湖北武漢市蔡甸區(qū)漢陽第一中學2024學年高二上數(shù)學期末聯(lián)考試題含解析

湖北武漢市蔡甸區(qū)漢陽第一中學2024學年高二上數(shù)學期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題,，則A.， B.，C.， D.，2．已知x，y是實數(shù)，且，則的最大值是（）A. B.C. D.3．已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A. B.C. D.4．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.5．一質(zhì)點從出發(fā)，做勻速直線運動，每秒的速度為秒后質(zhì)點所處的位置為（）A. B.C. D.6．已知點A、是拋物線：上的兩點，且線段過拋物線的焦點，若的中點到軸的距離為3，則（）A.3 B.4C.6 D.87．已知，為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一點，若，則P點的橫坐標為（）A. B.C.4 D.98．楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).在歐洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要遲了393年.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則在該數(shù)列中，第37項是A.153 B.171C.190 D.2109．設雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.810．將點的極坐標化成直角坐標是(

)A. B.C. D.11．拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過C上的點A反射后，再經(jīng)C上另一點B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點N．下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則平分C.若，則 D.若，延長AO交直線于點D，則D，B，N三點共線12．已知圓C過點，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，是其導函數(shù)，若曲線的一條切線為直線：，則的最小值為___________.14．已知一個樣本數(shù)據(jù)為3，3，5，5，5，7，7，現(xiàn)在新加入一個3，一個5，一個7得到一個新樣本，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)______，方差______.（“變大”、“變小”、“不變”）15．若球的大圓的面積為，則該球的表面積為___________.16．已知，若三個數(shù)成等差數(shù)列，則_________；若三個數(shù)成等比數(shù)列，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動點到點的距離與點到直線的距離相等.（1）求動點的軌跡方程；（2）若過點且斜率為的直線與動點的軌跡交于、兩點，求三角形AOB的面積.18．（12分）年月日，中國選手楊倩在東京奧運會女子米氣步槍決賽由本得冠軍，為中國代表團攬入本屆奧運會第一枚金牌.受奧運精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織名射擊愛好者進行一系列的測試，并記錄他們的射擊得分（單位：分），將所得數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計該名射擊愛好者的射擊平均得分（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若采用分層抽樣的方法，從得分高于分的射擊愛好者中隨機抽取人調(diào)查射擊技能情況，再從這人中隨機選取人進行射擊訓練，求這人中至少有人的分數(shù)高于分的概率.19．（12分）已知函數(shù)（1）求單調(diào)增區(qū)間；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點（1）求證：D1F平面A1EC1；（2）求直線AC1與平面A1EC1所成角的正弦值.21．（12分）已知函數(shù)（a為常數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知圓C的圓心為，一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上（1）求圓C的方程；（2）直線l：與圓C相交于M，N兩點，P（異于點M，N）為圓C上一點，求△PMN面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題互為否定的關系，即可求解，得到答案【題目詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關系，可得命題,，則，，故選A【題目點撥】本題主要考查了含有一個量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱性命題的關系是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題2、D【解題分析】將方程化為圓的標準方程，則的幾何意義是圓上一點與點連線的斜率，進而根據(jù)直線與圓相切求得答案.【題目詳解】方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點與點A連線的斜率，設，即，當此直線與圓相切時，斜率最大或最小，當切線位于切線AB時斜率最大.此時，，，所以的最大值為.故選：D3、D【解題分析】根據(jù)給定的方程求出離心率，的表達式，再計算判斷作答.【題目詳解】因橢圓的離心率為，則有，因雙曲線的離心率為，則有，所以.故選：D4、C【解題分析】結(jié)合基本不等式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【題目詳解】對于A選項，時，為負數(shù)，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當且僅當時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C5、A【解題分析】利用空間向量的線性運算即可求解.【題目詳解】2秒后質(zhì)點所處的位置為.故選：A【題目點撥】本題考查了空間向量的線性運算，考查了基本知識掌握的情況以及學生的綜合素養(yǎng)，屬于基礎題.6、D【解題分析】直接根據(jù)拋物線焦點弦長公式以及中點坐標公式求結(jié)果【題目詳解】設，，則的中點到軸的距離為，則故選：D7、B【解題分析】設，，根據(jù)向量的數(shù)量積得到，與橢圓方程聯(lián)立，即可得到答案；【題目詳解】設，，，與橢圓聯(lián)立，解得：，故選：B8、C【解題分析】根據(jù)“楊輝三角”找出數(shù)列1，2，3，3，6，4，10，5，…之間的關系即可。【題目詳解】由題意可得從第3行起的每行第三個數(shù)：，所以第行的第三個數(shù)為在該數(shù)列中，第37項為第21行第三個數(shù)，所以該數(shù)列的第37項為故選：C【題目點撥】本題主要考查了歸納、推理的能力，屬于中等題。9、C【解題分析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【題目詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，即的最小值為，故選：C.10、A【解題分析】本題考查極坐標與直角坐標互化由點M的極坐標，知極坐標與直角坐標的關系為，所以的直角坐標為即故正確答案為A11、D【解題分析】根據(jù)求出焦點為、點坐標，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點坐標，由兩點間的距離公式求出可判斷AC；時可得，．由可判斷B；求出點坐標可判斷D.【題目詳解】如圖，若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項A錯誤；時，因為，所以．又，，所以不平分，選項B不正確；若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，所以，所以，選項C錯誤；若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長交直線于點D，所以則，所以D，B，N三點共線，選項D正確；故選：D.12、C【解題分析】設出圓的標準方程，將已知點的坐標代入，解方程組即可.【題目詳解】設圓的標準方程為，將坐標代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設直線與曲線相切的切點為，借助導數(shù)的幾何意義用表示出m，n即可作答.【題目詳解】設直線與曲線相切的切點為，而，則直線的斜率，于是得，即，由得，而，于是得，即因，則，，當且僅當時取“=”，所以的最小值為.故答案為：【題目點撥】結(jié)論點睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導函數(shù)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.14、①.不變②.變大【解題分析】通過計算平均數(shù)和方差來確定正確答案.【題目詳解】原樣本平均數(shù)為，原樣本方差為，新樣本平均數(shù)為，新樣本方差為.所以平均數(shù)不變，方差變大.故答案為：不變；變大15、【解題分析】設球的半徑為，則球的大圓的半徑為，根據(jù)圓的面積公式列方程求出，再由球的表面積公式即可求解.【題目詳解】設球的半徑為，則球的大圓的半徑為，所以球的大圓的面積為，可得，所以該球的表面積為.故答案為：.16、①.4②.【解題分析】由等差中項與等比中項計算即可.【題目詳解】若a，b，c三個數(shù)成等差數(shù)列.所以.若a，b，c三個數(shù)成等比數(shù)列.所以故答案為：4，.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】小問1：由拋物線的定義可求得動點的軌跡方程；小問2：可知直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值，結(jié)合面積公式即可求解小問1詳解】由題意點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以，則，所以動點的軌跡方程是.【小問2詳解】由已知直線的方程是，設、，由得，，所以，則，故，18、（1），平均分為；（2）.【解題分析】（1）利用頻率直方圖中所有矩形面積之和為可求得的值，將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，將所得結(jié)果全部相加可得平均成績；（2）分析可知所抽取的人中，成績在內(nèi)的有人，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有人，分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖得到，解得.這組樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)為.【小問2詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖得到，分數(shù)在、內(nèi)的頻率分別為、，所以采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的人，成績在內(nèi)的有人，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有人，分別記為、，記“人中至少有人的分數(shù)高于分”為事件.則所有的基本事件有、、、、、、、、、、、、、、，共種.事件包含的基本事件有、、、、、、、、，共種，所以.19、（1）單調(diào)增區(qū)間為；（2）.【解題分析】（1）求導由求解.（2）將時，恒成立，轉(zhuǎn)化為時，恒成立，令用導數(shù)法由求解即可.【題目詳解】（1）因為函數(shù)所以令，解得，所以單調(diào)增區(qū)間為.（2）因為時，恒成立，所以時，恒成立，令則令因為時，恒成立，所以在單調(diào)遞減.當時，在單調(diào)遞減，故符合要求；當時，單調(diào)遞減，故存在使得則當時單調(diào)遞增，不符合要求；當時，單調(diào)遞減，故存在使得則當時單調(diào)遞增，不符合要求.綜上.【題目點撥】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；；20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.【題目詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標系.，，設平面的法向量為，則，故可設.由于，所以平面.（2）直線與平面所成角為，則.21、（1）當時，在定義域上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解題分析】（1）求出的導數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解；（2）問題轉(zhuǎn)化為，，，令，求出的最大值，從而求出的范圍即得解【題目詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為，，①當時，，，，在定義域上單調(diào)遞增②當時，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞減綜上所述，當時，在定義域上單調(diào)遞增