2024屆廣東省-北京師范大學東莞石竹附屬學校數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆廣東省-北京師范大學東莞石竹附屬學校數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設F是雙曲線的左焦點，，P是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（）A.5 B.C. D.92．直線的傾斜角是A. B.C. D.3．已知橢圓的右焦點為F，短軸的一個端點為P，直線與橢圓相交于A、B兩點.若，點P到直線l的距離不小于，則橢圓C離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知：，：，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．如圖，四棱錐的底面是矩形，設，，，是棱上一點，且，則（）A. B.C. D.6．過兩點和的直線的斜率為（）A. B.C. D.7．某海關緝私艇在執(zhí)行巡邏任務時，發(fā)現(xiàn)其所在位置正西方向20nmile處有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏東30°的方向逃竄，若緝私艇突然發(fā)生機械故障，20min后才以的速度開始追趕，則在走私船只不改變航向和速度的情況下，緝私艇追上走私船只的最短時間為（）A.1h B.C. D.8．如圖，在四面體OABC中，，，，點在線段上，且，為的中點，則等于（）A. B.C. D.9．曲線的一個焦點F到兩條漸近線的垂線段分別為FA，F(xiàn)B，O為坐標原點，若四邊形OAFB是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A. B.C.2 D.10．已知，若，則（）A. B.2C. D.e11．關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為A. B.C. D.12．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y滿足約束條件，則的最大值為_________14．已知直線與直線平行，則直線，之間的距離為__________.15．若，則__________16．平面內n條直線兩兩相交，且任意三條直線不過同一點，將其交點個數(shù)記為，若規(guī)定，則，，_________，_________，（用含n的式子表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.18．（12分）已知橢圓C：的左右焦為，，點是該橢圓上任意一點，當軸時，，（1）求橢圓C的標準方程；（2）記，求實數(shù)m的最大值19．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點為，，，離心率為（1）求橢圓標準方程（2）的左頂點為，過右焦點的直線交橢圓于，兩點，記直線，，的斜率分別為，，，求證：20．（12分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求21．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因為影片中母女間的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內心柔軟的地方，打動了萬千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動的淚水．影片結束后，某電影院工作人員當日隨機抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計流淚20沒有流淚520合計（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，22．（10分）已知函數(shù).（1）求的單調區(qū)間；（2）討論的零點個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由雙曲線的的定義可得，于是將問題轉化為求的最小值，由得出答案.【題目詳解】設雙曲線的由焦點為，且點A在雙曲線的兩支之間.由雙曲線的定義可得,即所以當且僅當三點共線時，取得等號.故選：B2、D【解題分析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【題目詳解】因為直線的斜率為所以其傾斜角為故選：D3、D【解題分析】設橢圓的左焦點為，由題可得，由點P到直線l的距離不小于可得，進而可求的范圍，即可得出離心率范圍.【題目詳解】設橢圓的左焦點為，P為短軸的上端點，連接，如圖所示：由橢圓的對稱性可知，A，B關于原點對稱，則，又，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，解得：，點P到直線l距離：，解得：，即，∴，∴.故選：D.【題目點撥】關鍵點睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題的關鍵是由橢圓定義得出，再根據(jù)已知條件得出.4、C【解題分析】由是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件，再根據(jù)對應集合的包含關系可得答案.【題目詳解】由，即，設,由是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件所以，則故選：C5、B【解題分析】根據(jù)空間向量基本定理求解【題目詳解】由已知故選：B6、D【解題分析】應用兩點式求直線斜率即可.【題目詳解】由已知坐標，直線的斜率為.故選：D7、A【解題分析】設小時后，相遇地點為，在三角形中根據(jù)題目條件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【題目詳解】以緝私艇為原點，建立如下圖所示的直角坐標系.圖中走私船所在位置為，設緝私艇追上走私船的最短時間為，相遇地點為.則，走私船以的速度向北偏東30°的方向逃竄，60°.因為20min后緝私艇才以的速度開始追趕走私船，所以20min走私船行走了，到達.在三角形中，由余弦定理知：，則，所以.在三角形中，，，有：，化簡得：，則.緝私艇追上走私船只的最短時間為1h.故選：A.點睛】8、D【解題分析】利用空間向量的加法與減法可得出關于、、的表達式.【題目詳解】.故選：D.9、A【解題分析】依題意可得為正方形，即可得到，從而得到雙曲線的漸近線為，即可求出雙曲線的離心率；【題目詳解】解：依題意，，且四邊形為菱形，所以為正方形，所以，即雙曲線的漸近線為，即，所以；故選：A10、B【解題分析】求得導函數(shù)，則，計算即可得出結果.【題目詳解】,.,解得：.故選：B11、B【解題分析】設，解集為所以二次函數(shù)圖像開口向下，且與交點為，由韋達定理得所以的解集為，故選B.12、B【解題分析】根據(jù)已知條件求得以及，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，即可求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【題目詳解】因為，故可得，則，又，令，解得，令，解得，故在單調遞減，在單調遞增，又，故在區(qū)間上的最小值為.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】根據(jù)題意，畫出可行域，找出最優(yōu)解，即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意，不等式組所表示的可行域如圖陰影部分，由圖易知，取最大值的最優(yōu)解為，故.故答案為：314、【解題分析】利用直線平行與斜率之間的關系、點到直線的距離公式即可得出【題目詳解】解：因為直線與直線平行，所以，解得，當時，，，則故答案為：【題目點撥】熟練運用直線平行與斜率之間的關系、點到直線的距離公式，是解題關鍵15、【解題分析】分別令和，再將兩個等式相加可求得的值.【題目詳解】令，則；令，則.上述兩式相加得故答案為：.【題目點撥】本題考查偶數(shù)項系數(shù)和的計算，一般令和，通過對等式相加減求得，考查計算能力，屬于中等題.16、①.6；②..【解題分析】利用第條直線與前條直線相交有個交點得出與的關系后可得結論【題目詳解】第4條直線與前三條直線有3個交點，因此，同理，由此得到第條直線與前條直線相交有個交點，所以，即所以故答案為：6；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）先證，，再證平面即可；（2）建立空間直角坐標系，先求出面與面的法向量，再計算夾角余弦值即可.小問1詳解】取中點，連接，則四邊形為平行四邊形，，為直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小問2詳解】，為等邊三角形，取中點，連接，則，以為坐標原點，分別以為軸建立空間坐標系，如圖令，則，設面的法向量為，則由得取，則設面的法向量為，則由得取，則設面與面的夾角為，則所以面與面的夾角的余弦值為.18、（1）（2）【解題分析】（1）利用橢圓的定義及勾股定理可求解；（2）問題轉化為在軸截距的問題，臨界條件為直線與橢圓相切，求解即可.【小問1詳解】因為，，所以，∴，所以橢圓標準方程為：【小問2詳解】要求的最值，即求直線在軸截距的最值，可知當直線與橢圓相切時，m取得最值.聯(lián)立方程：，整理得，解得所以實數(shù)m的最大值為19、（1）；（2）證明見解析【解題分析】(1)由可求出，結合離心率可知，進而可求出，即可求出標準方程.(2)由題意知，，則由直線的點斜式方程可得直線的解析式為，與橢圓進行聯(lián)立，設，，結合韋達定理可得，從而由斜率的計算公式對進行整理化簡從而可證明.【題目詳解】（1）解：因為，所以．又因為離心率，所以，則，所以橢圓的標準方程是（2）證明：由題意知，，，則直線的解析式為，代入橢圓方程，得設，，則．又因為，，所以【題目點撥】關鍵點睛:本題第二問的關鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程后，結合韋達定理，用表示交點橫坐標的和與積，從而代入進行整理化簡.20、（1）（2）9【解題分析】（1）根據(jù)題意列出關于等比數(shù)列首項、公比的方程組即可解決；（2）利用等比數(shù)列的前項和的公式，解方程即可解決.【小問1詳解】設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列首項為，公比為則有，解之得則等比數(shù)列的通項公式.【小問2詳解】由，可得21、（1）填表見解析；有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關；（2）【解題分析】（1）由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表，然后計算可得結論；（2）根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒有流淚的觀眾人數(shù)并編號，用列舉法寫出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流淚的基本事件，計數(shù)后可計算概率【題目詳解】解：（1）男性觀眾女性觀眾合計流淚206080沒有流淚15520合計3565100所以有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，則流淚的觀眾抽到人，記為，，，，沒有流淚的觀眾抽到人，記為從這5人中抽2人有10種情況，分別是，，，，，，，，，其中這2人都流淚有6種情況，分別是，，，，，所以所求概率22、（1）單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是（2）時，有1個零點；或時，有2個零點；時，有3個零點.【解題分析】（1）求解函數(shù)的導