高中數(shù)學(xué)北師大版必修函數(shù)4函數(shù)的奇偶性與簡(jiǎn)單的冪函數(shù)函數(shù)的奇偶性【全國(guó)一等獎(jiǎng)】

第2課時(shí)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，你能結(jié)合奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)將下圖補(bǔ)充完整嗎？1.掌握函數(shù)奇偶性的簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.了解函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心滿足的條件.通過(guò)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，熟悉掌握轉(zhuǎn)化、對(duì)稱等思想方法（邏輯推理）會(huì)求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，解決求值問(wèn)題（直觀想象）探究一

根據(jù)函數(shù)奇偶性畫函數(shù)圖象

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如果能夠畫出偶函數(shù)在y軸一側(cè)的圖象，則根據(jù)對(duì)稱性就可補(bǔ)全該函數(shù)在y軸另一側(cè)的圖象.

奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，如果能夠畫出函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)一側(cè)的圖象，則根據(jù)對(duì)稱性可以補(bǔ)全該函數(shù)在原點(diǎn)另一側(cè)的圖象.例1.畫出下列函數(shù)的圖象（1）（2）提示：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，不難知道函數(shù)是偶函數(shù)，這樣只要畫出了在x≥0時(shí)的函數(shù)圖象就可以根據(jù)對(duì)稱性畫出函數(shù)在x<0時(shí)的圖象.（2）函數(shù)是奇函數(shù)，同樣根據(jù)對(duì)稱性解決.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，其圖象是以點(diǎn)(1,-1)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向上的拋物線，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0)(2,0).此時(shí)函數(shù)圖象在y軸右半部分如圖所示：根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性得到整個(gè)函數(shù)的圖象，如圖.（2）函數(shù)是奇函數(shù)，可以證明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，且在（0，+∞）上函數(shù)值都是正值，函數(shù)在（0，+∞）上的最小值為2.（這些都可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明）根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，如圖第一象限內(nèi)部分.根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱畫出這整個(gè)函數(shù)的圖象，如圖。設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?5,5]，當(dāng)x∈［0,5]時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，（1）作出函數(shù)在［-5,0]上的圖象.（2）求使函數(shù)y＜0的x的取值范圍.【變式練習(xí)】利用奇函數(shù)圖象的性質(zhì)，畫出函數(shù)在[－5,0]上的圖象，直接從圖象中讀出信息．由原函數(shù)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．由圖象知，使函數(shù)值y<0的x的取值范圍為(－2,0)∪(2,5)．【解析】探究二

根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式例2.已知函數(shù)f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根據(jù)下列條件求函數(shù)在（-∞，0）上的解析式.（1）f(x)是偶函數(shù)；（2）f(x)是奇函數(shù).分析：求函數(shù)f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求當(dāng)時(shí)，如何用含x的表達(dá)式表示f(x).能夠利用的已知條件是函數(shù)在（0，+∞）上的函數(shù)解析式，這樣就要把（-∞，0）上的自變量轉(zhuǎn)化到（0，+∞）上的自變量.根據(jù)偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義，具備奇偶性的函數(shù)在定義域的對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)值是符合奇偶性定義的，對(duì)偶函數(shù)就是f(x)=f(-x)，這樣當(dāng)時(shí)，，而在（0，+∞）上的函數(shù)解析式是已知的.對(duì)奇函數(shù)同樣處理.（1）當(dāng)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，滿足f(x)=f(-x)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，滿足f(x)=-f(-x).當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，【解析】探究三

利用函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的單調(diào)性回顧例1中兩個(gè)函數(shù)的圖象從第（1）個(gè)函數(shù)圖象上可以看出函數(shù)在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性恰好相反，這也是偶函數(shù)的單調(diào)性的一般規(guī)律.從第（2）個(gè)函數(shù)圖象上可以看出函數(shù)在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，這也是奇函數(shù)的單調(diào)性的一般規(guī)律.例3.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，證明函數(shù)在（-∞，0）上也是減函數(shù).分析：根據(jù)證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，先在(-∞，0)上取值，然后作差，通過(guò)函數(shù)是奇函數(shù)，把函數(shù)在(-∞，0)上的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到（0，+∞）上的函數(shù)值，再根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，確定所作的差的符號(hào)，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到證明的結(jié)論.所以-f(x1)+f(x2)<0，即f(x1)-f(x2)>0.證明：在（-∞，0）上任取x1<x2，則-x1>-x2>0因?yàn)楹瘮?shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以根據(jù)減函數(shù)的定義，函數(shù)f(x)在（-∞，0）上是減函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系(1)若f(x)是奇函數(shù),則f(x)在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性一致;若f(x)是偶函數(shù),則f(x)在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.(2)奇函數(shù)在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值相反,且互為相反數(shù);偶函數(shù)在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值相等.【規(guī)律方法】例4：若f(x)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?-∞,+∞)，且在[0,+∞)上是減函數(shù)，則與的大小關(guān)系是________________.提示：要比較各函數(shù)值的大小，需將要比較的自變量的值化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后再根據(jù)單調(diào)性比較大小.

因?yàn)橛忠驗(yàn)閒(x)在［0,+∞)上是減函數(shù),所以又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以所以【解析】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)利用奇偶性求分段函數(shù)求解析式，求誰(shuí)令誰(shuí)比大小時(shí)注意利用奇偶性將變量轉(zhuǎn)化到同一區(qū)間繪制補(bǔ)全函數(shù)圖像培養(yǎng)直觀想象，比大小解不等式培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)利用定義法證明函數(shù)奇偶性一定要注意先求定義域利用奇偶性求分段函數(shù)解析式，注意靈活運(yùn)用定義利用奇偶性求函數(shù)解析式奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)利用奇偶性求參數(shù)值比大小、解不等式奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系1.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+6),那么f(10)+f(4)的值為_(kāi)____.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，f(1)=2,f(x+1)=f(x+6),所以f(0)=0,f(-1)=-2,f(10)=f(5)=f(0)=0,f(4)=f(-1)=-2,故f(10)+f(4)=-2.-2【解析】2.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在(－∞，0]上為增函數(shù)，試比較f(－2)與f(1)的大?。窘馕觥恳?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(1)＝f(－1),又因?yàn)閒(x)在(－∞，0]上為增函數(shù)，－2＜－1，所以f(－2)＜f(－1)＝f(1)，即f(－2)＜f(1).3.已知函數(shù)f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數(shù)，且在[-4，4]上單調(diào)遞增．若f（a+1）+f（a-3）＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數(shù)，且在[-4，4]上單調(diào)遞增．若f（a+1）+f（a-3）＜0，則f（a+1）＜f（3-a），解得-1＜a＜1.4.定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則(

) A.f(3)<f(－4)<f(－π) B.f(－π)<f(－4)<f(3) C.f(3)<f(－π)<f(－4) D.f(4)<f(－π)<f(3)C【解析】選C.因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶