第三章 剛體力學(xué)

第三章剛體力學(xué)第一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四2剛體運(yùn)動的分類只要確定剛體內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)的位置，即就確定了剛體的位置。三點(diǎn)的空間位置的確定，原則上需九個獨(dú)立變量，但事實(shí)上，由于剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離是固定不變的，所以三個質(zhì)點(diǎn)受到三個約束方程，從而從九個獨(dú)立變量減少的六個獨(dú)立變量在某些限制條件下，剛體可做少于六個獨(dú)立變量的運(yùn)動I平動在剛體運(yùn)動過程中，如

剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的連線在各個時刻都保持平行，則稱剛體做平動。運(yùn)動軌跡可是直線或曲線第二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四特點(diǎn)：剛體內(nèi)任意一點(diǎn)都具有相同的速度，加速度，所以任意一點(diǎn)的運(yùn)動都可代表剛體的運(yùn)動。所以只需3個獨(dú)立變量，就能描述剛體的平動。II定軸轉(zhuǎn)動剛體運(yùn)動時始終有兩個質(zhì)點(diǎn)不動，即剛體只能繞這兩點(diǎn)的連線做轉(zhuǎn)動，即定軸轉(zhuǎn)動。不動的兩點(diǎn)的連線就成了確定的轉(zhuǎn)軸。顯然，只需確定繞定軸轉(zhuǎn)了多少度，就能描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動，因而只需1個獨(dú)立變量來描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動。

第三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四III平面平行運(yùn)動剛體運(yùn)動時，其中任意一點(diǎn)始終平行于某一固定的平面的運(yùn)動，就叫做平面平行運(yùn)動。剛體可做平行于固定平面的平動和垂直于固定平面的轉(zhuǎn)軸做轉(zhuǎn)動.只需3個獨(dú)立變量來描述。IV定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體運(yùn)動時，只有一點(diǎn)固定不動，整個剛體圍繞著通過這一點(diǎn)的某一瞬時轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動，這樣的運(yùn)動稱為定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。只需3個獨(dú)立變量來描述，兩個確定瞬時轉(zhuǎn)動軸的空間取向，一個確定剛體繞該軸線轉(zhuǎn)了多少度。第四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四V一般運(yùn)動剛體運(yùn)動時，不受任何限制。此時可把剛體的運(yùn)動分解為質(zhì)心的平動（3個獨(dú)立變量）和繞通過質(zhì)心的某直線的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動（3個獨(dú)立變量。因而描述剛體的一般運(yùn)動需6個獨(dú)立變量，正好與剛體空間位置的確定的獨(dú)立變量數(shù)相同?！?.2角速度矢量一、有限轉(zhuǎn)動和無限小轉(zhuǎn)動第五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四yzxxxyyyzxzzxzyxyz原來的位置繞在z軸轉(zhuǎn)90度繞在y軸轉(zhuǎn)90度原來的位置繞在y軸轉(zhuǎn)90度1.有限轉(zhuǎn)動第六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四有限轉(zhuǎn)動不能對易，所以有限轉(zhuǎn)動不是矢量或者說有限角位移不是矢量。2.無限小轉(zhuǎn)動角位移：剛體繞通過定點(diǎn)O的某軸線轉(zhuǎn)個微小角度，像位移應(yīng)是一矢量，我們在轉(zhuǎn)軸上取有向線段來表示其大小和方向，有大小：方向：右手螺旋法則有大小和方向，還需證明其滿足平行四邊行法則才是矢量第七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四角位移的矢量性證明如圖所示，設(shè)某剛體繞通過定點(diǎn)O的某軸線做轉(zhuǎn)動，。其中一質(zhì)點(diǎn)在P點(diǎn)對點(diǎn)O的位矢為，經(jīng)微小過程，發(fā)生的位移為，運(yùn)動到P’點(diǎn)，此時該質(zhì)點(diǎn)的位矢OMP’P目標(biāo)：證剛體經(jīng)過兩次微小的轉(zhuǎn)動所發(fā)生的角位移和可對易，即我們知是可對易，若能用表達(dá)出，則問題就可能解決注意：既然是無限小轉(zhuǎn)動，就可把轉(zhuǎn)軸看做是不變的。所以，在定軸轉(zhuǎn)動下討論問題第八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四必垂直與和構(gòu)成的平面轉(zhuǎn)動前是：轉(zhuǎn)動后：通過類比，再轉(zhuǎn)動后的位矢：略去二階小量，第二次轉(zhuǎn)動所發(fā)生的位矢的變化量第九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四則因所以即為矢量角速度矢量

角速度：既然角位移是矢量，則角速度也是矢量，且與角位移的方向相同轉(zhuǎn)動瞬軸：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時某時刻的轉(zhuǎn)軸第十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四線速度：因轉(zhuǎn)動而具有的速度線速度和角速度之間的關(guān)系：為剛體內(nèi)某質(zhì)點(diǎn)到點(diǎn)O的位矢，是剛體繞通過該點(diǎn)某軸線的角速度注：剛體內(nèi)不同的質(zhì)點(diǎn)到點(diǎn)O的位矢不同，線速度就不同，但角速度是整個剛體所共有，剛體內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)的角速度都一樣。重要推論：從線速度的表達(dá)式，可看出某矢量因轉(zhuǎn)動而引起的對時間的變化率（實(shí)際就是該矢量方向?qū)r間變化率)等于該矢量轉(zhuǎn)動的角速度與該矢量的叉積第十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四比如在第一章：第十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四§3.3歐拉角一歐拉角描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時的三個獨(dú)立變量

歐拉角的選?。涸O(shè)O為定點(diǎn)，為靜止坐標(biāo)系，為固定在剛體上的隨動坐標(biāo)系，并選z軸為瞬時轉(zhuǎn)動軸。開始二者重合，如圖ηξO第十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四為讓兩坐標(biāo)系分離：’繞O轉(zhuǎn)動，ON稱為節(jié)線ηξx’Ny’O繞ON節(jié)線轉(zhuǎn)θηξy’’zθNx’O第十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四繞Oz轉(zhuǎn)ψy,ηzx,ξy’’zθNx’yxψψM經(jīng)三步可達(dá)任何位置，由此定義出的稱為進(jìn)動角，章動角，自轉(zhuǎn)角，相應(yīng)的取值范圍0≤≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2πON總是與轉(zhuǎn)動瞬軸z垂直，ON動（只能在固定平面繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動）則Oz必動（反過來不成立）所以轉(zhuǎn)動瞬軸z的空間取向由和確定，O注意在第三次轉(zhuǎn)動前oz,,oy’’在同一個平面，但Oy’’繞Oz轉(zhuǎn)到Oy后，已不在Oxz這個平面第十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四二，歐拉運(yùn)動學(xué)方程

如剛體繞著通過頂點(diǎn)O的某一軸線以轉(zhuǎn)動，則在活動坐標(biāo)系的投影為實(shí)際上，據(jù)剛才的分析，可認(rèn)為是剛體繞軸轉(zhuǎn)動的角速度，繞ON軸轉(zhuǎn)動的角速度，和繞z軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和Oy,ηzx,ξy’’zθNx’yxψψM注意角速度是以靜止坐標(biāo)系為參考，因而某時刻在xyz的分量是絕對的，而不是相對于隨動坐標(biāo)系的角速度，因隨坐標(biāo)系本身就固著在剛體上，與剛體具有相同的角速度，本身相對本身那角速度就是零了，顯然失去了研究的意義。第十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四y,ηzx,ξy’’zθNx’yxψψMxy已知,θ(t),ψ(t)可以求得ω，反之亦然。第十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四§3.4剛體運(yùn)動方程與平衡方程一、力系（外力組成的力系）的簡化

力的可傳性原理：剛體所受的力可沿作用線滑移而不改變其作用效果的性質(zhì)BAFF-F對剛體來講，力成為可滑移矢量力的作用線可否隨意移動？第十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四I平面非平行力系的化簡

利用力的可傳性原理，先將其中兩力匯交于一點(diǎn)，再利用平行四邊行法則求和得兩力的合力，又利用力的可傳性原理，讓該合力再與第三個力匯交于一點(diǎn)，依次類推，就能求的n個平面非平行力系的合力第十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四II平面平行力系的化簡

顯然由于不能匯交于一點(diǎn)，平行四邊形法則失效，但平面平行力系的合力量值和方向容易確定。合力的作用線可用力矩關(guān)系確定，即合力對垂直于各力所在平面的某軸線的力矩應(yīng)與各分力對同一軸線的力矩的代數(shù)和相等yzx第二十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四力偶：大小相等方向相反彼此平行的一對力AB力偶臂：兩平行力之間的垂直距離如圖所示的O1O2PO1O2力偶對任意一點(diǎn)P的力矩等于兩平行力對同一點(diǎn)P的力矩之代數(shù)和力偶矩：力和力偶臂的乘積，方向右手螺旋法則力偶面：力偶所在的平面即為力偶面矩心P是任意的，但力偶矩的大小和方向是確定的，所以力偶矩與矩心無關(guān)，力偶矩可在垂直于力偶面隨意滑動，因而是一“自由矢量”，其唯一的作用效果就是產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)第二十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四若以的作用點(diǎn)A為參考，為的作用點(diǎn)B指向點(diǎn)A的位矢則合力矩，反過來也行III空間共點(diǎn)力系和平行力系的化簡與共面力系相同，共點(diǎn)力系兩兩合成，平行力系先得合力大小方向，再利用合力的對某垂直平行力的軸線之力矩等于各分力對同軸線力矩之代數(shù)來確定合力的作用線

第二十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四III空間任意力系的簡化設(shè)為作用在剛體A點(diǎn)上的一個力，P點(diǎn)為空間任意一點(diǎn)，但不在的作用線上。在P點(diǎn)添加兩個與的作用線平行的力,,并讓這兩個力大小都等于，但方向相反，即AP顯然這樣添加之后，給沒添加的作用效果完全一樣，因而我們可以把力的作用效果分解為過指定的P點(diǎn)的一個力和一個力偶的作用效果。該力：大小方向與相同，即把遷移到了P點(diǎn)，但要消除遷移的影響，必加上一力偶，相對于P，該力偶矩。而P點(diǎn)稱為簡化中心。本質(zhì)就是加上該力對簡化中心的力矩.因而我們也可以說某力對某點(diǎn)的力矩等價于一力偶第二十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四推廣到n個力組成的任意力系，我們可采用同樣的方法，確定一簡化中心P，對每一個力進(jìn)行遷移并加上相應(yīng)的一力偶，從而可在P點(diǎn)形成共點(diǎn)的n個力和n個力偶相應(yīng)的力偶矩，對它們矢量求和，即可得合力和合力偶矩，并分別稱為主矢和主矩在剛體力學(xué)中，通常以質(zhì)心作為簡化中心，于是主矢使剛體質(zhì)心的平動運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化，而外力對質(zhì)心的主矩則使剛體繞通過質(zhì)心的軸線的轉(zhuǎn)動運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化。若主矢和主矩都為零，則剛體處于平衡態(tài)；僅主矩為零，剛體只做平動；僅主矢為零，剛體只做轉(zhuǎn)動；都不為零，既做平動也做轉(zhuǎn)動。第二十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四二、剛體的運(yùn)動微分方程1.質(zhì)心運(yùn)動方程根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理，取質(zhì)心為簡化中心，則

分量式：

繞質(zhì)心的運(yùn)動方程則為：

分量式：

剛體對質(zhì)心的總角動量對時間的微商等于剛體所受諸外力對質(zhì)心的力矩之矢量和，即等于以質(zhì)心為簡化中心的主矩為剛體質(zhì)心相對于某定點(diǎn)O的位矢第二十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四轉(zhuǎn)動相對于固定坐標(biāo)系某定點(diǎn)O而言，角動量定理也具有相同的形式此時以定點(diǎn)O為簡化中心從剛才的分析，處理剛體的運(yùn)動，通常分解為剛體質(zhì)心的平動和繞剛體質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理（動量定理）和對質(zhì)心的角動量定理求解。共六個方程，而剛體的一般運(yùn)動只需用六個獨(dú)立變量來描述，因而正好可以求解第二十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四對剛體的動能定理，與對普通質(zhì)點(diǎn)組有所不同，此時由于兩質(zhì)點(diǎn)間的距離不在發(fā)生變化,內(nèi)力所做的功等于零，剛體總動能的微分僅僅等于所有外力所做的元功O21若諸外力都是保守力，則剛體的機(jī)械能守恒剛體的動能定理或機(jī)械能守恒定律為輔助方程，可代替前面六個方程的任何一個來進(jìn)行求解第二十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四三、剛體的平衡方程從前面的分析，剛體在任意力系下，要平衡，就必須滿足以任意點(diǎn)為簡化中心的主矢和主矩分別為零，即或者通俗的說剛體平衡要求剛體所受的合外力和諸外力對任意點(diǎn)的力矩必為零，若寫成分量形式即為與剛體的運(yùn)動微分方程相似，剛體有六個獨(dú)立變量，上面的六個分量方程剛好規(guī)定了一剛體在外力作用下的平衡位形第二十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四對共面力系（以力系所在平面為xoy面）：（1）對共面共點(diǎn)力系（包括定點(diǎn)或定軸所施加的作用力都通過該點(diǎn)），對剛體無轉(zhuǎn)動效果，力矩必然是零，所以合力為零即可（2）對平行力系，如與y軸平行，則只需（3）對只受三非平行共面力系，剛體平衡要求三力必交匯于一點(diǎn)。因不交匯于一點(diǎn)就必有轉(zhuǎn)動效果,如圖F1F3F2該條件也等價于共面力系對不共線的三點(diǎn)的力矩為零。由于共面力系等價于一力或一力偶（視參考點(diǎn)來說的），又因力偶的矩心是任意的，所以只要對一點(diǎn)的力矩為零，則力共面力系不能簡化為一力偶；對不共線的三點(diǎn)力矩為零，則不可能簡化為一單力（兩點(diǎn)可以,單力剛好通過該兩點(diǎn)）第二十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四例1，如圖一根均勻的棍子，重為P，長為今將其一端置于粗糙的地面上，又以其上的C點(diǎn)靠在墻上，墻離地面的高度為h,當(dāng)棍子與地面的角度成最小值時，棍子在上述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍與地面的摩擦因素xyN1N2PfAC第三十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四例2，長為的均質(zhì)棒，一端抵在光滑墻上而棒身則斜靠在與墻相距為的光滑菱角上，求棒在平衡時與水平面的夾角N1N2GAByx可用平衡方程和三線匯交于一點(diǎn)的幾何方法第三十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四§3.5轉(zhuǎn)動慣量一、剛體的動量矩（角動量）1.矢量式假設(shè)剛體在某一時刻以角速度繞某瞬時軸線做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，在其內(nèi)部任取一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為，速度為。若該質(zhì)點(diǎn)相對于定點(diǎn)O的位矢是，則它對定點(diǎn)O的角動量為Oxyz整個剛體的角動量則為第三十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四由于兩矢量點(diǎn)積是一標(biāo)量，所以上式表明和一般不共線，而是成一定的夾角。只有當(dāng)下面兩種情況，不僅共線而且同向（1）剛體做平面平行運(yùn)動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，在上述表達(dá)式的第二項(xiàng)，以質(zhì)心為，所以為零，因而

（2）剛體做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，但轉(zhuǎn)軸為慣量主軸（本節(jié)后面部分）也可從任意一平行于固定平面的薄片能代表整個剛體的運(yùn)動來理解，o點(diǎn)在薄片上，從特殊到一般第三十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四2.剛體角動量的分量式在某固定坐標(biāo)系下（下面求和符號均表示是從i到n求和）??????++--=-++-=)()(2222iiiziiiyiiixziiiziiiyiiixyyxmyzmxzmJzymxzmxymJwwwwww類比于上式第三十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四定義則?????????+==-==+====+=)()()(222222iiizziiizyiiizxiiiyziiiyyiiiyxiiixziiixyiiixxyxmIyzmIxzmIzymIxzmIxymIzxmIyxmIzymI比較有規(guī)律，對角線上為正，非對角為負(fù)，系數(shù)（正負(fù)包括在內(nèi)）則是慣量張量。第三十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四二、剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能的另一種表達(dá)形式：轉(zhuǎn)動慣量O’Oriωθi第三十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四三、轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量，是表征物體轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣性大小的一種量度，與平動時的質(zhì)量相當(dāng)。有大小沒有方向。轉(zhuǎn)動慣量總是針對于某軸來說的，因此其大小，一方面取決于質(zhì)量的分布，一方面取決于轉(zhuǎn)動軸。比如，一根均質(zhì)棒繞垂直于端點(diǎn)和繞垂直于中心的軸線轉(zhuǎn)動，顯然其轉(zhuǎn)動慣性的大小不一樣，所以其轉(zhuǎn)動慣量也不一樣。練習(xí)求均質(zhì)圓盤或圓環(huán)繞x和z軸的轉(zhuǎn)動慣量；可以以它們?yōu)槲⒃髮?shí)心球或圓柱體，空心球或圓筒的繞通過圓心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。微元相對于轉(zhuǎn)軸的垂直距離離散連續(xù)第三十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四（離散的采用求和，連續(xù)的采用積分）但存在著本質(zhì)的區(qū)別。除概念上的不同外，另一方面，一質(zhì)點(diǎn)組確定后，質(zhì)心則是確定的，不因參考點(diǎn)的不同而不同（相對剛體的空間位置），但剛體對不同的轉(zhuǎn)動軸線，如前面所講是不同的。對于質(zhì)量分布不均或形狀不規(guī)則，兩者均從實(shí)驗(yàn)得出對質(zhì)量均勻分別或按一定規(guī)律分布的剛體，求轉(zhuǎn)動慣量的方法與求質(zhì)心類似。第三十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四平行軸定理：對質(zhì)量為m的剛體，若對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，則對任意一平行于質(zhì)心軸，相距為d的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為對任意兩平行軸，則要經(jīng)過一定的變換分別為兩軸線到與它們平行的質(zhì)心軸的距離

回轉(zhuǎn)半徑：對質(zhì)量按一定規(guī)律分布的剛體，可認(rèn)為在轉(zhuǎn)動中，等效于質(zhì)量集中在某一點(diǎn)上的一個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，該點(diǎn)離某軸線的垂直距離為K,則剛體對該軸線的轉(zhuǎn)動慣量與該等效質(zhì)點(diǎn)對同一軸線的轉(zhuǎn)動慣量相等，即稱為回轉(zhuǎn)半徑第三十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四四、慣量張量和慣量橢球1.對xyz軸的轉(zhuǎn)動慣量和慣量積在某靜止坐標(biāo)系下，對質(zhì)量分布均勻，且形狀規(guī)則的剛體分別稱為剛體對x,y,z軸的轉(zhuǎn)動慣量而叫做慣量積2.在靜止坐標(biāo)系，剛體對通過原點(diǎn)O的任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量第四十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四若某一通過點(diǎn)O的瞬時軸線（取角速度的方向?yàn)檎颍,y,z軸的方向余弦為則代入上式則得剛體對通過原點(diǎn)o的任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量只需某時刻三個對軸的轉(zhuǎn)動慣量和三個慣量積（隨時間可能變化），則對任意過o點(diǎn)瞬軸的轉(zhuǎn)動慣量便可通過該式求解第四十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四3.慣量張量該矩陣稱為對O點(diǎn)慣量張量。具有九個分量的物理量是二階張量，因而對O點(diǎn)慣量張量是一二階張量，其組元稱為慣性系數(shù)，其如此排列的原因一方面取決于二階張量形式，另一方面取決于下面原因固定坐標(biāo)系：三個軸轉(zhuǎn)動慣量和六個慣量積作為統(tǒng)一的物理量來代表剛體轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣性的量度可按一定規(guī)律排成下列矩陣形式第四十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四（1）對過靜止坐標(biāo)系原點(diǎn)o的任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量，可通過該矩陣用矩陣乘法得之（2）對靜止坐標(biāo)系原點(diǎn)o的角動量的分量即可表為矩陣相乘是行乘列再相加第四十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四4.以隨動坐標(biāo)系為參考，對過原點(diǎn)o任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量的求解選固連在剛體上的坐標(biāo)系為參考（隨動坐標(biāo)系），則剛體對各軸的轉(zhuǎn)動慣量及慣量積是常數(shù)在轉(zhuǎn)動軸上截取一線段I為繞該軸線的轉(zhuǎn)動慣量第四十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四這是Q點(diǎn)所滿足的方程，是一以o為中心的二次曲面，Q點(diǎn)在該二次曲面上變動。該曲面一般為閉合面,（I有限，R有限）且閉合面是一中心在O點(diǎn)的橢球面，通常稱為慣量橢球，若o點(diǎn)正好是質(zhì)心，則為中心慣量橢球，所以上述方程也稱為慣量橢球方程第四十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四用處在于：可利用慣量橢球求對過原點(diǎn)o任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量。因慣量橢球確定后，任意過o點(diǎn)軸線與橢球面的交點(diǎn)能確定，o點(diǎn)到任該Q點(diǎn)的的距離R便確定，據(jù)xyzO’Q若知慣量系數(shù)則可作出慣量橢球第四十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四五、慣量主軸及其求法1.慣量主軸利用上面的慣量橢球方法，原則上可求對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量，但慣量系數(shù)的確定十分麻煩，應(yīng)近一步簡化。在剛體上選取適當(dāng)坐標(biāo)軸以消去慣量積。方法：由于每一慣量橢球都有三條相互垂直的主軸，橢球?qū)υ撊龡l主軸是對稱的，若以該三軸為坐標(biāo)軸（或旋原來的坐標(biāo)軸讓其與三坐標(biāo)軸重合），則含有異坐標(biāo)相乘的項(xiàng)將消去

慣量主軸：慣量橢球的主軸第四十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四以慣量主軸為坐標(biāo)軸則慣性系數(shù)只有,并通常記為即第四十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四2.確定慣量主軸的方法（1）解析法橢球與主軸交點(diǎn)的位矢與該點(diǎn)法線方向一致（2）幾何法適用于幾何對稱，質(zhì)量分布均勻的剛體10若剛體有一對稱軸，如oz軸，則該軸為慣量主軸

第四十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四20如剛體有一對稱面，則此面的垂線為慣量主軸

與xoy面垂直的z軸就是慣量主軸例，均勻長方體的邊長為a和b,求此長方形薄片繞其對角線轉(zhuǎn)動是的轉(zhuǎn)動慣量第五十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四1）直接積分法第五十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期四xyabθ2）第五