理論力學(xué)十四虛位移原理

理論力學(xué)十四虛位移原理第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一廣義坐標(biāo)與自由度yxOlA(x,y)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab廣義坐標(biāo)

——確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一廣義坐標(biāo)

——確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變。用q1，q2，…表示。自由度

——在完整約束條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。對(duì)于穩(wěn)定的完整約束，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫(xiě)成廣義坐標(biāo)的函數(shù)形式N=3n—s第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一做變換其中是廣義坐標(biāo)?？紤]如圖所示不計(jì)摩擦的二自由度系統(tǒng)，參數(shù)定義坐標(biāo)后，可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程：可得解耦的等價(jià)系統(tǒng)：它有更清晰的物理意義。第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一約束——物體運(yùn)動(dòng)所受到的限制1.

幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束yxOAA0l幾何約束在質(zhì)點(diǎn)系中，幾何約束只能限制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置或質(zhì)點(diǎn)系的位形。擺§14-1約束·虛位移·虛功第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一運(yùn)動(dòng)約束在質(zhì)點(diǎn)系中，所加的約束不僅限制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，還限制它們運(yùn)動(dòng)的速度。OyxAxByBxAyABvA圓輪只滾動(dòng)不滑動(dòng)的約束導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方向的約束COyxC*第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.

定常約束與非定常約束定常約束－約束方程中不顯含時(shí)間的約束：非定常約束－約束方程中顯含時(shí)間的約束：yxvOM第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.

單側(cè)約束與雙側(cè)約束雙側(cè)約束（固執(zhí)約束）——約束方程可以寫(xiě)成等式的約束。單側(cè)約束（非固執(zhí)約束）——約束方程不能寫(xiě)成等式、但是可以寫(xiě)成不等式的約束。BByxOyxO雙側(cè)約束單側(cè)約束第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一yxOyxOAAA0lA0l雙側(cè)約束單側(cè)約束第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.

完整約束與非完整約束完整約束

——約束方程不包含質(zhì)點(diǎn)速度，或者包含質(zhì)點(diǎn)速度但約束方程是可以積分的約束。非完整約束

——約束方程包含質(zhì)點(diǎn)速度、且約束方程不可以積分的約束。第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一約束方程不可積分，所以導(dǎo)彈所受的約束為非完整約束。圓輪所受約束為完整約束。COyxC*OyxAxByBxAyABvA可以積分為：第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一虛位移xyOBAMF質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí)，為約束所允許的無(wú)限小位移——虛位移（1）虛位移是假定約束不改變而設(shè)想的位移；（2）虛位移不是任何隨便的位移，它必須為約束所允許；（3）虛位移是一個(gè)假想的位移，它與實(shí)位移不同；（4）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一虛位移與實(shí)位移的區(qū)別和聯(lián)系（1）在完整定常約束下，實(shí)位移是諸多虛位移中的一個(gè)；MM1drdrerdr——實(shí)位移

r——虛位移實(shí)位移——質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在其真實(shí)運(yùn)動(dòng)中，在一定的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的位移。（2）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一虛功質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功——虛功。

W=F·

r理想約束質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的約束反力在虛位移上所作的虛功等于零，我們把這種約束系統(tǒng)稱(chēng)為理想約束。

W=M·

∑FNi·

ri

=0第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一FiFNim1m2mi

riFi——主動(dòng)力FNi——約束反力

ri——虛位移Fi+FNi=0Fi·

ri+FNi·

ri

=0∑Fi·

ri+∑FNi·

ri

=0∑FNi·

ri

=0

∑Fi·

ri=0對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零——虛位移原理§14-2虛位移原理第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一

∑Fi·

ri=0上式稱(chēng)為虛位移原理的解析表達(dá)式應(yīng)用虛位移原理解題時(shí)，主要是建立虛位移間的關(guān)系，通常采用以下方法：（1）通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，直接找出虛位移間的幾何關(guān)系；（2）建立坐標(biāo)系，選廣義坐標(biāo)，然后仿照函數(shù)求微分的方法對(duì)坐標(biāo)求變分，從而找出虛位移（坐標(biāo)變分）間的關(guān)系。第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一已知：OA=r

,AB=l,不計(jì)各桿質(zhì)量。求：平衡時(shí)F與M間的關(guān)系。BAO解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象

∑Fi·

ri=0由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：MF例14-1第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一CBADM已知：菱形邊長(zhǎng)為a

,求：物體C所受到的壓力。螺距為h，頂角為2

，主動(dòng)力偶為M.FNrArC解：

(1)取系統(tǒng)為研究對(duì)象(2)建立虛位移間的關(guān)系例14-2第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一xyCBADMFN解法二：取建立圖示坐標(biāo)系第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一rCOABCDPQ圖示操縱汽門(mén)的杠桿系統(tǒng)，已知OA/OB=1/3，求此系統(tǒng)平衡時(shí)主動(dòng)力P和Q間的關(guān)系。rBrA解：

(1)取系統(tǒng)為研究對(duì)象由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：例14-3第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一圖示系統(tǒng)中除連接H點(diǎn)的兩桿長(zhǎng)度為l外,其余各桿長(zhǎng)度均為2l,彈簧的彈性系數(shù)為k,當(dāng)未加水平力P時(shí)彈簧不受力，且

=0

，求平衡時(shí)水平力P的大小。解：

(1)建立圖示坐標(biāo)系(2)系統(tǒng)的虛功方程例14-4第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一(2)系統(tǒng)的虛功方程第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一求圖示連續(xù)梁的支座反力。PMqll2lABCD解：

(1)解除D處約束，代之以反力FD，并將其視為主動(dòng)力。PMqABCDFDsEsD其中解得例14-5第二十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一(2)解除B處約束，代之以反力FB，并將其視為主動(dòng)力。FBsBsCPMqABCD其