2024屆陜西省漢中市南鄭區(qū)龍崗學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆陜西省漢中市南鄭區(qū)龍崗學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C， D.，2．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)圖象都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.3．在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中，若，，則（）A.9 B.3C. D.4．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l上有兩點(diǎn)A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C.或 D.6．繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體可能是（）A.圓臺(tái) B.圓臺(tái)或兩個(gè)圓錐的組合體C.圓錐或兩個(gè)圓錐的組合體 D.圓柱7．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則（）A.4 B.2C. D.9．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（-1，0）且斜率為的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A. B.14C. D.1510．下列各式正確的是（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，令.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.12．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A.8 B.16C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某河流上有一座拋物線形的拱橋，已知橋的跨度米，高度米（即橋拱頂?shù)交诘闹本€的距離）．由于河流上游降雨，導(dǎo)致河水從橋的基座處開始上漲了1米，則此時(shí)橋洞中水面的寬度為______米14．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光邊界類似雙曲線的一支.如圖，P為雙曲線的頂點(diǎn)，經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)，該雙曲線的漸近線相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，雙曲線的焦點(diǎn)位于直線PC上，則該雙曲線的焦距為____cm.15．若橢圓W：的離心率是，則m=___________.16．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，且，則的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.18．（12分）已知是等差數(shù)列，其n前項(xiàng)和為，已知（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知；.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知三棱柱中，面底面，，底面是邊長為的等邊三角形，，、分別在棱、上，且.（1）求證：底面；（2）在棱上找一點(diǎn)，使得和面所成角的余弦值為，并說明理由.21．（12分）如圖1所示，在四邊形ABCD中，，，，將△沿BD折起，使得直線AB與平面BCD所成的角為45°，連接AC，得到如圖2所示的三棱錐（1）證明：平面ABD平面BCD；（2）若三棱錐中，二面角的大小為60°，求三棱錐的體積22．（10分）已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，若對(duì)任意的正整數(shù)n成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槊}p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.2、B【解題分析】根據(jù)“拐點(diǎn)”的概念可判斷函數(shù)的對(duì)稱中心，進(jìn)而求解.【題目詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，故選：B.3、A【解題分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，結(jié)合條件即求.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由，，得，解得或，又單調(diào)遞減，故，.故選：A.4、B【解題分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可求得參數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題可知：對(duì)任意的，，都有恒成立，故可得對(duì)任意的，；又，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，則當(dāng)時(shí)，,.對(duì)任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故，則只需.故選：B.5、C【解題分析】分或（）兩種情況討論，由面積列方程即可求解【題目詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)或時(shí)，，解得，所以拋物線的方程是或.故選：C.6、C【解題分析】討論是按直角邊旋轉(zhuǎn)還是按斜邊旋轉(zhuǎn)【題目詳解】按直角邊選擇可得下圖圓錐：如果按直角邊旋轉(zhuǎn)可得下圖的兩個(gè)圓錐的組合體：故選：C7、A【解題分析】根據(jù)規(guī)律，總結(jié)通項(xiàng)公式，即可得答案.【題目詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項(xiàng)為，所以該數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式為故選：A8、B【解題分析】依題意可得，設(shè)，根據(jù)可得，，根據(jù)為拋物線上一點(diǎn)，可得.【題目詳解】依題意可得，設(shè)，由得，所以，，所以，，因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，所以，解得.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了求拋物線方程，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)拋物線的定義求出，然后將直線的方程代入拋物線方程并化簡，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.【題目詳解】設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義可知：.聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，.故選：C.10、C【解題分析】利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【題目詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤；故選：C11、D【解題分析】由已知條件推導(dǎo)出，．由此利用裂項(xiàng)求和法能求出【題目詳解】解：由，可得，解得，則.∴，故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題12、C【解題分析】畫出直觀圖，利用椎體體積公式進(jìn)行求解.【題目詳解】畫出直觀圖，為四棱錐A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE兩兩垂直，故體積為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】以橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，可得拋物線的方程，設(shè)水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為，求出，進(jìn)而可得水面的寬度.【題目詳解】以橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設(shè)河水上漲1米后，水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，得，所以此時(shí)橋洞中水面的寬度為米故答案為：14、【解題分析】建立直角坐標(biāo)系，利用代入法、雙曲線的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【題目詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)樵撾p曲線的漸近線相互垂直，所以，即，因?yàn)锳B=60cm，PC=20cm，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為：，代入，得：，因此有，所以該雙曲線的焦距為，故答案為：15、或【解題分析】按照橢圓的焦點(diǎn)在軸和在軸上兩種情況分別求解，可得所求結(jié)果【題目詳解】①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則有，由題意得，解得②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則有，由題意得，解得綜上可得或故答案為或【題目點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一個(gè)是注意分類討論思想方法的運(yùn)用，注意橢圓焦點(diǎn)所在的位置；二是解題時(shí)要分清橢圓方程中各個(gè)參數(shù)的幾何意義，然后再根據(jù)離心率的定義求解16、【解題分析】由雙曲線定義可得a，代入點(diǎn)P坐標(biāo)可得b，然后可解.【題目詳解】由題知，故，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）證明見解析【解題分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）要證，只要證，由于時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可【小問1詳解】的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】，，即證：，即證：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增綜上所述：，即18、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，結(jié)合已知條件，列出方程組，求得首項(xiàng)和公差，即可寫出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合裂項(xiàng)求和法，即可求得.【小問1詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，其n前項(xiàng)和為，已知，設(shè)其公差為，故可得：，，解得，又，故.【小問2詳解】由（1）知，，又，故.即.19、（1）；（2）.【解題分析】解不等式求得為真、為真分別對(duì)應(yīng)的解集；（1）由為真可得全真，兩解集取交集可得結(jié)果；（2）由和的真假性可得一真一假，則分為真假和假真兩種情況求得解集.【小問1詳解】若為真，則，即，即，所以或，若為真，則，所以，因?yàn)闉檎婷}，所以均為真命題.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】若為假命題，為真命題，則一真一假，若真假，則，解得或，若假真，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.20、（1）證明見解析；（2）為的中點(diǎn)，理由見解析.【解題分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，可得出，再由，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，求出的值，即可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，如圖：因?yàn)槿切问堑冗吶切?，所以，又因?yàn)槊娴酌?，平面平面，面，所以平面，又面，所以，又，，平面；?）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，在上找一點(diǎn)，其中，，，，設(shè)面的一個(gè)法向量，則，不妨令，則，和面所成角的余弦值為，則，解得或（舍），所以，為的中點(diǎn)，符合題意.21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）過作面，連接，結(jié)合題設(shè)易知，根據(jù)過面外一點(diǎn)在該面上垂線性質(zhì)知重合，再應(yīng)用面面垂直的判定證明結(jié)論.（2）面中過作，結(jié)合題設(shè)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)并確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求面、面法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)，最后由棱錐體積公式求體積.【小問1詳解】由題設(shè)，易知：△是等腰直角三角形，即，將△沿BD折起過程中使直線AB與平面BCD所成的角為45°，此時(shí)過作面，連接，如下圖示，所以，在△中，又且面，因?yàn)檫^平面外一點(diǎn)有且只有一條垂線段，故重合，此時(shí)面，又面，故平面ABD平面BCD；【小問2詳解】在平面中過作，由（1