福建省寧德市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期區(qū)域性學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（A卷）數(shù)學(xué)試題（解析版）

第20頁(yè)/共21頁(yè)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期高二區(qū)域性學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（A卷）本試卷有第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)，姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上作答，答案無(wú)效.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則時(shí)，的值趨近于（）A.2a B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義可得答案.【詳解】由題意可得.故選：C.2.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)共線(xiàn)向量基本定理確定與的關(guān)系，再分別求出和，進(jìn)而求解.【詳解】解：若，則，因?yàn)橐阎蛄?，，所以，解得，所?故選：.3.已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則平面和平面的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算可證得法向量相互垂直，由此可得出答案.【詳解】記平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，所以，故，所以.所以平面和平面的位置關(guān)系是垂直.故選：B.4.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.為函數(shù)的零點(diǎn)B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.為函數(shù)的極大值點(diǎn)D.是函數(shù)的最小值【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的概念可判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷B；根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)以及最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C，D.由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為函數(shù)的極小值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為函數(shù)的極小值點(diǎn)，而也為函數(shù)的極小值點(diǎn)，與的大小不定，故不一定是函數(shù)的最小值，D錯(cuò)誤,故選：B5.如圖，在平行六面體中，，，，，E為中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】空間向量，平方求模長(zhǎng)即可求解.【詳解】由，兩邊平方得：.所以.故選：A.6.若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在恒成立，利用判別式即可求出的范圍．【詳解】函數(shù)，，若在遞增，則在恒成立，可得,解得，故選：D7.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則BC邊上的高等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量運(yùn)算以及向量的夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，，，可得，，，即角B為銳角，所以，所以邊上的高.故選：B8.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法1，由題意可得有兩根，則，，令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而畫(huà)出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可求得結(jié)果；方法2：由題意得有兩根，令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出其單調(diào)區(qū)間，畫(huà)出圖象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】方法1：，有兩個(gè)都零點(diǎn)，即有兩根，則，，設(shè)，則，令，則，，令，得，則在且；令，得，則在且；，圖象如圖所示，實(shí)數(shù)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).方法2：有兩個(gè)都零點(diǎn)，即有兩根，設(shè)，則，令，則，，令，得，則在單調(diào)遞增且；令，得，則在單調(diào)遞減且；，圖象如圖所示，設(shè)與相切于則，解得，所以實(shí)數(shù)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，畫(huà)出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可得答案.【詳解】對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C不正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：BD.10.已知空間中三個(gè)向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與是共線(xiàn)向量 B.與同向的單位向量是C.在方向上的投影向量是 D.平面ABC的一個(gè)法向量是【答案】BCD【解析】【分析】A：由向量共線(xiàn)定理，應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算判斷是否存在使；B：與同向的單位向量是即可判斷；C：由投影向量的定義可解；D：應(yīng)用平面法向量的求法求平面ABC的一個(gè)法向量，即可判斷.【詳解】A：若與共線(xiàn)，存在使，則無(wú)解，故不共線(xiàn)，錯(cuò)誤；B：與同向的單位向量是，正確；C：由，則在方向上的投影向量是，正確；D：若是面ABC的一個(gè)法向量，則，令，則，正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在單調(diào)遞減 B.在單調(diào)遞增C.有一個(gè)極大值是 D.有一個(gè)極大值是【答案】ACD【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得單調(diào)性，由單調(diào)性即可判斷極值，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由得，對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，，故,因此在單調(diào)遞減，A正確，對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，，故在并非一直,因此在并非單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤，令，此時(shí)單調(diào)遞減，則當(dāng)或時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)和時(shí)，分別取極大值和極小值，對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，，故C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D正確，故選：ACD12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），則下列說(shuō)法正確的有（）A.存在點(diǎn)，使得B.過(guò)三點(diǎn)、、的正方體的截面面積為C.四面體的內(nèi)切球的表面積為D.點(diǎn)在棱上，且，若，則滿(mǎn)足條件的的軌跡是圓【答案】BC【解析】【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由可判斷A；過(guò)三點(diǎn)、、的正方體的截面為以為底的等腰梯形，求出截面面積可判斷B；設(shè)四面體的側(cè)面積為，其內(nèi)切球的半徑為，球心為，由即，求出可判斷C；由分析可得，的軌跡是被四邊形截得的4段圓弧，求解可判斷D.【詳解】對(duì)于A，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，；若，則，即，與題意矛盾，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以可得、、、四點(diǎn)共面，所以過(guò)三點(diǎn)、、的正方體的截面為以為底的等腰梯形，，過(guò)點(diǎn)作，所以，所以梯形的高為，所以，，故B正確；對(duì)于C，如下圖知：四面體的體積為正方體體積減去四個(gè)三棱錐的體積，可知四面體是棱長(zhǎng)為的正四面體，取的外心，連接，則平面，則，則，所以，所以四面體的高，設(shè)四面體的側(cè)面積為，其內(nèi)切球的半徑為，球心為，，即，，所以C正確；對(duì)于D，，，∵，∴，即，可得軌跡為圓：，所以，圓心，，又，所以，軌跡為圓：被四邊形截得的4段圓弧，所以D錯(cuò)誤；故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置）13.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的傾斜角是________.【答案】##【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，得切線(xiàn)斜率，由斜率得傾斜角．【詳解】，時(shí)，，切線(xiàn)斜率為1，又傾斜角范圍是，所以切線(xiàn)傾斜角為．故答案為：．14.向量與共線(xiàn)且滿(mǎn)足，則______.【答案】【解析】【分析】設(shè)向量，由解得可得答案.【詳解】設(shè)向量，因?yàn)?，所以，解得，所?故答案為：.15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，BD，的中點(diǎn)，則與FG所成的角的余弦值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，，所以，即與FG所成的角的余弦值為.故答案為：16.設(shè)定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，，若，則的取值范圍為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性解不等式即可.【詳解】設(shè)函數(shù)，∴，∴在上單調(diào)遞減，又∵，∴則，即，∴，即.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量，，且.（1）求m的值；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的模長(zhǎng)公式求解即可；（2）求出，，由垂直向量的坐標(biāo)表示求解即可.【小問(wèn)1詳解】，所以，解得：；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得：.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)在的最大值與最小值.【答案】（1）（2）最大值為10，最小值為【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出在的單調(diào)性和極值，比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)函數(shù)值大小即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】∵，函數(shù)在處的切線(xiàn)方程的斜率為，又，切點(diǎn)為，切線(xiàn)方程為：即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榱睿没?；令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以在處取得極大值，在處取得極小值.又，，，，由（1）知，在區(qū)間上的最大值為10，最小值為19.在正四棱柱中，，，E在線(xiàn)段上，且.（1）求證：平面DBE；（2）求直線(xiàn)與平面DBE所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置的向量證明推理作答.（2）利用空間向量求出線(xiàn)面角的正弦值作答.【小問(wèn)1詳解】在正四棱柱中，兩兩垂直，以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，，于是，，即且，而平面DBE，所以平面DBE.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，為平面DBE的一個(gè)法向量，因此，所以直線(xiàn)與平面DBE所成角的正弦值為.20.為響應(yīng)國(guó)家“鄉(xiāng)村振興”政策，某村在對(duì)口幫扶單位的支持下擬建一個(gè)生產(chǎn)農(nóng)機(jī)產(chǎn)品的小型加工廠.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該農(nóng)機(jī)產(chǎn)品當(dāng)年需投入固定成本10萬(wàn)元，每年需另投入流動(dòng)成本（萬(wàn)元）與成正比（其中x（臺(tái)）表示產(chǎn)量），并知當(dāng)生產(chǎn)20臺(tái)該產(chǎn)品時(shí)，需要流動(dòng)成本0.7萬(wàn)元，每件產(chǎn)品的售價(jià)與產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系為（萬(wàn)元）（其中）.記當(dāng)年銷(xiāo)售該產(chǎn)品x臺(tái)獲得的利潤(rùn)（利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－生產(chǎn)成本）為萬(wàn)元.（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)產(chǎn)量x為何值時(shí)，該工廠的年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）（2）年產(chǎn)量為50臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是24.4萬(wàn)元【解析】【分析】（1）依題設(shè)：，由條件當(dāng)生產(chǎn)20臺(tái)該農(nóng)機(jī)產(chǎn)品時(shí)，需要流動(dòng)成本0.7萬(wàn)元可得，進(jìn)而求出函數(shù)的表達(dá)式；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值即可.【小問(wèn)1詳解】依題設(shè)：當(dāng)生產(chǎn)20臺(tái)該農(nóng)機(jī)產(chǎn)品時(shí)，需要流動(dòng)成本0.7萬(wàn)元得：，可得：，∴；∴.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，∵∴時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴時(shí)，取得極大值也是最大值，，∴當(dāng)年產(chǎn)量為50臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是24.4萬(wàn)元.21.如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，.（1）證明：平面平面；（2）若，且與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)E在線(xiàn)段上滿(mǎn)足，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，在中，由余弦定理求得，得到，證得，再由，證得平面，即可證得平面平面；（2）若O為中點(diǎn)，證得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面的一個(gè)法向量為，列出方程求得，進(jìn)而得到，求得平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：由題知且，所以為等邊三角形，則，又由四邊形為梯形，，則，在中，，所以，即，因?yàn)椋?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問(wèn)2詳解】解：若O為中點(diǎn)，，則，由（1）得平面平面，平面平面，平面，則平面，連接，則，且平面，所以，，所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，分別為為軸、軸和軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，設(shè)且，則，由平面的一個(gè)法向量為，可得，解得，因，所以，可得，所以，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，可得，所以則，由圖形可得的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.22已知函數(shù)，；（1）求函數(shù)單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，對(duì)于任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.