山西省呂梁市臨縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

山西省呂梁市臨縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在正方體中中，，若點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，且點(diǎn)P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．過點(diǎn)，的直線的斜率等于2，則的值為（）A.0 B.1C.3 D.43．已知數(shù)列滿足，且，為其前n項(xiàng)的和，則（）A. B.C. D.4．設(shè)是空間一定點(diǎn)，為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是（）A.圓 B.直線C.平面 D.線段5．已知直線和平面，且在上，不在上，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.若，則存在無數(shù)條直線，使得B.若，則存在無數(shù)條直線，使得C.若存在無數(shù)條直線，使得，則D.若存在無數(shù)條直線，使得，則6．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則A. B.2C.3 D.7．已知點(diǎn)P(5，3，6)，直線l過點(diǎn)A(2，3，1)，且一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)P到直線l的距離為()A. B.C. D.8．以下說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變；②設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位③線性回歸方程必過④設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線性相關(guān)程度越高；⑤在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，那么的值越大，判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大。其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.39．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，，若△的面積為，則雙曲線C的實(shí)軸長為（）A.1 B.2C.4 D.610．已知圓，為圓外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，線段所掃過圖形的面積為（）A. B.C. D.11．已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A. B.C. D.12．設(shè)函數(shù)，則（）A.4 B.5C.6 D.7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)，滿足.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，等軸雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，由向雙曲線的漸近線作垂線，垂足分別為、，則四邊形的面積為______.15．已知圓被軸截得的弦長為4，被軸分成兩部分的弧長之比為1∶2，則圓心的軌跡方程為______，若點(diǎn)，，則周長的最小值為______16．在空間直角坐標(biāo)系中，向量為平面ABC的一個(gè)法向量，其中，，則向量的坐標(biāo)為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為，且，求的前n項(xiàng)和18．（12分）森林資源是全人類共有的寶貴財(cái)富，其在改善環(huán)境，保護(hù)生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮著重要的作用.2020年12月12日，主席在全球氣候峰會(huì)上通過視頻發(fā)表題為《繼往開來，開啟全球應(yīng)對(duì)氣候變化的新征程》的重要講話，宣布“到2030年，我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，某地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風(fēng)和發(fā)展經(jīng)濟(jì)的需要，每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設(shè)為自2021年開始，第年末的森林蓄積量.（1）請(qǐng)寫出一個(gè)遞推公式，表示二間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數(shù)；（3）為了實(shí)現(xiàn)本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標(biāo)，每年的砍伐量最大為多少萬立方米？（精確到1萬立方米）（可能用到的數(shù)據(jù)：，，）19．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若原點(diǎn)到直線的距離為，且，求直線的方程.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求在處的切線方程；（2）求的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).21．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)的值22．（10分）等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若滿足數(shù)列為遞增數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，先由，且點(diǎn)P到底面的距離為3，確定點(diǎn)P的位置，然后利用空間向量求解即可【題目詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，因?yàn)?所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P到底面的距離為3，所以，所以，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角的余弦值為，故選：A2、A【解題分析】利用斜率公式即求.【題目詳解】由題可得，∴.故選：A3、B【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【題目詳解】由題可知是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：B.4、C【解題分析】根據(jù)法向量的定義可判斷出點(diǎn)所構(gòu)成的圖形.【題目詳解】是空間一定點(diǎn)，為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件，所以，構(gòu)成的圖形是經(jīng)過點(diǎn)，且以為法向量的平面.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中動(dòng)點(diǎn)的軌跡，考查了法向量定義的理解，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】根據(jù)直線和直線，直線和平面的位置關(guān)系依次判斷每一個(gè)選項(xiàng)得到答案.【題目詳解】若，則平行于過的平面與的交線，當(dāng)時(shí)，，則存在無數(shù)條直線，使得，A正確；若，垂直于平面中的所有直線，則存在無數(shù)條直線，使得，B正確；若存在無數(shù)條直線，使得，，，則，C正確；當(dāng)時(shí)，存在無數(shù)條直線，使得，D錯(cuò)誤.故選：D.6、A【解題分析】利用正弦定理，可直接求出的值.【題目詳解】在中，由正弦定理得，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類型，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題7、B【解題分析】根據(jù)向量和直線l的方向向量的關(guān)系即可求出點(diǎn)P到直線l的距離.【題目詳解】由題意，，，，，，到直線的距離為.故選：B.8、C【題目詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均減少5個(gè)單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，故③正確；根據(jù)線性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大，故④不正確；對(duì)于觀察值來說，越大，“x與y有關(guān)系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查用樣本估計(jì)總體、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.9、C【解題分析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進(jìn)而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實(shí)軸長.【題目詳解】由題意知，點(diǎn)P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實(shí)軸長為，故選：C.10、D【解題分析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點(diǎn)的軌跡方程，分析可知線段所掃過圖形為是夾在圓和圓的圓環(huán)，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】連接、、，由圓的幾何性質(zhì)可知，，又因?yàn)榍?，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點(diǎn)的軌跡方程為，所以，線段掃過的圖形是夾在圓和圓的圓環(huán)，故在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，線段所掃過圖形的面積為.故選：D.11、D【解題分析】根據(jù)給定的方程求出離心率，的表達(dá)式，再計(jì)算判斷作答.【題目詳解】因橢圓的離心率為，則有，因雙曲線的離心率為，則有，所以.故選：D12、D【解題分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將x=1代入即可求得答案.【題目詳解】,故，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】利用基本不等式性質(zhì)可得的最小值，由恒成立可得即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)因?yàn)楹愠闪?，所以，解?故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案填：.【題目點(diǎn)撥】熟練掌握基本不等式的性質(zhì)和正確轉(zhuǎn)化恒成立問題是解題的關(guān)鍵.14、##【解題分析】求出雙曲線的方程，可求得雙曲線的兩條漸近線方程，分析可知四邊形為矩形，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式以及矩形的面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，則，，可得，所以，雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則，，，所以，四邊形為矩形，設(shè)點(diǎn)，則，不妨設(shè)點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，則，，所以，.故答案為：.15、①.②.【解題分析】設(shè)，圓半徑為，進(jìn)而根據(jù)題意得，，進(jìn)而得其軌跡方程為雙曲線，再根據(jù)雙曲線的定義，將周長轉(zhuǎn)化為求的最小值，進(jìn)而求解.【題目詳解】解：如圖1，因?yàn)閳A被軸截得的弦長為4，被軸分成兩部分的弧長之比為1∶2，所以，，所以中點(diǎn)，則，，所以，故設(shè)，圓半徑為，則，，，所以，即所以圓心的軌跡方程為，表示雙曲線，焦點(diǎn)為，，如圖2，連接，由雙曲線的定義得，即，所以周長為，因?yàn)?，所以周長的最小值為故答案為：；.16、【解題分析】根據(jù)向量為平面ABC的一個(gè)法向量，由求解.【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)橄蛄繛槠矫鍭BC的一個(gè)法向量，所以，解得，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合條件即求；（2）利用條件可得，然后利用錯(cuò)位相減法即求.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，由得，即，化簡(jiǎn)得，又，，成等比數(shù)列，則，即，將代入上式得，化簡(jiǎn)得，解得或－2（舍去），則，所以【小問2詳解】∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，則，所以，令，則，，∴，化簡(jiǎn)得綜上，的前n項(xiàng)和18、（1）；（2）.；（3）19萬立方米.【解題分析】（1）由題意得到；（2）若遞推公式寫成，則，再與遞推公式比較系數(shù)；（3）若實(shí)現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)，則，根據(jù)遞推公式，計(jì)算的最大值.【題目詳解】解：（1）由題意，得，并且.①（2）將化成，②比較①②的系數(shù)，得解得所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）因?yàn)?，且，所以，由?）可知，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式：，所以.到2030年底的森林蓄積量為該數(shù)列的第10項(xiàng)，即.由題意，森林蓄積量到2030年底要達(dá)到翻兩番的目標(biāo)，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：遞推公式求通項(xiàng)公式，有以下幾種方法：

型如：的數(shù)列的遞推公式，采用累加法求通項(xiàng)；

形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項(xiàng)；

形如：的遞推公式，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

形如：的遞推公式，兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式求通項(xiàng)公式；

形如：，可通過取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求通項(xiàng)公式.19、（1）；（2）.【解題分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，求出這三個(gè)量的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得出，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出，代入韋達(dá)定理求出、的值，由此可得出直線的方程.【題目詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線斜率不存在，則直線過原點(diǎn)，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，設(shè)直線方程為，設(shè)、，原點(diǎn)到直線的距離為，，即①.聯(lián)立直線與橢圓方程可得，則，則，由韋達(dá)定理可得，.，則為線段的中點(diǎn)，所以，，，得，，所以，，整理可得，解得，即，，因此，直線的方程為或.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.20、（1）；（2）極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn).【解題分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)即可【小問1詳解】函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，在處的切線方程：，即【小問2詳解】令，，解得，當(dāng)時(shí)，可得，即的單調(diào)遞減區(qū)間，或，可得，∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，，的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)21、（1）；（2）.【解題分析】（1）由短軸長得，由離心率處也的關(guān)系，從而可求得，得橢圓方程；（2）設(shè)，，直線的方程為，代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，由弦長公式得弦長，求出原點(diǎn)到直