安徽省安慶二中碧桂園分校2024年數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題含解析

安徽省安慶二中碧桂園分校2024年數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列推理中屬于歸納推理且結論正確的是（）A.由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和B.由滿足對都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由半徑為的圓的面積，推斷單位圓的面積D.由，，，…，推斷：對一切，2．已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A. B.C. D.3．若展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為（）A. B.C. D.4．試在拋物線上求一點，使其到焦點的距離與到的距離之和最小，則該點坐標為A. B.C. D.5．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.6．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.257．已知方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.C. D.8．在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則（）A.5 B.6C.7 D.89．下列函數(shù)求導錯誤的是（）A.B.C.D.10．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點與兩定點的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點為軸上一點，定點的坐標為，若點，則的最小值為（）A. B.C. D.11．△ABC兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.12．在正三棱錐S?ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且，若側棱，則正三棱錐S?ABC外接球的表面積是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線上一點到其焦點的距離為，則的值為______14．命題“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定為____________.15．已知圓：，：.則這兩圓的連心線方程為_________（答案寫成一般式方程）16．已知雙曲線的左焦點為F，點P在雙曲線右支上，若線段PF的中點在以原點O為圓心，為半徑的圓上，且直線PF的斜率為，則該雙曲線的離心率是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知三棱柱的側棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19．（12分）橢圓的離心率為，設為坐標原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當直線的傾斜角為時，（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由20．（12分）已知拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，直線交拋物線E于兩點（1）求E的方程；（2）若以BC為直徑的圓過原點O，求直線l的方程21．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，且E上一點P到F的最大距離3（1）求橢圓E的方程；（2）若A，B為橢圓E上的兩點，線段AB過點F，且其垂直平分線交x軸于H點，，求22．（10分）為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品隨機抽取了一個容量為200的樣本，測量它們的尺寸（單位：），數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求200件樣本中尺寸在內的樣本數(shù)；（2）記產(chǎn)品尺寸在內為等品，每件可獲利6元；產(chǎn)品尺寸在內為不合格品，每件虧損3元；其余的為合格品，每件可獲利4元.若該機器一個月共生產(chǎn)2000件產(chǎn)品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤未能達到9000元，則需要對該工廠設備實施升級改造.試判斷是否需要對該工廠設備實施升級改造.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據(jù)歸納推理是由特殊到一般，推導結論可得結果.【題目詳解】對于A，由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和，是由特殊推導出一般性的結論，且，故A正確；B和C屬于演繹推理，故不正確；對于D，屬于歸納推理，但時，結論不正確，故D不正確.故選：A.2、D【解題分析】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關系，即得離心率.詳解：因為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據(jù)的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.3、C【解題分析】利用二項式系數(shù)的性質求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結果即可.【題目詳解】解：因為展開式的二項式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：C.4、A【解題分析】由題意得拋物線的焦點為，準線方程為過點P作于點，由定義可得,所以，由圖形可得，當三點共線時，最小，此時故點的縱坐標為1，所以橫坐標．即點P的坐標為．選A點睛：與拋物線有關的最值問題的解題策略該類問題一般解法是利用拋物線的定義，實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉化(1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中的垂線段最短”解決5、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式直接得出結果.【題目詳解】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B6、B【解題分析】設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)求得，從而可得出答案.【題目詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，則，所以，則.故選：B.7、A【解題分析】根據(jù)雙曲線標準方程的性質，列出關于不等式，求解即可得到答案【題目詳解】由雙曲線的性質：，解的或，故選：A8、B【解題分析】當n為偶數(shù)時，展開式中第項二項式系數(shù)最大，當n為奇數(shù)時，展開式中第和項二項式系數(shù)最大.【題目詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：B9、C【解題分析】每一個選項根據(jù)求導公式及法則來運算即可判斷.【題目詳解】對于A，，正確；對于B，，正確；對于C，，不正確；對于D，，正確.故選：C10、D【解題分析】設，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標求出即可.【題目詳解】設，，所以，由，所以，因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值，當M在位置或時等號成立.故選：D11、D【解題分析】根據(jù)三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【題目詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【題目點撥】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎題.12、A【解題分析】由題意推出平面，即平面，，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的體積【題目詳解】∵，分別為棱，的中點，∴，∵三棱錐為正棱錐，作平面，所以是底面正三角的中心，連接并延長交與點，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因為S?ABC是正三棱錐。所以，以，，為從同一定點出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補成以正方體，則它們有相同的外接球，正方體的體對角線就是球的直徑，，所以.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】將拋物線方程化為標準方程，利用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，再利用點到直線的距離公式進行求解.【題目詳解】將拋物線化為，由拋物線定義得點到準線的距離為，即，解得故答案為：.14、【解題分析】根據(jù)還有一個量詞的命題的否定的方法解答即可.【題目詳解】命題“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定為“”.故答案為：.15、【解題分析】求出兩圓的圓心坐標，再利用兩點式求出直線方程，再化成一般式即可【題目詳解】解：圓，即，兩圓的圓心為：和，這兩圓的連心線方程為：，即故答案為：16、3【解題分析】如圖利用條件可得，，然后利用雙曲線的定義可得，即求.【題目詳解】如圖設雙曲線的右焦點為，線段PF的中點為M，連接，則，又直線PF的斜率為，∴在直角三角形中，，∴，∴，即，∴.故答案：3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，根據(jù)題意，列出方程，即可求得公差以及通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，結合等差數(shù)列的前項和的公式，求得，以及，再利用等比數(shù)列的前項和公式求得.【小問1詳解】因為，所以，故可得，所以.【小問2詳解】因為，所以.于是，令，則.顯然數(shù)列是等比數(shù)列，且，公比，所以數(shù)列的前n項和.18、(1)見解析;(2).【解題分析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點為原點建立空間直角坐標系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個平面的法向量，利用兩個向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系.根據(jù)條件容易求出如下各點坐標：，，，，，，，.（Ⅰ）證明：∵，，是平面的一個法向量，且，所以.又∵平面，∴平面；（Ⅱ）設是平面的法向量，因為，，由，得.解得平面的一個法向量，由已知，平面的一個法向量為，，∴二面角的余弦值是.點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解題分析】（1）分析可知，，直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標準方程；（2）設點、，設直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點、，由已知得出，求出的值，即可得出結論.【小問1詳解】解：因為，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點，則點，當直線的傾斜角為時，直線的方程為，設點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：易知點，若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的兩個端點，不合乎題意.設直線的方程為，設點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點，同理可得點，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設條件的直線，且直線的方程為或，點總在以線段為直徑的圓上.【題目點撥】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.20、（1）；（2）.【解題分析】(1)利用橢圓的焦點與拋物線的焦點相同，列出方程求解即可(2)設，、，，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理，通過，求出，得到直線方程【小問1詳解】由題意知：，，∴的方程是【小問2詳解】設，、，，由題意知，由，得，∴，，，∵以為直徑的圓過點，∴，即，∴，解得，∴直線的方程是21、（1）；（2）【解題分析】（1）根據(jù)離心率和最大距離建立等式即可求解；（2）根據(jù)弦長，求出直線方程，解出點的坐標即可得解.【題目詳解】（1）橢圓的離心率為，右焦點為F，且E上一點P到F的最大距離3，所以，所以，所以橢圓E的方程；（2）A，B為橢圓E上的兩點，線段AB過點F，且其垂直平分線交x軸于H點，所以線段AB所在直線斜率一定存在，所以設該直線方程代入，整理得：，設，，，整理得：，當時，線段中點坐標，中垂線方程：，；當時，線段中點坐標，中垂線方程：，，綜上所述：.22、（1）件；（2）需要對該工廠設備實施升級改造.【解題分析】（1）根據(jù)評論分布直方圖面積之和為1列等式計算得，用200乘以內頻率即可得出答案；（2）根據(jù)題意計算等品件，不合格品有件，進而得合格品有件，根據(jù)題意計算其利潤與9000比較判定需