(dāng)且僅當(dāng)

2x+=2k+(kZ),即

x=k+(kZ)

時,6

2

6

函數(shù)

y

取得最大值.故當(dāng)

y

取得最大值時,自變量

x

的集合是:{x

|

x=k+

,kZ}.6

(2)將函數(shù)

y=sinx

依次進行如下變換:

①將

y=sinx

的圖象向左平移,得

y=sin(x+

)

的圖象;6

6

②將所得圖象上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到

y=sin(2x+

)

的圖象;126

③將所得圖象上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到

y=

sin(2x+

)

的圖象;126

1254④將所得圖象向上平移個單位長度,得到

y=

sin(2x+

)

+的圖象;126

54綜上得到

y=

cos2x+

sinxcosx+1

的圖象.32126

sin(2x+)+.5412由y=sinx函數(shù)圖象單調(diào)性

遞減遞增遞增遞減遞增最值時，時，時，時，奇偶性對稱性對稱中心:對稱中心:對稱中心:對稱軸：

對稱軸：00知識梳理無最值奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)無對稱軸二、三角函數(shù)圖象的性質(zhì)三、解三角不等式（數(shù)形結(jié)合）四.振幅周期頻率相位初相1.周期性:①y=sinx、y=cosx

的最小正周期都是

2;②

f(x)=Asin(x+)

和

f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是

T=.f(x)=Atan(x+)的最小正周期都是T=④f(x)=|Asin(x+)|,f(x)=|Acos(x+)|的最小正周期都是T=（即取絕對值后周期減半），f(x)=|Atan(x+)|的最小正周期是T=（即取絕對值后周期不變）。||2f(x)=Asin(x+),f(x)=Acos(x+)和f(x)=Atan(x+)的性質(zhì)||五.||||1、下列函數(shù)中周期為的是（）22x4xA.y=sin,B.y=sin2xC.y=cosD.y=cos4xD2、f(x)=sin2x-?的周期是（）π2.單調(diào)性：研究f(x)=

Asin(x+)性質(zhì)的方法：類比研究y=sinx的性質(zhì)，只需將ωx+φ看成x，但在求f(x)=Asin(x+)的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意A和ω的符號，通過誘導(dǎo)公式先將ω化正。如1：的單調(diào)增區(qū)間。2.求函數(shù)

y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

的最小正周期和最小值,并寫出該函數(shù)在

[0,]

上的單調(diào)增區(qū)間.解:

∵

y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+

3

sin2x

=

3

sin2x-cos2x

6

=2sin(2x-)故該函數(shù)的最小正周期是

,最小值是

-2.3

在

[0,]

上的單調(diào)增區(qū)間是

[0,]

和

[,].65由

2k-≤2x-

≤2k+

(kZ)

得:2

2

6

k-≤x≤k+(kZ).3

6

令

k=0,

1

即得函數(shù)

y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

3.奇偶性：再如f(x)=Asin(x+)為奇函數(shù)=k(kZ)f(x)=Asin(x+)為偶函數(shù)=k+(kZ)2

f(x)=Acos(x+)為奇函數(shù)=k+(kZ)2

=k(kZ)f(x)=Acos(x+)為偶函數(shù)例4.已知函數(shù)

f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤)

是

R

上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點

M(

,0)

對稱,且在區(qū)間

[0,]

上是單調(diào)函數(shù),求

和

的值.432

解:

∵f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤)

是

R

上的偶函數(shù),又∵0≤≤,∴=.2

∵f(x)

的圖象關(guān)于點

M

對稱,∴f(x)=cosx.∴=k+(kZ).43

2

∴=(kZ).4k+23∴f(x)=cosx

在區(qū)間

[0,

]

上是減函數(shù).

∵>0,∴

f()

=0.