積分變換課件

積分變換課件第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一(一)付氏級數(shù)稱實系數(shù)R上的實值函數(shù)f（t）在閉區(qū)間[a,b]上滿足狄利克萊（DirichLet）條件，如果它滿足條件：⑴在[a,b]上或者連續(xù)，或者只有有限個第一類間斷點；⑵f（t）在[a,b]上只有有限個極值點?！?.1付氏積分第一章付里葉變換第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一

從T為周期的周期函數(shù)fT(t)，如果在上滿足狄利克雷條件，那么在上fT(t)可以展成付氏級數(shù)，在fT(t)的連續(xù)點處，級數(shù)的三角形成為

其中稱為頻率，頻率ω對應(yīng)的周期T與fT(t)的周期相同，因而稱為基波頻率，nω稱為fT(t)的n次諧波頻率。第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一(二)付氏級數(shù)的復指數(shù)形式

在fT(t)的間斷點t0處，式(1.1.1)的左端代之為

即(三)付氏積分

任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成由某個周期函數(shù)fT(t)當T→+∞時轉(zhuǎn)化而來的。

這個公式稱為函數(shù)f(t)的付里葉積分公式第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一

付氏積分定理若f(t)在(-∞，+∞)上滿足下列條件：

2°則積發(fā)存在,并且在f(t)的連續(xù)點處

1°在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷條件；而在f(t)的間斷點t0處，應(yīng)以代替該式左端的f(t)。

注非周期函數(shù)滿足付氏積分定理的條件1°，才能保證函數(shù)在任意有限區(qū)間上能展為付氏級數(shù)。滿足付氏積分定理的第2°條,才能保證存在。第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一§1.2付氏變換(一)定義1.1.1設(shè)f(t)和F(ω)分別是定義在R上的實值和復值函數(shù)，稱它們是一組付里葉變換對，如果成立并稱F(ω)為f(t)的象函數(shù)或付里葉變換，記為F[f(t)]；稱f(t)為F(ω)的象原函數(shù)或付里葉逆變換，記為F-1[F(ω)]

第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一例1求矩形脈沖函數(shù)的付氏變換及其積分表達式。第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一tf(t)第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一

第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一(二)積分變換的運用

例求微分積分方程

第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一

的解,其中<t<+,a,b,c均為常數(shù).

根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì),且記

F[x(t)]=X(w),F[h(t)]=H(w).

在方程兩邊取傅氏變換,可得

第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一2.2單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換在物理和工程技術(shù)中,常常會碰到單位脈沖函數(shù).因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì),如在電學中,要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流;在力學中,要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等.研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設(shè)為t=0)進入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則當t0時,i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導數(shù)意義下,q(t)在這一點是不能求導數(shù)的.第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一如果我們形式地計算這個導數(shù),則得這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度.為了確定這樣的電流強度,引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù),簡單記成d-函數(shù):有了這種函數(shù),對于許多集中于一點或一瞬時的量,例如點電荷,點熱源,集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一de(t)1/eeO（在極限與積分可交換意義下）工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一可將d-函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示,這個線段的長度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強度.tOd(t)1d-函數(shù)有性質(zhì)：可見d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實軸上的積分都有明確意義。第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一(三)δ函數(shù)及其付氏變換

1.δ函數(shù)的定義

(1)(狄拉克)滿足一列兩個條件的函數(shù)稱為δ函數(shù)。

(2)普通函數(shù)序列極限形式的定義其中

(3)廣義函數(shù)形式的定義

若f(t)為無窮次可做函數(shù)，則第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一d-函數(shù)的傅氏變換為:于是d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對.證法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得例1證明：1和2pd(w)構(gòu)成傅氏變換對.證法1：第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一3.δ函數(shù)在積分變換中的作用(1)有了δ函數(shù)，對于點源和脈沖量的研究就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣，以統(tǒng)一的方式來對待。(2)盡管δ函數(shù)本身沒有普通意義下的函數(shù)值，但它與任何一個無窮次可做的函數(shù)的乘積在(-∞,+∞)上的積分都有確定的值。(3)δ函數(shù)的付氏變換是廣義付氏變換，許多重要的函數(shù)，如常函數(shù)、符號函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等是不滿足付氏積分定理中的絕對可積條件的(即不存在)，這些函數(shù)的廣義付氏變換都可以利用δ函數(shù)而得到。第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一由上面兩個函數(shù)的變換可得第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一

這種頻譜圖稱為離散頻譜，也稱為線狀頻譜(四)付氏變換的物理意義——頻譜

1.非正弦的周期函數(shù)的頻譜第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一例4

求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換。tpp-w0w0Ow|F(w)|第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一(一)常用函數(shù)付里葉變換公式§1.3付氏變換的公式和性質(zhì)第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一例5證明：證：第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一(二)尤拉公式及尤拉公式推出的幾個公式第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一(三)付氏變換的性質(zhì)1．線性性質(zhì)。

設(shè)F=，F(xiàn)=，和為常數(shù)，則b2．位移性質(zhì)該性質(zhì)在無線電技術(shù)中也稱為時移性質(zhì)。第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一3．對稱性質(zhì)

若，則

4．相似性質(zhì)若，則第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一5．象函數(shù)的位移性質(zhì)若，則

象函數(shù)的位移性質(zhì)在無線電技術(shù)中也稱為頻移性質(zhì)。

6.翻轉(zhuǎn)性質(zhì)若，則

第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一

7.微分性質(zhì)

若f在上連續(xù)或只有有限個可去間斷點,且當時，，則推論若（k=1,2,…,n）在上連續(xù)或只有有限個可去間斷點，且=0，k=0,1,2,…(n-1),則有第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一8.象函數(shù)的微分性質(zhì)若，則一般地，有若當時，=,則如果，則9.積分性質(zhì)其中第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一10.象函數(shù)的積分性質(zhì)若，則11.乘積定理

若，，則

其中，均為t的實函數(shù)，、分別為、的共軛函數(shù)。

第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一12.能量積分

若，則

該等式又稱為巴塞瓦等式。

13.卷積定理

設(shè)，滿足付氏積分定理中的條件，且，，則

第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一§1.4卷積與相關(guān)函數(shù)一、卷積的意義

若已知函數(shù)f1(t)，f2(t)，則積分稱為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積，記為f1(t)*f2(t)，即二、卷積的性質(zhì)第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一第二章拉普拉斯變換§2.1拉普拉斯變換的概念一、拉氏變換和拉氏逆變換的定義

設(shè)函數(shù)f(t)當ｔ0時有定義，而且積分

（s是一個復參量），在s的某一域內(nèi)收斂，則由此積分決定的函數(shù)可寫為

稱為的拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）或象函數(shù)，記為，即又稱為的拉普拉斯逆變換（簡稱為拉氏逆變換）或象原函數(shù)，記

即第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一二、拉氏變換的存在定理

拉氏變換存在定理設(shè)函數(shù)f(t)滿足下列條件：

1°當t＜0時，f(t)=0；

2°f(t)在t≥0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，間斷點的個數(shù)是有限個，且都是第一類間斷點；

3°f(t)是指數(shù)級函數(shù)。

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)=β＞βc上一定存在，此時上式右端的積分絕對收斂而且一致收斂，同時在此半平面內(nèi)，F(xiàn)(s)是解析函數(shù)。第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一關(guān)于拉氏變換存在定理，做如下的幾點說明：(1)從物理應(yīng)用觀點來看，條件2°、3°都是容易滿足的。實用上所考察的物理過程，往往是用時間函數(shù)來描述的，并且是從某一時刻開始，因此可以選這時刻為t=0，在此以前情況則不加考慮。例如sint，若要對它進行拉氏變換則應(yīng)把它理解為sintu(t)。(2)工程技術(shù)中所遇到的函數(shù)大部分是存在拉氏變換的。(3)如果f(t)為指數(shù)級函數(shù)，則其增長指數(shù)不唯一。第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一三、關(guān)于拉氏變換的積分下限問題

f(t)在t=0包含了脈沖函數(shù)，我們就必須區(qū)分這個積分區(qū)間包括t=0這一點，還是不包括t=0這一點。假如包括，我們把積分下限記為0-；假如不包括，我們把積分下限記為0+，于是得出了不同的拉氏變換。記第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一§2.2拉氏變換的基本公式和性質(zhì)一、常用函數(shù)的拉氏變換公式當m為正整數(shù)時，有

[注]①Γ函數(shù)具有如下的遞推公式

第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一當m是正整數(shù)時，②(9)設(shè)是[0，+∞)上的周期為T的函數(shù)，即則的拉氏變換為第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一二、拉氏變換的性質(zhì)設(shè)

則有

(1)線性性質(zhì)（設(shè)α、β為常數(shù)）（2）位移性質(zhì)（設(shè)a為常數(shù)）

（3）延遲性質(zhì)

若t<0時，則對任一非負實數(shù)有

亦可寫為

第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一[注]中的意味著（當時）

只有此式成立時才能使用延遲性質(zhì)，這一點容易被忽略，因而造成錯誤，為了避免出現(xiàn)這種錯誤。故將延遲性質(zhì)寫為(2.2.16)式的形式。

(4)微分性質(zhì)

推論

=

特別地，當初值時，有

第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一(5)積分性質(zhì)

推論

(6)象函數(shù)微分性質(zhì)

一般地，有

(7)象函數(shù)積分性質(zhì)

若積分收斂，則

一般地，有

第四十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一[注]由象函數(shù)的積分性質(zhì)得即

利用此式，可計算右端的廣義積分。這是拉氏變換的應(yīng)用之一。

在上式中令s=0，如果收斂，存在，則有

(8)卷積