初中數(shù)學(xué)滬科版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)據(jù)的初步分析20．2數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)與離散程度公開(kāi)課

中物理滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第20章數(shù)據(jù)的初步分析20.2.3數(shù)據(jù)的離散程度——方差知識(shí)回顧1、集中趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)量：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).2、平均數(shù)計(jì)算方法：①1n（x1+x2+x3+···+xn）=

x1，x2，x3，···，xn表示各個(gè)數(shù)據(jù).其中n表示數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)，②當(dāng)一組數(shù)據(jù)大部分都在某一常數(shù)a附近上下波動(dòng)時(shí)，1n（）=a+其中a表示各個(gè)數(shù)據(jù)中較“整”的數(shù)，分別表示各個(gè)數(shù)據(jù)與a的差,=a+x'x'表示差的平均數(shù).3、加權(quán)平均數(shù)計(jì)算方法：

這n個(gè)數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù).

在總結(jié)果中的比重，一般地，對(duì)上面的加權(quán)平均數(shù)，可統(tǒng)一用下面的公式：

我們稱(chēng)其為各數(shù)據(jù)的權(quán)，其中f1，f2，f3，…，fk分別表示數(shù)據(jù)

x1，x2，x3，…，xk出現(xiàn)的次數(shù)，或者表示數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xk叫做4、中位數(shù)的定義：

位于正中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))，一般地，當(dāng)將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，(當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或正中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).n為奇數(shù)時(shí)，中間位置是第個(gè)n為偶數(shù)時(shí)，中間位置是第,個(gè)你知道中間位置如何確定嗎?2n+12n2n+1一組數(shù)據(jù)中5、眾數(shù)的定義：叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)若x1，x2，x3，···，xn的平均數(shù)為，則：(1)

nx1，nx2，nx3，···，nxn的平均數(shù)為

.

(2)

x1+b，x2+b，x3+b，···，xn+b的平均數(shù)為

.

(3)

nx1+b，nx2+b，nx3+b，···，nxn+b的平均數(shù)為

.

n+b拓展練習(xí)：

若x1,x2,…,

xn的平均數(shù)為

，y1,y2,…,

yn的平均數(shù)為

，則x1+y1，x2+y2，x3+y3，···，xn+yn的平均數(shù)為

.

n+byyx+課前熱身+0從數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)這個(gè)角度（）0-0.2（）問(wèn)題6兩臺(tái)機(jī)床都生產(chǎn)直徑為（20±0.2）mm的零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10個(gè)進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如下(單位:mm)：思考：根據(jù)以上結(jié)果評(píng)判哪臺(tái)機(jī)床的零件的精度更穩(wěn)定.

機(jī)床A20.0機(jī)床B20.019.820.020.119.920.220.020.020.220.220.019.820.119.919.920.220.119.819.8要比較，首先想到比較兩組數(shù)據(jù)的平均值：xA=11020.0+0-0.2+0.1+0.2-0.1+0+0.2-0.2+0.2=20.0-0.2xB=11020.0+-0.1+0-0.1+0.2+0+0.1+0.1=20.0xA=xB=20.0mm,這時(shí)就需考察數(shù)據(jù)的離散程度了.它們的中位數(shù)也都是20.0mm，很難區(qū)分兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件的精度的穩(wěn)定性，

但如何用數(shù)量來(lái)刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的離散程度呢？

可見(jiàn)機(jī)床A生產(chǎn)出的零件的直徑中把每組零件的直徑分別用點(diǎn)來(lái)表示，如下圖.圖中過(guò)20.0與橫軸平行的直線(xiàn)上的點(diǎn)表示平均數(shù).0.2mm的偏離這個(gè)平均數(shù)的0.1mm機(jī)床B生產(chǎn)出的零件的直徑中偏離這個(gè)平均數(shù)有6個(gè)、0.2mm的有2個(gè)、0.1mm的有2個(gè)；有4個(gè)，生產(chǎn)的零件的精確度更穩(wěn)定.直觀上容易看出機(jī)床B比機(jī)床A直徑波動(dòng)較大直徑波動(dòng)較小

才利用方差來(lái)判斷它們的波動(dòng)情況．概念學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用下面的方法：設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1，x2，···，xn，s2它們的平均數(shù)是，1n[]=x我們用(x1-)2+(x2-)2+(xn-

)2xx+···x來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的離散程度，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.注意：反映的是數(shù)據(jù)在平均數(shù)附近波動(dòng)的情況.方差越小，方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的重要量，一般地，方差越大，該組數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大（離散程度大）,該組數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越?。x散程度?。?②方差的適用條件：當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時(shí)，①方差的作用：

比機(jī)床B生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑

下面通過(guò)計(jì)算方差，的精確度更穩(wěn)定.來(lái)評(píng)判問(wèn)題中機(jī)床A和機(jī)床B哪臺(tái)生產(chǎn)的零件前面已經(jīng)算得A,B兩組數(shù)的平均數(shù)，于是110[]=(20

-20)2+···+(19.8-20)2+(19.8-20)2=110[]02+···+(-0.20)2+(-0.20)2=110×0.26=0.026(mm2)110[]=(20

-20)2+···+(20-20)2+(19.8-20)2=110[]02+···+02+(-0.20)2=110×0.12=0.012(mm2)

由于0.026＞0.012，波動(dòng)要大.可知機(jī)床A生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑注意：方差的單位是所給數(shù)據(jù)單位的平方.

必須認(rèn)清公式中每個(gè)字母代表的意義，

x1，x2，···，xn表示

對(duì)應(yīng)練習(xí)

1、某個(gè)樣本的方差s215

=[(x1-10)2+(x2-10)2+(x3-10)2+(x4-10)2+(x5-10)2]

中，數(shù)5，10分別表示這個(gè)樣本的（）.A.容量，平均數(shù)B.平均數(shù)，中位數(shù)C.眾數(shù)，中位數(shù)D.中位數(shù)，容量As21n[]=(x1-)2+(x2-)2+(xn-

)2xx+···x利用方差的公式求方差時(shí)，如代表x平均數(shù)，n代表樣本容量，每個(gè)數(shù)據(jù).方法技巧：思考：計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差的一般步驟.①利用平均數(shù)公式x②利用方差公式計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)計(jì)算這組數(shù)據(jù)的方差s2s21n[]=(x1-)2+(x2-)2+(xn-

)2xx+···x對(duì)應(yīng)練習(xí)

2、求下列兩組數(shù)據(jù)的方差，并說(shuō)明哪組數(shù)據(jù)的離散程度較小.A：30，50，50，50，60

B：30，44，50，56，60對(duì)應(yīng)練習(xí)

2、求下列兩組數(shù)據(jù)的方差，并說(shuō)明哪組數(shù)據(jù)的離散程度較小.A：30，50，50，50，60

B：30，44，50，56，60=解：=(30+50+50+50+60)＝(30+44+50+56+60)＝4848SA2＝

15＝96](30-48)2[+(50-48)2

+(50-48)2

+(50-48)2+(60-48)2SB2＝

15＝110.4](30-48)2[+(44-48)2

+(50-48)2

+(56-48)2+(60-48)2即

SA2＜SB2∴A組數(shù)據(jù)的離散程度小∵96＜110.41515xAxB

我們也常有樣本方差估計(jì)

例6為了比較甲、乙兩個(gè)新品種水稻產(chǎn)品質(zhì)量，收割時(shí)抽取了五塊具有相同條件的試驗(yàn)田地，分別稱(chēng)得它們的質(zhì)量，得其每公頃產(chǎn)量如下表（單位：1）：(1)哪個(gè)品種平均每公頃的產(chǎn)量較高？(2)哪個(gè)品種的產(chǎn)量較穩(wěn)定？在實(shí)際問(wèn)題中，探究新知與用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣，總體方差.12344甲12.61212.311.712.9乙12.312.312.311.413.2田地編號(hào)水稻品種解：甲、乙兩個(gè)新品種在試驗(yàn)田中的產(chǎn)量各組成一個(gè)樣本.下面我們來(lái)考察甲、乙兩個(gè)新品種的穩(wěn)定性.x甲（12.6+12+12.3+11.7+12.9）=15=12.3(t)x乙（12.3+12.3+12.3+11.4+13.2）=15=12.3

(t)說(shuō)明甲、乙兩個(gè)新品種平均每公頃的產(chǎn)量一樣高.S甲2＝

15＝0.18](12.6-12.3)2[+(12-12.3)2

+(12.3-12.3)2

+(11.7-12.3)2+(12.9-12.3)2S乙2＝

15＝0.324](12.3-12.3)2[+(12.3-12.3)2

+(12.3-12.3)2

+(11.4-12.3)2+(13.2-12.3)2得出

S甲2＜S乙2

則意味著這組數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的離散程度也越大.

乙品種每公頃的產(chǎn)量波動(dòng)要小，

可知，甲品種每公頃的產(chǎn)量波動(dòng)

②在兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相差較大時(shí)，由此估計(jì)甲品種的穩(wěn)定性好.比注意：①一般地，在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，

以及在比較單位不同的兩組數(shù)據(jù)時(shí)，不能直接用方差來(lái)比較它們的離散程度.再利用樣本方差來(lái)估計(jì)總體數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況．歸納總結(jié)(1)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，方差的作用是什么？反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。捎脴颖痉讲罟烙?jì)總體方差．方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小；

(2)運(yùn)用方差解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是怎樣的？先計(jì)算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)，當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時(shí)，鞏固練習(xí)1、在一次射擊訓(xùn)練中，甲、乙兩人各射擊10次，兩人10次射擊成績(jī)的平均成績(jī)是9.1環(huán)，方差分別是s甲2=1.2，s乙2=1.6，則關(guān)于甲、乙兩人在這次射擊訓(xùn)練中成績(jī)穩(wěn)定性的描述正確的是().A.甲比乙穩(wěn)定B.乙比甲穩(wěn)定

C.甲和乙一樣穩(wěn)定

D.甲和乙的穩(wěn)定性沒(méi)法比較A方差越小，一般地，方差越大，該組數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大（越不穩(wěn)定）,該組數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越?。ㄔ椒€(wěn)定）.2、一組數(shù)據(jù)6，4，a，3，2的平均數(shù)是5，這組數(shù)據(jù)的方差為().A.8B.5

C.4

D.3A鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)3、數(shù)據(jù)0，-1，6，1，x的眾數(shù)為-1，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）.A.B.

C.

D.275345283283B4、已知一組數(shù)據(jù)-3，-2，1，3，6，x的中位數(shù)為1，則其方差為().A.8B.9

C.10

D.11B1、已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，···，xn，的方差是s2：①新數(shù)據(jù)x1+b，x2+b，···，xn+b的方差為

.②新數(shù)據(jù)ax1，ax2，···，axn的方差為

.③新數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b，···，axn+b的方差為

.提升練習(xí)s2

(不變)a2s2a2s2請(qǐng)你用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論來(lái)解決以下的問(wèn)題：已知數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…，an的平均數(shù)為X，方差為Y,則①數(shù)據(jù)a1+3，a2+

3，a3+3

，…，an+3的平均數(shù)為

，方差為

.

②數(shù)據(jù)a1-3，a2-3，a3-3

，…，an-3的平均數(shù)為

，方差為

.

③數(shù)據(jù)3a1，3a2，3a3，…，3an的平均數(shù)為

，方差為

.

④數(shù)據(jù)2a1-3，2a2-3，2a3-3

，…，2an-3的平均數(shù)為

，方差為

.

X+3YX-3Y3X9Y2X-34Y1、已知數(shù)據(jù)x1、x2、x3、x4、x5的方差是3，那么數(shù)據(jù)

x1－1，x2－1，x3－1，x4－1，x5－1的方差是（）

A.1B.2C.3D.4C變式練習(xí)：2、（探究題）已知數(shù)據(jù)x1、x2、x3、x4、x5的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－1，2x1－1,2x1－1，2x1－1，2x1－1的平均數(shù)和方差分別是（）

A、2，B、4，

C、2，D、3，D變式練習(xí)：2、考察甲、乙兩種小麥的長(zhǎng)勢(shì)，分別從中抽取10株苗，測(cè)得苗高如下(單位：cm)：甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.計(jì)算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，說(shuō)明哪種小麥長(zhǎng)得較整齊.解：拓展練習(xí)x甲=110x乙=110(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)＝13(cm)＝13(cm)

[(12－13)2+(13－13)2+(14－13)2+(15－13)2

+(10－13)2+(16－13)2+(13－13)2+(11－13)2+(15－13)2+(11－13)2]∵

S甲2＜S乙2，∴

甲種小麥長(zhǎng)得比較整齊.

[(11－13)2+(16－13)2+(17－13)2+(14－13)2

+(13－13)2+(19－13)2+(6－13)2+(8－13)2+(10－13)2+(16－13)2]1515＝3.6＝15.8S甲2＝S乙2＝(cm2)(cm2)S2＝[(0.25－0.152)2+(0.16－0.152)2+(0.16－0.152)2+(0.15－0.152)2+(0.20－0.152)2+(0.13－0.152)2+(0.10－0.152)2+(0.18－0.152)2+(0.14－0.152)2+(0.12－0.152)2+(0.13－0.152)2+(0.13－0.152)2+(0.18－0.152)2+(0.15－0.152)2+(0.10－0.152)2]3、在對(duì)某玉米品種進(jìn)行考察時(shí)，農(nóng)科