高三復習：二項式定理-知識點、題型方法歸納

綿陽市開元中學高2014級高三復習《二項式定理》 學問點、題型與方法歸納制卷：王小鳳學生姓名： 學問梳理.二項式定理：(。+力〃=C%〃+CS「SH\-C^an~rbr~\l-C^CneN*)^^公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫的二項綻開式.其中的系數(shù)a(r=0,l,〃)叫二項式系數(shù).式中的叫二項綻開式的通項，用。+1表示，即通項Tr+i=Crnan-rbr..二項綻開式形式上的特點(1)項數(shù)為竺上!.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的幕指數(shù)n,即。與。的指數(shù)的和為”.(3)字母。按降累排列,從第一項起先,次數(shù)由〃逐項減1直到零；字母b按丑金排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數(shù)從Cg,CL始終到er1,a..二項式系數(shù)的性質(zhì)⑴對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.即禺=c;「(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)C3當YI~1女＜一廠時，二項式系數(shù)漸漸增大.由對稱性知它的后半部分是漸漸減小的；當nn是偶數(shù)時，中間一項。取得最大值；當72-1 〃+1〃是奇數(shù)時，中間兩項=cj取得最大值.(3)各二項式系數(shù)和：Cn+Cn+CnHFQ+…+c，=25c2+a+c4+???=c4+c、+cZ+…=絲2.一個防范運用二項式定理肯定要牢記通項。+1=G；相一必,留意(。+力〃與(人+。)〃雖然相同，但詳細到它們綻開式的某一項時是不同的，肯定要留意依次問題，另外二項綻開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩令丕同的概念,…前者盡指.00…而后者是字母外的部分.前者只與〃和廠有關，恒為正，后者還與〃，〃有關，可正可負.一個定理二項式定理可利用數(shù)學歸納法證明，也可依據(jù)次數(shù)，項數(shù)和系數(shù)利用排列組合的學問推導二項式定理.因此二項式定理是排列組合學問的發(fā)展和持續(xù).兩種應用(1)通項的應用：利用二項綻開式的通項可求指定的項或指定項的系數(shù)等.(2)綻開式的應用：利用綻開式①可證明與二項式系數(shù)有關的等式；②可證明不等式；③可證明整除問題；④可做近似三條性質(zhì)(1)對稱性；(2)增減性；(3)各項二項式系數(shù)的和；二.題型示例【題型一】求(x+y)〃綻開特定項TOC\o"1-5"\h\z例1：(1+3必(其中且〃三6)的綻開式中x5與的系數(shù)相等，則〃=()A.6 B.7C.8 D.9解：由條件得C^35=C^36,n! _n!5!(〃-5)! 6!(〃-6)!???3(〃-5)=6,〃=7.故選B.例2：(2014?大綱)(左一比『的綻開式中的系數(shù)為 .(用數(shù)字作答)解：/一關)綻開式的通項公式為3 3/、廠 8—r—4(-1)C。2y2,3 3令8—5廠=2,解得r=4,此時5〃-4=2,所以綻開式中X2/的系數(shù)為(-l)4d=70.故填70.【題型二】求(。+”〃+(%+y)〃綻開特定項例1：在(1—x)5+(l—x)6+(l—x),+(1一%)8的綻開式中，含X3的項的系數(shù)是()A.74 B.121C.-74D.-121解析綻開式中含V項的系數(shù)為eg(-1)3+C^(-1)3+C^(-1)3+C^(-1)3=-121.【題型三】求(〃+"”?(x+y)”綻開特定項例1：(2013?全國課標卷H)已知(1+czx)(l+x)5的綻開式中%2的系數(shù)為5,則〃=( )A.-4 B.-3C.-2 D.-1解：(1+qx)(1+x)5的綻開式中一項為Clx1+ax-C\x=10x2+Sax1=(10+5a)%2.??32的系數(shù)為5, A10+56/=5,〃=—1.故選D.例2：(2014?浙江卷)在(l+x)6(l+y)4的綻開式中，記產(chǎn)項的系數(shù)為角%,〃)，則43,0)+次2,1)十五1,2)+/0,3)=()A.45 B. 60C.120 D.210解析在(1+工)6的綻開式中，力的系數(shù)為eg7,在(l+y)4的綻開式中，/的系數(shù)為a,故火相，〃尸CCA而人3,0)=Cg=20,式2,1)=d?&=60,共1,2)=ChC《=36,火0,3)=C?=4,所以<3,0)+負2,1)+負1,2)+/0,3)=120,故選C.例3：已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且%+%=10 ，貝U 在(x-a1)(x-a2)--(x-an)的綻開式中，xn的系數(shù)為.解：3的系數(shù)為—(6/|+%++tip)——6(4+%)=-60o【題型四】求(％+y+z)"綻開特定項例1:求住+5+同(%>0)的綻開式經(jīng)整理后的常數(shù)項.因而7>+1=Cfo (也)10—2r (]、，貝1]r=5時為常數(shù)項，即Go不563^2=2,解法二：所給的式子為三項式，采納兩個計數(shù)原理求解.分三類：①5個式子均取出，則以5(鉤=472;丫 1②取一個5，一個；，三個也，則Cg(加(6)3=2的③取兩個看兩個一個也，則dC3喈.所以，常數(shù)項為4陋+2岫+”興63^2—2.點撥：三項式的綻開式問題，通?？捎媒夥ㄒ换癁槎検絾栴}，或用解法二化為計數(shù)問題.TOC\o"1-5"\h\z例2：若將(％+y+?°綻開為多項式,經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為( ).A.11 B.33C.55 D.66解：綻開后，每一項都形如公產(chǎn)才，其中a+8+c=10,該方程非負整數(shù)解的對數(shù)為。溫=66o例3：[2015?課標全國卷I](x2+%+?的綻開式中，X5：/的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.60解析易知r+1=?(1+%)5-y,令尸=2,則八=(3(%2+%)3,2,對于二項式(爐+4，由刀+1=0(%2廣3=(2限61,令.=1,所以2y2的系數(shù)為C?Ci=30.【題型五】二項式綻開逆向問題例1：(2013?廣州畢業(yè)班綜合測試)若以+3或+32&+…+3廠2a一1+3〃-1=85,則〃的值為()A.3B.4C.5D.6解：由&+3或+???+3〃?2?！?+3〃-1=；[(1+3)〃-1]=85,解得〃=4.故選一)B.【題型六】賦值法求系數(shù)(和)問例1：已知(1-21)7=〃0+“1犬+?！?HVaix1.求：(1)〃1+Q2+…+Q7；(2)。1+。3+。5+。7；(3)。0+42+44+46；(4)|^o|+l6zi|+\a^+???+\ai\.角星：令X=1,貝UQo+〃l+〃2+〃3+〃4+。5+。6+。7=-1?①令X=-1,則ao—41+。2—43+〃4-45+。6。7=3,,②(1)*/6Z0=C9=1,???〃1+02+03+…+47=-2.(2)(①一②)-2,得〃1+。3+。5+。7=-1-3’―廣=一1094.③(3)(①+②)：2,得ao~\-ai~\-O4~\~ae=-1+37=1093.④(4):(1—2x)7的綻開式中，Qo,42,04,Q6大于零，而41,(13,〃5,-1+37=1093.④:?|。()|+ 1+㈤+…+|。7|=(〃()+Q2+〃4+。6)—(〃1+。3+〃5+〃7),???所求即為④一③(亦即②)，其值為2187點撥：①“賦值法”普遍運用于恒等式，是一種處理二項式相關問題比較常用的方法.對形如(ax+〃)〃，(ax2-\-hx-\-c),n(a,b,cWR)的式子求其綻開式各項系數(shù)之和，只需令x=l即可；對形如(公+勿)"(〃，/?￡R)的式子求其綻開式各項系數(shù)之和，只需令x=y=l即可.②若y(x)=6zo+aix+aix1+???+則火幻綻開式中各項系數(shù)之和為a\+03+45+3='/⑴一f(T)?/U),奇數(shù)項系數(shù)之和為qo+s+q4H—J⑴？(a\+03+45+3='/⑴一f(T)例2：=a\x+av^HFOlnX2”,貝例2：=a\x+av^解：設火%）=惇+12：則(〃o+o2一(〃1+〃3+45+解：設火%）=惇+12：則(〃o+o2+〃4+???+〃2〃)2—+6Z3+ +***+ain-i)2=(〃o+02+04+…+i2〃—a\—43—as 〃2〃—1)(Q()+Q2+〃4HFain+〃1+43+〃5+…+ain-!)=/(—1)7(1)=例3：已知(x+l)2(x+2嚴14=〃o+a\(x+2)+Q2(X+2)2+…+6Z2016(X+2嚴6,則3+第+||+一+掰的值為3解：依題意令尸一殺得1+1TOC\o"1-5"\h\z，3 、2014 ，3 )3解：依題意令尸一殺得1+11―g+2)=〃o+ [-]+2)+(3 )2 (3 \2016武一]+2)H 1-。20161—]+2),令x=-2付qo=O,則不+至+方-^ H乙乙 乙6Z20I6,2016=m20166Z20I6,2016=m2016I2J例1：若將函數(shù)式幻=/表示為火幻=40+“1（1+工）+。2（1+x）2+…+。5（1+%）5,其中a。，Q],〃2，…，。5為實數(shù),則Q3=.解法一：令x+l=y,（y—l）5=ao+a\y-\-aiy2+???+asy5,故〃3=d（—1>=10.解法二：由等式兩邊對應項系數(shù)相%5=1,等.即：，△。5+。4=0, 解得〃3=、Cg〃5+C%4+〃3=0,解法三：對等式：/OOnruao+aiq+x）+^2（l+x）24F〃5（1+x）5兩邊連續(xù)對龍求導三次得：60/=6如+2444（1+x）+60〃5（1+x）2,再運用賦值法，令X=—1得：60=6?,即。3=10.故填10.【題型八】二項式系數(shù)、系數(shù)最大值問題例i：（c+JT的綻開式中第五項和第六項的二項式系數(shù)最大，則第四項為.解析由已知條件第五項和第六項二項式系數(shù)最大，得〃=9,（也十￡綻開式的第四項為八=0（也）6-（=）3=21~2'例2：把（1一%）9的綻開式按％的升塞排列，系數(shù)最大的項是第項A.4 B.5C.6 D.7解析（1—%）9綻開式中第1+1項的系數(shù)為c§（-l）\易知當r=4時，系數(shù)最大，即第5項系數(shù)最大，選B.例3：（l+2x）〃的綻開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求綻開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.解:々=G（2x）5,乃=以（21）6,依題意有東?25=以?26,解得〃=8,所以（1+2x）8的綻開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5=d?（2x）4=1120x4.設第r+1項系數(shù)最大，則有?2。。廠?2廠IIC§?2。。時?2r+1,解得5W-W6,所以r=5或r=6,所以系數(shù)最大的項為76=1792/或為=1792x6.點撥：（1）求二項式系數(shù)最大項：①假如〃是偶數(shù)，則中間一項（第￡+1項）的二項式系數(shù)最大；②假如〃是奇數(shù)，則中間兩77+1 〃+1項（第一廠項與第一廠+1項）的二項式系乙 乙數(shù)相等并最大.⑵求綻開式系數(shù)最大項：如求的綻開式系數(shù)最大的項，一般是采納待定系數(shù)法，列出不等式組L. 從而解出r,即得綻開[ArNAr+l,式系數(shù)最大的項.【題型九】兩邊求導法求特定數(shù)列和例1：若(21-3)5=00+〃1%+〃2/+43X3+SA4+Q5X5,貝1J〃1+2〃2+3〃3+46/4+5Q5=?解析原等式兩邊求導得5(2%—3)49(2x—3y=ai+2tzzx+36Z3X2+4?4X3+5。5次4,令上式中X=1,得。1+2〃2+3b+4〃4+5q5=10.【題型十】整除問題例1：設q￡Z,且0W〃v13,若512。12+。能被13整除，則4=()A.0B.1C.11D.12解析512°12+〃=(52—1)2。12+"=?012?522O12-Cioi2?52201l+-+CM1?52(-l)201l+C^l^(-l)2012,.,C5oi2-522O12-Cloi2-522O11+-+C^8HX52?(一Iyo”能被13整除.且512oi2+a能被13整除，，c陰場＜-])2012+〃=i+q也能被13整除.因此〃可取值12.例2：已知根是一個給定的正整數(shù),假如兩個整數(shù)。"除以m所得的余數(shù)相同，則稱a與b對模m同余，記作a=h{mod根)，例如：5三13(/nod4).若22015三r{mod7),則廠可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016解：22015=22X23X671=4X8671=4(7+1）671=4（7671+以717670+…+潮7+1）.因此2235除以7的余數(shù)為4.閱歷證，只有2013除以7所