2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)能力培優(yōu)競賽試題精選專練復(fù)數(shù)素質(zhì)能力提高競賽綜合測試含解析

Page1高一復(fù)數(shù)素質(zhì)能力提高競賽綜合測試第I卷（選擇題）一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)等差數(shù)列，首項(xiàng)．設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根為．若存在唯一的，使得，則公差的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，再分和分別求解可得，再根據(jù)與的關(guān)系，逐個(gè)選項(xiàng)代入判斷即可【詳解】已知方程為一元二次方程，則．首先計(jì)算方程的根的判別式，并進(jìn)行分類討論．第一種情況，若，即，則，解得．第二種情況，若，即，則，解得，故綜合上述兩種情況，才能滿足不等式成立．而．若，則均符合要求；若，則僅有符合要求；若，則均符合要求；若則沒有符合要求的項(xiàng)；故選：B2．已知是關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根，則（

）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)的兩個(gè)虛根互為共軛復(fù)數(shù)及韋達(dá)定理即可求解.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根，所以關(guān)于的方程的另一個(gè)根為，由韋達(dá)定理，得，解得，或（舍），所以.故選：A.3．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并給出以下公式，（其中是虛數(shù)單位，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），這個(gè)公式在復(fù)變論中有非常重要的地位，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式，有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件的公式及誘導(dǎo)公式，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算后即可求解.【詳解】對(duì)于A，，所以，故A不正確；對(duì)于B，，，所以，故B正確；對(duì)于C，，，所以，故C不正確；對(duì)于D，，故D不正確.故選：B.4．已知復(fù)數(shù)，滿足，，（其中i是虛數(shù)單位），則的最大值為（

）A．3 B．5 C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化橢圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最大值即可【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)分別在，的橢圓，方程為；復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為圓心在，半徑為2的圓，方程為，即為橢圓上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離.的最大值即為點(diǎn)到圓心的距離的最大值加半徑.設(shè).所以.故選：B5．已知復(fù)數(shù)滿足為負(fù)實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，再根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求解即可.【詳解】設(shè)，則為負(fù)實(shí)數(shù)，不妨設(shè)，則，則，，因?yàn)椋?又為純虛數(shù)，則為純虛數(shù)，設(shè)，則，故，解得.故，結(jié)合可得，故，.故選：C6．已知是方程的虛數(shù)根，則（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)有且，將目標(biāo)式化簡為，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，且，而，所以原式等于.故選：C7．復(fù)數(shù)z與點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)，為兩個(gè)給定的復(fù)數(shù)，，則決定的Z的軌跡是（）A過的直線A．線段的中垂線 B．雙曲線的一支C．以為端點(diǎn)的圓【答案】A【詳解】試題分析：由復(fù)數(shù)的幾何意義可知點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離為，點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離為，因此點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離，點(diǎn)Z在線段的中垂線上，答案選A.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義8．關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程和有四個(gè)不同的根，若這四個(gè)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)共圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件分別設(shè)四個(gè)不同的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為ABCD，討論根的判別式，根據(jù)圓的對(duì)稱性得到相應(yīng)判斷.【詳解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解為，設(shè)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)分別為A，B，得A（2，1），B（2，﹣1），設(shè)x2+2mx+m＝0的解所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)分別為C，D，記為C（x1，y1），D（x2，y2），（1）當(dāng)△＜0，即0＜m＜1時(shí)，的根為共軛復(fù)數(shù)，必有C、D關(guān)于x軸對(duì)稱，又因?yàn)锳、B關(guān)于x軸對(duì)稱，且顯然四點(diǎn)共圓；（2）當(dāng)△＞0，即m＞1或m＜0時(shí)，此時(shí)C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，故此圓的圓心為（﹣m，0），半徑，又圓心O1到A的距離O1A＝，解得m＝﹣1，綜上：m∈（0，1）∪{﹣1}.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)與坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，考查一元二次方程根的判別式，屬于難題.二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B．為純虛數(shù)C．的模長等于 D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ABC【分析】根據(jù)歐拉公式結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的特征、純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模長公式、以及共軛復(fù)數(shù)的概念逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A正確；對(duì)于B：，為純虛數(shù)，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A． B．是純虛數(shù)或零C．恒成立 D．存在復(fù)數(shù)，，使得【答案】BC【分析】對(duì)于A由右向左化簡即可判斷，對(duì)于B設(shè)，求出共軛復(fù)數(shù)，代入化簡分情況即可判斷正誤，對(duì)于C設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)計(jì)算出求和模長，在計(jì)算出模長求和即可比較大小，對(duì)于D設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，計(jì)算出乘積模長，在計(jì)算出模長乘積即可比較大小.【詳解】對(duì)于A：，令，則，，與不一定相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，則，，當(dāng)時(shí)為零，當(dāng)時(shí)為純虛數(shù)，故B正確；對(duì)于C：，則，,則，，，故C正確；對(duì)于D：設(shè)，則，=，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題正確的是（

）A．若，則B．若，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為1C．若，則的最大值為3D．若復(fù)數(shù)，滿足，，，則【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)的積運(yùn)算即可判斷A，由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)、虛部的概念判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義及圓的性質(zhì)判斷C，利用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算、模的運(yùn)算求解可判斷D.【詳解】設(shè)，對(duì)A，，，故正確；對(duì)B，，所以，，其虛部為，故錯(cuò)誤；對(duì)C，由的幾何意義，知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為1，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，由圓的性質(zhì)知，，故正確；對(duì)D，設(shè)，因?yàn)?，，所以，又，所以，所以，所以，故正確.故選：ACD12．設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列命題中是真命題的是（

）A．若，則是實(shí)數(shù) B．若，則是虛數(shù)C．若是虛數(shù)，則 D．若是純虛數(shù)，則【答案】ABD【分析】設(shè)（），對(duì)于A，對(duì)與討論可判斷A；對(duì)于B，若，可推出，從而可判斷B；對(duì)于C，設(shè)即可判斷C；對(duì)于D，設(shè)（），從而可判斷D.【詳解】解：設(shè)（），則.對(duì)于A，若，則.若,則由可得,此時(shí)，為實(shí)數(shù)；若,則，為實(shí)數(shù).故若，則是實(shí)數(shù)，故A正確；對(duì)于B，若，則，則，故是虛數(shù)，故B正確；對(duì)于C，若是虛數(shù)，設(shè)，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若是純虛數(shù)，則（），則，故D正確.故選:ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題:本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．已知，，，則______．【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)模長運(yùn)算可求得，代入即可整理求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，，，，，解得：，，.故答案為：.14．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：______．【答案】【分析】配方后，再根據(jù)，利用平方差公式求解即可.【詳解】.故答案為：15．已知方程（）的兩個(gè)根是，若，則p的值為______．【答案】或【分析】按p分類討論，分方程的兩個(gè)根是實(shí)數(shù)根和虛數(shù)根兩種情況分別去求p的值【詳解】當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根是實(shí)數(shù)根，則，又，則兩個(gè)實(shí)數(shù)根為異號(hào)根，則，則，則，解之得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根是虛數(shù)根，令，則又，則，則，解之得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意綜上，p的值為或故答案為：或16．已知(為虛數(shù)單位)．設(shè)集合，則集合中的元素在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)所形成圖形的面積為______．【答案】【分析】先確定中的最小數(shù)為，從而考慮對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集，作出圖形，結(jié)合圖形求面積.【詳解】因?yàn)?，于是不妨設(shè)中的最小數(shù)為，否則同時(shí)減去最小數(shù)，對(duì)應(yīng)的不變，此外，若因此考慮對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)將三部分求并集即得如圖，由于的軌跡為線段,其中，然后將線段往右平移，劃過的區(qū)域即表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集，為平行四邊形，如圖所示，將該區(qū)域旋轉(zhuǎn)2次即得，其面積為.故答案為:.四、解答題17．（1）求的值；（2）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，其中，i是虛數(shù)單位，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)即可得出答案.（2）將代入方程，根據(jù)實(shí)部、虛部為0求得的值，即可得出答案.【詳解】（1），，，所以.（2）因?yàn)闉榉匠痰囊桓?，所以，即，所以且，故，所?8．已知復(fù)數(shù)，集合，集合，(1)若使得（為虛單位），求的最小值；(2)若當(dāng)時(shí)，集合有兩個(gè)子集．①求的取值范圍；②求集合中復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)形成的復(fù)平面區(qū)域的面積．【答案】(1)3(2)①；②【分析】（1）計(jì)算得，則，討論的4種情況即可得解；（2）①滿足條件的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓M，滿足條件的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓N，根據(jù)題意兩圓外切，即可求解；②集合中復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)形成的復(fù)平面區(qū)域是以為圓心，以1及3為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，計(jì)算面積即可．【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由題意，則，所以的最小值為3；（2）①滿足條件即的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓M，滿足條件的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓N，因?yàn)橛袃蓚€(gè)子集，所以圓M與圓N僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即兩圓外切，則，即，令，則，，由可知，即，，；②因?yàn)?，所以?duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，以2為半徑的圓上，所以集合中復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)形成的復(fù)平面區(qū)域是以為圓心，以1及3為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，其面積為．19．已知：對(duì)于任意的多項(xiàng)式與任意復(fù)數(shù)z，整除．利用上述定理解決下列問題：(1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：；(2)若，求的值；(3)求所有滿足整除的正整數(shù)n構(gòu)成的集合A．【答案】(1)(2)0(3)或.【分析】（1）令求得復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根為，即可因式分解；（2）根據(jù)求出復(fù)數(shù)根，找到根的次方的規(guī)律性變化的特點(diǎn)即可求解；（3）分三種情況討論求解.【詳解】（1）令解得兩個(gè)根，這里，，所以.（2）由（1）知解得兩個(gè)根，，，所以，同理，所以.（3）記，有兩個(gè)根，這里，，當(dāng)時(shí)，，故在這種情形有整除，當(dāng)時(shí)，，故在這種情形有整除，當(dāng)時(shí)，，故不整除，所以或.20．已知復(fù)數(shù)，，其中i是虛數(shù)單位，．(1)若，是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根，求m，n的值；(2)求的值域．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用題給條件求得，再利用根與系數(shù)關(guān)系即可求得m，n的值；（2）先求得的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)性質(zhì)即可求得的值域．【詳解】（1），是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根，則，解之得則，，則，（2），，則，由，可得則的值域?yàn)椋?1．已知復(fù)數(shù)，，其中是實(shí)數(shù).(1)若在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍；(2)若，求.【答案】(1)的取值范圍為；(2).【分析】(1)由復(fù)數(shù)的幾何意義列不等式求的取值范圍；(2)先求，結(jié)合等比數(shù)列求