2021年湖南省湘潭市湘鋼第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測試題含解析

2021年湖南省湘潭市湘鋼第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域D如圖所示，其中l(wèi)1，l2，l3對應(yīng)的直線方程分別為：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目標(biāo)函數(shù)z=﹣kx+y僅在點A（m，n）處取到最大值，則有（）A．k1＜k＜k2 B．k1＜k＜k3 C．k1≤k≤k3 D．k＜k1或k＞k3參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】根據(jù)z的幾何意義，結(jié)合直線斜率之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．【解答】解：A是l1與l3的交點，目標(biāo)函數(shù)z=﹣kx+y僅在點A處取到最大值，∴直線y=kx+z的傾斜角比l1的要大，比l3的要小，即有k1＜k＜k3，故選：B．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及直線斜率之間的關(guān)系，比較基礎(chǔ)．2.如果橢圓上一點P到焦點的距離等于6，那么點P到另一焦點的距離是A.

B.

C.

D參考答案：A3.在的展開式中，各項的二項式系數(shù)之和為64，則展開式中常數(shù)項為（

）A．60

B．45

C．30

D．15參考答案：A4.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．91 B．126 C．234 D．117參考答案：D是等差數(shù)列的前項和，,選D.

5.某機構(gòu)為調(diào)查中學(xué)生對“北京國際園林博覽會”的了解程度，計劃從某校初一年級160名學(xué)生和高一年級480名學(xué)生中抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查．如果用分層抽樣的方法抽取一個容量為32的樣本，那么應(yīng)抽取初一年級學(xué)生的人數(shù)為

A．

B．

C．

D．參考答案：A6.從寫上0,1,2,…,9十張卡片中，有放回地每次抽一張，連抽兩次，則兩張卡片數(shù)字各不相同的概率是

(

)A.

B.

C.

D.1參考答案：A7.如圖所示,程序據(jù)圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果為 A、

B、

C、

D、參考答案：C略8.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，則參考答案：D詳解：A.若，，則，不正確，兩直線有可能是相交的情況.B.若，，，則,不正確，因為兩直線有可能是異面的情況.C.若，，則,不正確，直線n可能和直線m斜交，不垂直，此時直線n和平面不垂直.D若，，,根據(jù)面面垂直的判定定理得到，故命題正確.故答案為：D.

9.在△ABC中，，則△ABC的面積等于（

）(A)

(B)

(C)或

(D)或參考答案：D略10.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于A．0.8 B．0.5

C．0.2

D．0.1參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).如果實數(shù)t滿足時，那么t的取值范圍是__________．參考答案：試題分析：因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以由12.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第象限．參考答案：四略13.

。（結(jié)果用式子表示）參考答案：14.以下五個關(guān)于圓錐曲線的命題中：①雙曲線與橢圓有相同的焦點；②以拋物線的焦點弦（過焦點的直線截拋物線所得的線段）為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線是相切的．③設(shè)A、B為兩個定點，k為常數(shù)，若|PA|﹣|PB|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；④過拋物線y2=4x的焦點作直線與拋物線相交于A、B兩點，則使它們的橫坐標(biāo)之和等于5的直線有且只有兩條．⑤過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為原點，若，則動點P的軌跡為橢圓；其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）參考答案：①②④【分析】①根據(jù)橢圓和雙曲線的c是否相同即可判斷．②根據(jù)拋物線的性質(zhì)和定義進行判斷．③根據(jù)雙曲線的定義進行判斷．④根據(jù)拋物線的定義和性質(zhì)進行判斷．⑤根據(jù)圓錐曲線的根據(jù)方程進行判斷．【解答】解：①由得a2=16，b2=9，則c2=16+9=25，即c=5，由橢圓得a2=49，b2=24，則c2=49﹣24=25，即c=5，則雙曲線和橢圓有相同的焦點，故①正確，②不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），取AB的中點M，分別過A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、N，如圖所示：由拋物線的定義可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，∴以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，故②正確，③平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)k（k＜|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線，當(dāng)0＜k＜|AB|時是雙曲線的一支，當(dāng)k=|AB|時，表示射線，∴故③不正確；④過拋物線y2=4x的焦點F（1，0）作直線l與拋物線相交于A、B兩點，當(dāng)直線l的斜率不存在時，橫坐標(biāo)之和等于2，不合題意；當(dāng)直線l的斜率為0時，只有一個交點，不合題意；∴設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），則直線l為y=k（x﹣1），代入拋物線y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0；∵A、B兩點的橫坐標(biāo)之和等于5，∴=5，解得k2=，∴這樣的直線有且僅有兩條．故④正確，⑤設(shè)定圓C的方程為（x﹣a）2+（x﹣b）2=r2，其上定點A（x0，y0），設(shè)B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），由=（+）得，消掉參數(shù)θ，得：（2x﹣x0﹣a）2+（2y﹣y0﹣b）2=r2，即動點P的軌跡為圓，故⑤錯誤；故答案為：①②④15.直線為函數(shù)圖像的切線，則的值為

．參考答案：16.已知函數(shù),若函數(shù)在點處的切線平行于x軸，則實數(shù)b的值是________．參考答案：-217.一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）．為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系,要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查,則在［2500，3000）（元）月收入段應(yīng)抽出

人．參考答案：25三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知x=3是函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一個極值點．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，再由x=3是函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一個極值點即求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）確定f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)增加，在（1，3）內(nèi)單調(diào)減少，在（3，+∞）上單調(diào)增加，且當(dāng)x=1或x=3時，f′（x）=0，可得f（x）的極大值為f（1），極小值為f（3）一，再由直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個交點則須有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范圍為（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．【解答】解：（Ⅰ）因為所以因此a=16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）當(dāng)x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0當(dāng)x∈（1，3）時，f′（x）＜0所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，3）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)增加，在（1，3）內(nèi)單調(diào)減少，在（3，+∞）上單調(diào)增加，且當(dāng)x=1或x=3時，f′（x）=0所以f（x）的極大值為f（1）=16ln2﹣9，極小值為f（3）=32ln2﹣21因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）所以在f（x）的三個單調(diào)區(qū)間（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直線y=b有y=f（x）的圖象各有一個交點，當(dāng)且僅當(dāng)f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范圍為（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．【點評】此題重點考查利用求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，函數(shù)根的問題；，熟悉函數(shù)的求導(dǎo)公式，理解求導(dǎo)在函數(shù)最值中的研究方法是解題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合理解函數(shù)的取值范圍．19.已知a為實數(shù)，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）若x=﹣1是f（x）的極值點，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）將f（x）的表達式展開，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)即可；（2）根據(jù)f′（﹣1）=0，求出a的值，從而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）由原式得f（x）=x3﹣ax2﹣4x+4a，∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．（2）由f'（﹣1）=0得a=，此時有f（x）=（x2﹣4）（x﹣），f′（x）=3x2﹣x﹣4，由f'（x）=0得x=或x=﹣1，故f（x）在[﹣2，﹣1）遞增，在（﹣1，）遞減，在（，2]遞增，又f（）=﹣，f（﹣1）=，f（﹣2）=0，f（2）=0，所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值為，最小值為﹣．20.已知等比數(shù)列{an}中，an>0，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3與a5的等比中項為2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.參考答案：解：(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a32＋2a3a5＋a52＝25，

∴(a3＋a5)2＝25，

又an>0，∴a3＋a5＝5，

又a3與a5的等比中項為2，

∴a3a5＝4.而q∈(0,1)，

∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1，

∴q＝，a1＝16，

∴an＝16×()n－1＝25－n.(2)∵bn＝log2an＝5－n，

∴bn＋1－bn＝－1，

b1＝log2a1＝log216＝log224＝4，∴{bn}是以b1＝4為首項，－1為公差的等差數(shù)列，

∴Sn＝.21.已知二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個不同的交點，若,且時,（1）證明：是的