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第二部分熱點(diǎn)題型攻略目錄題型四
二次函數(shù)與幾何圖形綜合題類型一與三角形形狀有關(guān)類型二與特殊四邊形形狀有關(guān)熱點(diǎn)題型攻略題型四二次函數(shù)與幾何圖形綜合題類型一與特殊三角形形狀有關(guān)第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考向互動(dòng)探究考點(diǎn)聚焦歸類探究探究一二次函數(shù)與三角形的結(jié)合回歸教材例1
如圖41-1,對(duì)稱軸為直線x=-1的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0).(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)已知a=1,C為拋物線與y軸的交點(diǎn).①若點(diǎn)P在拋物線上,且S△POC=4S△BOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo);②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D,求線段QD長(zhǎng)度的最大值.考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材圖41-1第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例題分層分析
(1)拋物線的解析式未知,不能通過解方程的方法確定點(diǎn)B的坐標(biāo),根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性,能求出B點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?
(2)要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件?由a=1,A(-3,0),B(1,0)三個(gè)條件試一試;考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材
(3)根據(jù)S△POC=4S△BOC列出關(guān)于x的方程,解方程求出x的值;
(4)如何用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式?
(5)D點(diǎn)的坐標(biāo)怎么用x來表示?
(6)QD怎樣用含x的代數(shù)式來表示?
(7)QD與x的函數(shù)關(guān)系如何?是二次函數(shù)嗎?如何求出最大值?第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材解題方法點(diǎn)析
以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點(diǎn)存在性問題是以二次函數(shù)的圖象和解析式為背景,判斷三角形滿足某些關(guān)于點(diǎn)的條件時(shí),是否存在的問題,這類問題有關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)、線段、三角形等類型之分.這類試題集代數(shù)、幾何知識(shí)于一體,數(shù)形結(jié)合,靈活多變.第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題
熱點(diǎn)題型攻略題型四二次函數(shù)與幾何圖形綜合題類型二與特殊四邊形面積有關(guān)例(’15攀枝花)如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)P,與直線BC相交于點(diǎn)M,連接PB.(1)求該拋物線的解析式;(2)在(1)中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得△BCD
的面積最大?若存在,求出D點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD
面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.典例精講(3)在(1)中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q
,使得△QMB
與△PMB
的面積相等?若存在,求出點(diǎn)Q
的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)由,解得,∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.…………(2分)一題多解:由題意可知點(diǎn)A(-1,0)、點(diǎn)B(3,0)是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),∴拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)設(shè)D(t,-t2+2t+3),如解圖①,作DH⊥x軸交BC
于點(diǎn)H,∵拋物線的解析式為y=-x
2+2x+3,∴C(0,3),又∵B(3,0),∴直線BC的解析式為y=-x+3,∴H(t,-t+3),∴水平寬a=xB-xC
=3-0=3,鉛垂高h(yuǎn)=yD-yH=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,∴S△BCD=ah=(-t
2+3t)=-t
2+t=-(t-)2+.∵-<0,∴當(dāng)t=時(shí),即D的坐標(biāo)為(
,
)時(shí),S△BCD有最大值,且最大面積為.(3)存在.∵P(1,4),過點(diǎn)P且與BC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)為Q1,即為所求Q點(diǎn)之一,∵直線BC
為y=-x+3,∴過點(diǎn)P且與BC平行的直線為y=-x+5,由,解得
,∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為(2,3).∵直線PM為直線x=1,直線BC
的解析式為y=-x+3,∴M(1,2).設(shè)PM
與x軸交于E點(diǎn),∵PM
=EM
=2,∴過點(diǎn)E且與BC
平行的直線為y=-x+1,從而過點(diǎn)E且與BC
平行的直線與拋物線的交點(diǎn)即為Q
2、Q
3,也為所求Q
點(diǎn)之一,由,解得,∴Q
2(,),Q
3(,),∴滿足條件的Q點(diǎn)為Q
1(2,3),Q
2(
,
),Q
3(,).【備考指導(dǎo)】一、面積函數(shù)關(guān)系式最值問題的解題步驟(以本題第(2)問為例)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置(左、中、右)水平寬a=x右-x左(即最右點(diǎn)的橫坐標(biāo)-最左點(diǎn)的橫標(biāo));2.過中間點(diǎn)作x軸的垂線交對(duì)邊于點(diǎn)F,則F點(diǎn)的橫坐標(biāo)與中間點(diǎn)相同,縱坐標(biāo)為對(duì)邊直線解析式,鉛垂高h(yuǎn)=y上-y下;3.利用S=12ah,得到關(guān)于x的二次函數(shù),將二次函數(shù)配成頂點(diǎn)式求出面積的最大值,再將x值代入動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)中,求出坐標(biāo)即可.二、面積數(shù)量關(guān)系問題的解題步驟(以本題第(3)問為例):利用平行線間的距離處處相等找點(diǎn),分兩種情況:(1)過點(diǎn)P作平行于BC的直線,交拋物上的上半部分,(2)作平行于BC的直線交拋物線的下半部分(兩個(gè)交點(diǎn));2.綜上,存在點(diǎn)Q,其坐標(biāo)為(2,3)或(,)或(
,
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