2024學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)揚(yáng)州中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

2024學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)揚(yáng)州中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．彬塔，又稱開(kāi)元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測(cè)量彬塔的高度，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高（）A.30m B.C. D.2．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.-1 B.1C.-3 D.33．三等分角是“古希臘三大幾何問(wèn)題”之一，數(shù)學(xué)家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個(gè)問(wèn)題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個(gè)三等分點(diǎn)，以A為左焦點(diǎn)，B，C為頂點(diǎn)作雙曲線T．設(shè)雙曲線T與弧的交點(diǎn)為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（）A. B.1C.2 D.4．三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.C.或 D.或5．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A.1 B.C.2 D.36．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關(guān)系不確定7．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A.2 B.4C. D.8．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（）A.14 B.28C.36 D.489．若將雙曲線繞其對(duì)稱中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，且該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.10．在等差數(shù)列中，若，，則公差d=（）A. B.C.3 D.－311．下列求導(dǎo)不正確的是（）A B.C. D.12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在雙曲線上，且軸，若則雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線被圓所截得的弦的長(zhǎng)為_(kāi)____14．圓錐的母線長(zhǎng)為2，母線所在直線與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的側(cè)面積大小為_(kāi)___________.(結(jié)果保留)15．若圓的一條直徑的端點(diǎn)是、，則此圓的方程是_______16．以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，，其中.（1）求的值；（2）設(shè)（其中、為正整數(shù)），求的值.18．（12分）在數(shù)列中，，且.（1）證明；數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，DC，PB的中點(diǎn).（1）證明：直線PF//平面ACG；（2）求直線PD與平面ACG所成角的正弦值.20．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（1）求；（2）若，求的面積的最大值21．（12分）如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的水槽，水面高度恰為正方體棱長(zhǎng)的一半，在該正方體側(cè)面有一個(gè)小孔（小孔的大小忽略不計(jì)）E，E點(diǎn)到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）.（1）證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成的角的大小.22．（10分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，求三角形AOB的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】在△中有，再應(yīng)用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【題目詳解】由題設(shè)知：，又，△中，可得，在△中，，則.故選：D2、B【解題分析】由韋達(dá)定理可知，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出.【題目詳解】解：在等比數(shù)列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.3、C【解題分析】由題設(shè)寫出雙曲線的方程,對(duì)比系數(shù),求出即可獲解【題目詳解】由題知所以雙曲線的方程為又由題設(shè)的方程為,所以,即設(shè)AB的中點(diǎn)為,則由.所以,即圓的半徑為2故選：C4、D【解題分析】根據(jù)三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，解得，然后分，討論求解.【題目詳解】因?yàn)槿齻€(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，所以，解得，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以，所以，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，所以，所以，故選：D5、C【解題分析】利用直線和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可.【題目詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為：.故選：C.6、C【解題分析】利用向量法判斷平面與平面的位置關(guān)系.【題目詳解】因?yàn)槠矫?，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因?yàn)?，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C7、D【解題分析】因?yàn)閽佄锞€方程可化為，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故選D.考點(diǎn)：1、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、拋物線的幾何性質(zhì).8、D【解題分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【題目詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的計(jì)算以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較易題.9、C【解題分析】由題意，可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，再確定參數(shù)的正負(fù)即可求解.【題目詳解】雙曲線，令，則，顯然，則一條漸近線方程為，繞其對(duì)稱中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，則漸近線就需要旋轉(zhuǎn)到與坐標(biāo)軸重合，故漸近線方程的傾斜角為120°，即，該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，可知，所以，所以.故選：C10、C【解題分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算【題目詳解】因?yàn)?，，所?故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，11、C【解題分析】由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算后可判斷【題目詳解】A：；B：；C：；D：故選：C12、B【解題分析】由雙曲線定義結(jié)合通徑公式、化簡(jiǎn)得出，最后得出離心率.【題目詳解】，，，解得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】圓轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式方程，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，因此所求弦長(zhǎng)為考點(diǎn)：1．圓的方程；2．直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法；14、【解題分析】由題設(shè)知：圓錐的軸截面為等邊三角形，進(jìn)而求圓錐的底面周長(zhǎng)，由扇形面積公式求圓錐的側(cè)面積大小.【題目詳解】由題設(shè)，圓錐的軸截面為等邊三角形，又圓錐的母線長(zhǎng)為2，∴底面半徑為1，則底面周長(zhǎng)為，∴圓錐的側(cè)面積大小為.故答案為：.15、【解題分析】先設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角，再利用向量垂直建立方程即可【題目詳解】設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為可得：，則有：，即解得：故答案為：16、【解題分析】直接根據(jù)已知寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.【題目詳解】解：由題得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1），，寫出的展開(kāi)式通項(xiàng)，由可得出關(guān)于的方程，解出的值，再利用賦值法可求得所求代數(shù)式的值；（2）寫出的展開(kāi)式，求出、的值，即可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以，，即，，解得，所以，.【小問(wèn)2詳解】解：，，，因此，18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，從而，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，∴，∴.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）連接EC，設(shè)EB與AC相交于點(diǎn)O，結(jié)合已知條件利用線面平行的判定定理可證得OG//平面PEF，再由三角形中位線定理結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC//平面PEF，從而由面面垂直的判定可得平面PEF//平面GAC，進(jìn)而可證得結(jié)論，（2）由已知可證得PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可【小問(wèn)1詳解】證明：連接EC，設(shè)EB與AC相交于點(diǎn)O，如圖，因?yàn)锽C//AD，且，AB⊥AD，所以四邊形ABCE為矩形，所以O(shè)為EB的中點(diǎn)，又因?yàn)镚為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)G為△PBE的中位線，即OG∥PE，因?yàn)镺G平面PEF，PE?平面PEF，所以O(shè)G//平面PEF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為線段AD，DC的中點(diǎn)，所以EF//AC，因?yàn)锳C平面PEF，EF?平面PEF，所以AC//平面PEF，因?yàn)镺G?平面GAC，AC?平面GAC，AC∩OG＝O，所以平面PEF//平面GAC，因?yàn)镻F?平面PEF，所以PF//平面GAC.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因?yàn)锳B⊥AD，所以PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），所以，設(shè)平面ACG的法向量為，則，所以，令x＝1，可得y＝﹣1，z＝﹣1，所以，設(shè)直線PD與平面ACG所成角為θ，則，所以直線PD與平面ACG所成角的正弦值為.20、（1）（2）【解題分析】（1）由正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得，再利用三角形面積公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理及，得，∵∴,∵，∴【小問(wèn)2詳解】由余弦定理，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的面積的最大值為21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）由水的體積得出，進(jìn)而得出，，從而證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于，由四邊形是平行四邊形，得出側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，再由直角三角形的邊角關(guān)系得出其夾角.【小問(wèn)1詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽傾斜后，水面分別與棱，，，交于，，，，則，水的體積為，，即，，故四邊形為平行四邊形，即，且又，，，四邊形為平行四邊形，即圖2中的水面也是平行四邊形；【小問(wèn)2詳解】在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于，則四邊形是平行四邊