第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 第5節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第5節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考試要求知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識(shí)梳理1.根式的概念及性質(zhì)根式2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝______；(ar)s＝____；(ab)r＝_____，其中a>0，b>0，r，s∈R.3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)ar＋sarsarbr(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

a>10<a<1圖象定義域R值域______________性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)____________，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，________；當(dāng)x<0時(shí)，____________當(dāng)x<0時(shí)，________；當(dāng)x>0時(shí)，____________在(－∞，＋∞)上是________在(－∞，＋∞)上是________(0，＋∞)(0，1)y>10<y<1y>10<y<1增函數(shù)減函數(shù)常用結(jié)論×診斷自測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)×××(3)由于指數(shù)函數(shù)解析式為y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指數(shù)函數(shù)，故(3)錯(cuò)誤.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)錯(cuò)誤.2解析∵f(x)＝(a2－3)·ax為指數(shù)函數(shù)，∴a2－3＝1且a>0，a≠1，∴a＝2.2.(易錯(cuò)題)若函數(shù)f(x)＝(a2－3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a＝________.(0，1)∪(1，＋∞)4.函數(shù)f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)________.(1，3)2c<b<aKAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算π＋80解析∵f(b)＝3b＋3－b＝4，∴f(2b)＝32b＋3－2b＝(3b＋3－b)2－2＝42－2＝14.4.已知f(x)＝3x＋3－x，f(b)＝4，則f(2b)＝________.141.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).感悟提升考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用A.a＝b＝0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a例1(1)已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足等式2022a＝2023b，下列等式一定不成立的是(

)C解析如圖，觀察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.解析在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示.(2)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.(0，2)∴當(dāng)0<b<2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn).∴b的取值范圍是(0，2).1.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論.2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.感悟提升A.a>1，b<0 B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0訓(xùn)練1

(1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

)D解析由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.又f(0)＝a－b<a0，所以－b>0，即b<0.解析在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝|3x－1|與y＝－m的圖象，如圖所示.(2)如果函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________.(－∞，－1]由函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則y＝|3x－1|與y＝－m在第二象限沒(méi)有交點(diǎn)，由圖象知－m≥1，即m≤－1.角度1比較指數(shù)式的大小考點(diǎn)三解決與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a例2

(1)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是(

)C解析∵函數(shù)y＝0.6x是減函數(shù)，0<0.6<1.5，∴1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.∵函數(shù)y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，0.6>0，∴1.50.6>1.50＝1，即c>1.綜上，b<a<c.解析∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，①令f(x)＝ex－π－x，則f(x)是R上的增函數(shù)，①式即為f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列結(jié)論一定成立的是(

)A.a＋b≤0 B.a－b≥0 C.a－b≤0 D.a＋b≥0D角度2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式B∴2x2＋1≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解析由題意得a>－4x＋2x＋1對(duì)x∈R恒成立，令t＝2x，則t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1.∴a>1.例4

(1)不等式4x－2x＋1＋a>0，對(duì)?x∈R都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.角度3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1，＋∞)解析由題意知f(x)是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，則f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0，即f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(1－2t2).1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.感悟提升A.c<b<a B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<bA故函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，又y＝2x在定義域上單調(diào)遞增，y＝2－x在定義域上單調(diào)遞減，所以f(x)＝2x－2－x在定義域上單調(diào)遞增，由20.3>1，0<0.20.3<1，log0.32<0，可得f(20.3)>f(0.20.3)>f(log0.32)，則a>b>c.(－∞，－1]因此t＝x2＋2x＋3的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1]，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1].FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固CCDA.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜bDA.(－2，1) B.(－4，3) C.(－3，4) D.(－1，2)5.(2021·衡水中學(xué)檢測(cè))當(dāng)x∈(－∞，－1]時(shí)，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)DA.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天6.(2020·新高考山東卷)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿(mǎn)足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)(

)B由題意，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍，則I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2，解析由于g(x)＝a|x＋b|是偶函數(shù)，知b＝0，又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，得a>1.則g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，故g(a)>g(1)＝g(b－1).8.設(shè)偶函數(shù)g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則g(a)與g(b－1)的大小關(guān)系是____________.g(a)>g(b－1)解析當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)∈[－8，1]，[－3，0)(1)求b的值；解因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，則b＝1(經(jīng)檢驗(yàn)，b＝1時(shí)f(x)為奇函數(shù)，滿(mǎn)足題意).因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等價(jià)于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).易知f(x)是R上的減函數(shù)，所以t2－2t>－2t2＋k.(2)?t∈R，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍.(1)求實(shí)數(shù)m的值；解∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0，得m＝－1，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，∴m＝－1.(2)設(shè)g(x)＝2x＋1－a，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.B級(jí)能力提升12.若關(guān)于x的方程|a