理論力學(xué)空間力系

理論力學(xué)空間力系第一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一工程實(shí)際中的空間力系問題第二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一工程實(shí)際中的空間力系問題第三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一實(shí)際工程中，絕大多數(shù)結(jié)構(gòu)所受力系的作用線往往不在同一平面內(nèi)，構(gòu)成了空間力系，空間力系是最一般的力系。第四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一3.1空間力的投影及其分解若已知力與正交坐標(biāo)系Oxyz三軸間夾角,則用直接投影法(一次投影法)yxzFFxFyFzikjO第五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)力與坐標(biāo)軸Ox、Oy間的夾角不易確定時(shí),可把力F先投影到坐標(biāo)平面Oxy上,得到力矢量Fxy,然后再把這個(gè)力投影到x、y軸上,這叫間接投影法(二次投影法)。yxzFFxFyFzgO第六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一空間力的分解yxzFFxFyFzikjO第七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一3.2力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩3.2.1力矩矢rxyzOFA(x,y,z)B空間力對(duì)點(diǎn)的矩要考慮三個(gè)方面:力矩的大小、指向和力矩作用面方位。這三個(gè)因素可用一個(gè)矢量MO(F)表示。其模表示力矩的大小(Fh);指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向(符合右手螺旋法則);方位表示力矩作用面的法線。MO(F)h以r表示力作用點(diǎn)A的矢徑第八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一3.2.1力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示－力矩矢這樣,在圖示坐標(biāo)系中有xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik第九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一3.2.1力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示－力矩矢力矩矢MO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik第十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一FzFxFy3.2.2力對(duì)軸的矩第十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一3.2.2力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力在垂直于該軸平面上的投影對(duì)于軸與平面交點(diǎn)的矩。即:第十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一符號(hào)規(guī)定：從z軸正向往負(fù)向看，若力使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正號(hào)，反之取負(fù)。也可按右手螺旋法則確定其正負(fù)號(hào)。第十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一由定義可知：當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面)時(shí)，力對(duì)軸的矩等于零。當(dāng)力沿作用線移動(dòng)時(shí)，它對(duì)于軸的矩不變。第十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一3.2.3力對(duì)軸之矩的解析表達(dá)式xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy設(shè)力F沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為Fx,Fy,Fz,力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y,z),則同理可得其它兩式。故有第十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一比較力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式得即:力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。3.2.4力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系第十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一例3-1求力F在三軸上的投影和對(duì)三軸的矩。解:yxzFjqbcaFxyFxFyFz第十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一3.3空間力偶系FF'ABdOrBrArBA3.3.1力偶矩矢力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng),可用力偶矩矢來度量,即用力偶中兩個(gè)力對(duì)空間某點(diǎn)之矩的矢量和來度量。表明力偶對(duì)空間任意點(diǎn)的矩與矩心位置無關(guān),以記號(hào)M(F,F')或M表示力偶矩矢,則第十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一力偶矩矢為一自由矢量。FF'3.3空間力偶系MFABdOrBrArBAdBACF'第十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一3.3空間力偶系3.3.2空間力偶等效定理FF'FF'空間力偶的等效條件是:兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等。力偶由一個(gè)平面平行移至剛體另一個(gè)平行平面不影響它對(duì)剛體的作用效果。第二十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個(gè)合力偶,合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即:3.3空間力偶系3.3.3空間力偶系的合成證明:略第二十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一根據(jù)合矢量投影定理:于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定:3.3空間力偶系第二十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一空間力偶系可以合成一合力偶,所以空間力偶系平衡的必要與充分條件是:合力偶矩矢等于零。即:因?yàn)?所以:上式即為空間力偶系的平衡方程。3.3空間力偶系3.3.4空間力偶系的平衡第二十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一空間力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化可得到一空間匯交力系和一空間力偶系,如圖。FnF1F2yzxOF'1F'nF'2MnM2M1zyxOMOF'ROxyz＝＝3.4.1空間任意力系的簡(jiǎn)化3.4空間任意力系的簡(jiǎn)化第二十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一空間匯交力系可合成一合力F'R:力系中各力的矢量和稱為空間力系的主矢。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)。3.4.1空間任意力系的簡(jiǎn)化MOF'ROxyz空間力偶系可合成為一合力偶,其矩矢MO:力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩矢的矢量和稱為力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。主矩與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。第二十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一主矢的大小和方向?yàn)?或第二十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一根據(jù)合力矩定理,得到主矩在三個(gè)方向的投影為:于是主矩的大小和方向可由下式確定:3.4空間任意力系的簡(jiǎn)化第二十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一3.4.2空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析空間任意力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果可能出現(xiàn)四種情況:(1)F'R＝0,MO≠0;(2)F'R

≠

0,MO

＝

0;(3)F'R≠

0,MO≠0;(4)F'R＝0,MO＝

0第二十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一

1)空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力偶的情形F'R＝0,MO≠0簡(jiǎn)化結(jié)果為一個(gè)與原力系等效的合力偶,其合力偶矩矢等于對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。此時(shí)力偶矩矢與簡(jiǎn)化中心位置無關(guān)。

F'R

≠

0,MO＝

0這時(shí)得一與原力系等效的合力,合力的作用線過簡(jiǎn)化中心O,其大小和方向等于原力系的主矢。3.4.2空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析2)空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力的情形第二十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一

這時(shí)亦得一與原力系等效的合力,其大小和方向等于原力系的主矢。3.4.2空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析

F'R

≠

0,MO≠0,且F'R⊥MOMOF'ROF'RF"RFROO'dFROO'＝＝第三十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一F'R≠

0,MO≠0,且F'R∥MO＝MOF'ROOF'R3)空間任意力系簡(jiǎn)化為力螺旋的情形3.4.2空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析此時(shí)無法進(jìn)一步合成,這就是簡(jiǎn)化的最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直的情形稱為力螺旋。F'R與MO同方向時(shí),稱為右手螺旋;F'R與MO反向時(shí),稱為左手螺旋。圖示為一右手螺旋。第三十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一第三十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一F'R

≠

0,MO≠0,同時(shí)兩者既不平行,又不垂直,此時(shí)可將MO分解為兩個(gè)分力偶M"O和M'O,它們分別垂直于F'R和平行于F'R,則M"O和F'R可用作用于點(diǎn)O'的力FR來代替,最終得一通過點(diǎn)O'的力螺旋。MOF'RqOM"OF'ROM'OFROO'M'O＝＝3.4.2空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析第三十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一F'R＝0,MO＝

0==>空間任意力系平衡的必要與充分條件為:力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零,且各力對(duì)三個(gè)軸之矩的代數(shù)和也等于零。上式即為空間任意力系的平衡方程。3.5空間任意力系的平衡第三十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一不失一般性，假定取z軸與各力平行，如右圖所示，則空間任意力系的6個(gè)平衡方程中有3個(gè)恒為零，即因而空間平行力系的平衡方程只有下面的3個(gè)xyzOF1F2F3Fn分析:空間平行力系的平衡方程第三十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一空間約束類型第三十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一第三十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一例3-2

扒桿如圖所示，立柱AB用BG和BH兩根纜風(fēng)繩拉住，并在點(diǎn)A用球鉸約束，G、A、H在地面上，臂桿的D端懸吊的重物重P=20kN。求兩繩的拉力和支座A的約束力。第三十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)系。列平衡方程如下：第三十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一聯(lián)立求解得：第四十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一例題3-3

如圖所示三輪小車，自重P=8kN，作用于點(diǎn)E，載荷F1=10kN，作用于點(diǎn)C。求小車靜止時(shí)地面對(duì)車輪的約束力。第四十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一以小車為研究對(duì)象，主動(dòng)力和約束力組成空間平行力系，受力分析如圖。列平衡方程解：第四十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一解方程得第四十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一例3-4

一車床的主軸如圖所示,齒輪C半徑為100mm,卡盤D夾住一半徑為50mm的工件,A為向心推力軸承,B為向心軸承。切削時(shí)工件等速轉(zhuǎn)動(dòng),車刀給工件的力Fx＝466N、Fy＝352N、Fz＝1400N,齒輪C在嚙合處受力為Q,作用在齒輪C的最低點(diǎn)，壓力角a＝20°。不考慮主軸及其附件的質(zhì)量,試求Q的大小及A、B處的約束力。FxFzFy第四十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一AFAxFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200100解:取主軸及工件為研究對(duì)象。向心軸承B的約束反力為FBx和FBz,止推軸承A處約束反力有FAx、FAy、FAz,其中FAy起止推作用。主軸共受九個(gè)力作用,是空間一般力系。Q第四十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一AFAxFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200100Q第四十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一AFAxFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200100Q第四十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一3.4.1平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通過的一個(gè)點(diǎn)。平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān),而與各平行力的方向無關(guān)。稱該點(diǎn)為此平行力系的中心。3.4重心F1FRF2yzxOACBr1rCr2第四十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一由合力矩定理：如果令F0是力作用線方向的單位矢量則將上式代入（1）式得（1）F1FRF2yzxOACBr1rCr2第四十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一通常采用投影式求出直角坐標(biāo)分量去掉F0這個(gè)單位矢量F1FRF2yzxOACBr1rCr2第五十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力,如果將物體看作由無數(shù)的質(zhì)點(diǎn)組成,則重力便構(gòu)成空間匯交力系。3.4.2重心由于物體的尺寸比地球小得多,因此可近似地認(rèn)為重力是個(gè)平行力系,這力系的合力就是物體的重量。不論物體如何放置,其重力的合力的作用線相對(duì)于物體總是通過一個(gè)確定的點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)稱為物體的重心。第五十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一對(duì)于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿,其重心坐標(biāo)分別為:3.4.2重心均質(zhì)物體的重心就是幾何中心,即形心。均質(zhì)物體均質(zhì)板均質(zhì)桿第五十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一3.4.3