2024學年天津市塘沽第一中學高二數(shù)學第一學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

2024學年天津市塘沽第一中學高二數(shù)學第一學期期末教學質量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)．若數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則的最大值為（）A.9 B.12C.20 D.2．已知數(shù)列滿足，在任意相鄰兩項與(k＝1，2，…)之間插入個2，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則的值為（）A.162 B.163C.164 D.1653．已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（）A. B.C. D.4．在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則（）A.5 B.6C.7 D.85．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）A.24種 B.6種C.4種 D.12種6．已知雙曲線：與橢圓：有相同的焦點，且一條漸近線方程為：，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.7．若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.28．若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個極值點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知直線，當變化時，所有直線都恒過點（）A.B.C.D.11．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.12．下列求導不正確的是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期的數(shù)學三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上動點P到兩定點A，B的距離之比滿足(且，t為常數(shù))，則點的軌跡為圓．已知在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，則P點的軌跡為圓，該圓方程為_________；過點的直線交圓于兩點，且，則_________14．數(shù)列的前n項和滿足：，則________15．如圖，在棱長都為的平行六面體中，，，兩兩夾角均為，則________；請選擇該平行六面體的三個頂點，使得經過這三個頂點的平面與直線垂直.這三個頂點可以是________16．在中，，是線段上的點，，若的面積為，當取到最大值時，___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：實數(shù)x滿足（其中）；命題q：實數(shù)x滿足（1）若，為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實數(shù)的取值范圍18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.19．（12分）（1）敘述正弦定理；（2）在△中，應用正弦定理判斷“”是“”成立的什么條件，并加以證明.20．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax－2lnx（1）討論f(x)的單調性；（2）設函數(shù)g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范圍21．（12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，直線與平面ABCD所成角的正弦值為.E，F(xiàn)分別為、的中點.（1）求證：平面BED；（2）求直線與平面FAC所成角的正弦值.22．（10分）已知拋物線，過點作直線（1）若直線的斜率存在，且與拋物線只有一個公共點，求直線的方程（2）若直線過拋物線的焦點，且交拋物線于兩點，求弦長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，負數(shù)且最小或為正數(shù)且最大，進而求出最大值.【題目詳解】①，當時，，當時，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當是公差為2的等差數(shù)列，且時，最小，最大，此時，所以，此時；當且是公差為2的等差數(shù)列時，最大，最大，此時，所以，此時綜上：的最大值為20故選：C【題目點撥】方法點睛：數(shù)列相關的最值求解，要結合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調性或導函數(shù)等進行求解.2、C【解題分析】確定數(shù)列的前70項含有的前6項和64個2，從而求出前70項和.【題目詳解】，其中之間插入2個2，之間插入4個2，之間插入8個2，之間插入16個2，之間插入32個2，之間插入64個2，由于，，故數(shù)列的前70項含有的前6項和64個2，故故選：C3、B【解題分析】根據題意得到得到答案.【題目詳解】橢圓焦點在軸上，且，故.故選：B.4、B【解題分析】當n為偶數(shù)時，展開式中第項二項式系數(shù)最大，當n為奇數(shù)時，展開式中第和項二項式系數(shù)最大.【題目詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：B5、B【解題分析】由已知可得只需對剩下3人全排即可【題目詳解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B6、B【解題分析】由漸近線方程，設出雙曲線方程，結合與橢圓有相同的焦點，求出雙曲線方程.【題目詳解】∵雙曲線：的一條漸近線方程為：∴設雙曲線：∵雙曲線與橢圓有相同的焦點∴，解得：∴雙曲線的方程為.故選：B.7、D【解題分析】根據拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【題目詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【題目點撥】本題主要考查了拋物線的定義和性質．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應用，屬于基礎題8、B【解題分析】根據斜率的取值范圍，結合來求得傾斜角的取值范圍.【題目詳解】設傾斜角為，因為，且，所以.故選：B9、A【解題分析】根據導數(shù)的性質，結合余弦型函數(shù)的性質、極值的定義進行求解即可.【題目詳解】由，，因為在區(qū)間有且僅有2個極值點，所以令，解得，因此有，故選：A10、D【解題分析】將直線方程整理為，從而可得直線所過的定點.【題目詳解】可化為，∴直線過定點，故選：D.11、C【解題分析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【題目詳解】,故在方向上的投影為：故選：C12、C【解題分析】由導數(shù)的運算法則、復合函數(shù)的求導法則計算后可判斷【題目詳解】A：；B：；C：；D：故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解題分析】設，根據可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【題目詳解】設，則，整理得到，即.因為，故為的中點，過圓心作的垂線，垂足為，則為的中點，則，故，解得，故答案為：，.14、【解題分析】利用“當時，；當時，"即可得出.【題目詳解】當時，當時，，不適合上式，數(shù)列的通項公式.故答案為：.15、①.②.點或點（填出其中一組即可）【解題分析】（1）以向量，，為基底分別表達出向量和，展開即可解決；（2）由上一問可知，用上一問同樣的方法可以證明出，這樣就證明了平面與直線垂直.【題目詳解】（1）令，，，則，則有，故（2）令，，，則，則有，故故，即又由（1）之,,故直線垂直于平面同理可證直線垂直于平面故答案為：0;點或點16、【解題分析】由三角形面積公式得出，設，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等號成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【題目詳解】由題意可得，解得，設，則，可得，由基本不等式可得，當且僅當時，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案為【題目點撥】本題考查余弦定理解三角形，同時也考查了三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時，需要結合已知條件得出定值條件，同時要注意等號成立的條件，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）由得命題p：，然后由為真命題求解；（2）由得，再根據是的充分條件求解.小問1詳解】當時，，解得：，由為真命題，，解得；【小問2詳解】由（其中）可得，因為是的充分條件，則，解得：18、（1）（2）【解題分析】（1）建立空間直角坐標系，用點到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個面的法向量，然后用二面角公式即可.【小問1詳解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又兩兩互相垂直,所以，以點為坐標原點，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，D(3,6,0),A(0,6,0)設平面的一個法向量所以n?PD令，可得記點到平面的距離為，則d=【小問2詳解】由(1)可知平面的一個法向量為平面的一個法向量為設二面角的平面角為由圖可知，19、（1）正弦定理見解析；（2）充要條件，證明見解析【解題分析】（1）用語言描述正弦定理，并用公式表達正弦定理（2）利用“大角對大邊”的性質，并根據正弦定理進行邊角互化即可【題目詳解】（1）正弦定理：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值之比相等且等于這個三角形外接圓的直徑，即.（2）是充要條件.證明如下：充分性：又故有：必要性：又綜上，是的充要條件20、（1）答案見解析；（2）.【解題分析】（1）根據實數(shù)a的正負性，結合導數(shù)的性質分類討論求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構造函數(shù)，利用導數(shù)的性質進行求解即可.【小問1詳解】當a≤0時，在(0，＋∞)上恒成立；當a＞0時，令得；令得；綜上：a≤0時f(x)在(0，＋∞)上單調遞減；a＞0時，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增；【小問2詳解】由題意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解則ax≤x－2＋2lnx，令，xg'(x)＋0－g(x)↗極大值↘所以，因此有所以a的取值范圍為：【題目點撥】關鍵點睛：運用常變量分離法利用導數(shù)的性質是解題的關鍵.21、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）證明垂直于平面BED內的兩條相交直線，即可得到答案；（2）分別以OB，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系，平面FAC的一個法向量為，代入向量的夾角公式，即可得到答案；【小問1詳解】∵ABCD為菱形，∴，設AC與BD的交點為O，則OE為的中位線，∴.由題意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC平面ABCD中，∴.又，∴平面BED.小問2詳解】∵ABCD為菱形，，∴為正三角形，∴.∵平面ABCD，∴與平面ABCD所成角，由，得，所以.如圖，分別以OB，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系，則，，，，，，，設平面FAC的法向量為，則由可得，取，故可得平面FAC