2024學年云南省大理市數(shù)學高二上期末聯(lián)考試題含解析

2024學年云南省大理市數(shù)學高二上期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對任意實數(shù)k，直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.與k有關2．已知一個幾何體的三視圖如圖，則其外接球的體積為（）A. B.C. D.3．設平面向量，，其中m，，記“”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.4．已知直線和互相平行，則實數(shù)（）A. B.C.或 D.或5．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（）A. B.C. D.6．若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.7．設是雙曲線與圓在第一象限的交點，，分別是雙曲線的左，右焦點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為（）A. B.C. D.9．已知四面體，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則（）A.1 B.2C.-1 D.-210．已知函數(shù)，則函數(shù)在點處的切線方程為（）A. B.C. D.11．已知數(shù)列滿足，且，，則（）A. B.C. D.12．圓與圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，設直線的斜率為，直線(其中為坐標原點)的斜率為，則______.14．等比數(shù)列的前n項和，則的通項公式為___________.15．根據(jù)某市有關統(tǒng)計公報顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進口總額（單位：千億元）和出口總額（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年若每年的進出口總額，滿足線性相關關系，則______；若計劃2022年出口總額達到千億元，預計該年進口總額為______億元16．命題“若，則”的逆否命題為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值18．（12分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大??；（2）計算，，，由此推測計算的公式，并給出證明；19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，為棱的中點，，，求二面角的余弦值20．（12分）已知橢圓C：的右頂點為A，上頂點為B．離心率為，（1）求橢圓C的標準方程；（2）設橢圓的右焦點為F，過點F的直線l與橢圓C相交于D，E兩點，直線：與x軸相交于點H，過點D作，垂足為①求四邊形ODHE（O為坐標原點）面積的取值范圍；②證明：直線過定點G，并求點G的坐標21．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值22．（10分）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】判斷直線恒過定點，可知定點在圓內(nèi)，即可判斷直線與圓的位置關系.【題目詳解】由可知，即該圓的圓心坐標為，半徑為,由可知，則該直線恒過定點，將點代入圓的方程可得，則點在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關系為相交.故選：.2、D【解題分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，將幾何體補成長方體，計算出幾何體的外接球直徑，結合球體體積公式即可得解.【題目詳解】根據(jù)三視圖還原原幾何體，如下圖所示：由圖可知，該幾何體三棱錐，且平面，將三棱錐補成長方體，所以，三棱錐的外接球直徑為，故，因此，該幾何體的外接球的體積為.故選：D【題目點撥】方法點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段兩兩互相垂直，一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用求解3、D【解題分析】由向量的數(shù)量積公式結合古典概型概率公式得出事件A發(fā)生的概率.【題目詳解】由題意可知，即，因為所有的基本事件共有種，其中滿足的為，，只有1種，所以事件A發(fā)生的概率為.故選：D4、C【解題分析】根據(jù)題意，結合兩直線的平行，得到且，即可求解.【題目詳解】由題意，直線和互相平行，可得且，即且，解得或.故選：C.5、C【解題分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【題目詳解】解：因為，所以，又，所以，所以的最小值為.故選：C.6、D【解題分析】根據(jù)拋物線的定義得出當點P在拋物線的頂點時，|PF|取最小值.【題目詳解】根據(jù)題意，設拋物線y＝2x2上點P到準線的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝y(tǒng)，其準線方程為y＝－，∴當點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D7、B【解題分析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據(jù)勾股定理求出結果.【題目詳解】解：根據(jù)雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【題目點撥】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.8、B【解題分析】A.利用正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【題目詳解】A.是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數(shù)是以為最小正周期，在上單調(diào)遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；故選：B9、D【解題分析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【題目詳解】四面體所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則，，，所以.故選：D10、C【解題分析】依據(jù)導數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點處的切線方程即可解決.【題目詳解】則，又則函數(shù)在點處的切線方程為，即故選：C11、A【解題分析】由已知兩個不等式，利用“兩邊夾”思想求得，然后利用累加法可求得【題目詳解】∵，∴，∴，又，∴，即，∴故選：A【題目點撥】本題考查數(shù)列的遞推式，由遞推式的特征，采用累加法求得數(shù)列的項．解題關鍵是利用“兩邊夾”思想求解12、D【解題分析】分別求出圓和圓的圓心和半徑，判斷出兩圓的位置關系可得到公切線的條數(shù).【題目詳解】根據(jù)題意，圓即，其圓心為，半徑；圓即，其圓心為，半徑；兩圓的圓心距，所以兩圓相離，其公切線條數(shù)有4條；故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##-0.0625【解題分析】使用點差法即可求解﹒【題目詳解】設，，則①－②得：，即，即.故答案為：.14、【解題分析】利用的關系，結合是等比數(shù)列，即可求得結果.【題目詳解】因為，故當時，，則，又當時，，因為是等比數(shù)列，故也滿足，即，故，此時滿足，則.故答案為：.15、①.1.6②.3.65千##3650【解題分析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點，代入即可求得，取可求出該年進口總額.【題目詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過點，由，解得，此時，，當時，即，解得，所以，預計該年進口總額為千億元.故答案為：1.6；3.65千16、若，則【解題分析】否定原命題條件和結論，并將條件與結論互換，即可寫出逆否命題.【題目詳解】由逆否命題的定義知：原命題的逆否命題為“若，則”.故答案為：若，則.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、，因此.,當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值70萬元【解題分析】解：（Ⅰ）設隔熱層厚度為，由題設，每年能源消耗費用為.再由，得，因此.而建造費用為最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）當時，，當時，，故是的最小值點，對應的最小值為當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值為70萬元18、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）詳見解析【解題分析】（1）求出的定義域，利用導數(shù)求其最大值，得到，取即可得出答案.（2）由，變形求得，，，由此推測：然后用數(shù)學歸納法證明即可.【小問1詳解】的定義域為，當，即時，單調(diào)遞增；當，即時，單調(diào)遞減故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當時，，即令，得，即【小問2詳解】；；由此推測：①下面用數(shù)學歸納法證明①（1）當時，左邊右邊，①成立（2）假設當時，①成立，即當時，，由歸納假設可得所以當時，①也成立根據(jù)（1）（2），可知①對一切正整數(shù)都成立19、（1）見解析；（2）【解題分析】分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結合面面垂直的性質(zhì)可得平面，進一步得到，再由，利用線面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；（2）取的中點，連接，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題得，解得.進而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）設BC中點為,連接，，又面面，且面面，所以面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設，可得所以由題得，解得.所以設是平面的法向量，則，即，可取.設是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20、（1）；（2）①；②詳見解析；.【解題分析】（1）由題得，即求；（2）①由題可設，利用韋達定理法可得，進而可得四邊形ODHE面積，再利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可求范圍；②由題可得，令，通過計算可得，即得.【小問1詳解】由題可得，解得，∴橢圓C的標準方程.【小問2詳解】①由題可知，可設直線，，由，可得，∴，，∴，∴四邊形ODHE面積，令，則，因為，所以，當時，取等號，∴，∴四邊形ODHE面積取值范圍為；②由上可得，直線，令，得，由，可得，∴，∴直線過定點G.21、（1）證明見解析；（2）【解題分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內(nèi)過點A作Ax⊥AB，以A為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量而得解.【題目詳解】（1）因為，為中點，所以，因為是矩形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC內(nèi)過點A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點A為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖