新人教版高中數(shù)學(xué)教材例題課后習(xí)題必修二64平面向量的應(yīng)用

6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法例1如圖，是的中位線，用向量方法證明：，.分析：我們在初中證明過這個結(jié)論，證明中要加輔助線，有一定難度.如果用向量方法證明這個結(jié)論，可以取為基底，用，表示，，證明即可.證明：如圖，因為是的中位線，所以，.從而.又，所以，于是，.例2如圖，已知平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)對角線和的長度與兩條鄰邊和的長度之間的關(guān)系嗎？分析：平行四邊形中與兩條對角線對應(yīng)的向量恰是與兩條鄰邊對應(yīng)的兩個向量的和與差，我們可以通過向量運算來探索它們的模之間的關(guān)系.解：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題：如圖，取為基底，設(shè)，，則，.第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系：，.上面兩式相加，得.第三步，把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：.練習(xí)1.證明：等腰三角形的兩個底角相等.2.如下圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M，求的余弦值.3.如下圖，在中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N.設(shè)，，求的值.6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例例3在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，兩個拉力夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析：不妨以兩人共提旅行包為例，只要研究清楚兩個拉力的合力、旅行包所受的重力以及兩個拉力的夾角三者之間的關(guān)系，就可以獲得問題的數(shù)學(xué)解釋.解：先來看共提旅行包的情況.如圖，設(shè)作用在旅行包上的兩個拉力分別為，，為方便起見，我們不妨設(shè).另設(shè)，的夾角為，旅行包所受的重力為.由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道.這里，為定值.分析上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)，當由0逐漸變大到時，由0逐漸變大到，的值由大逐漸變小，此時由小逐漸變大；反之，當由逐漸變小到0時，由逐漸變小到0，的值由小逐漸變大，此時由大逐漸變小.這就是說，，之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力.同理，在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力.事實上，要使最小，只需最大，此時，可得.于是的最小值為，若要使，只需，此時，即.例4如圖，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，那么當航程最短時，這艘船行駛完全程需要多長時間（精確到min）？分析：如果水是靜止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行駛，就能使航程最短，此時所用時間也是最短的.考慮到水的流速，要使航程最短，船的速度與水流速度的合速度必須垂直于河岸.解：設(shè)點B是河對岸一點，與河岸垂直，那么當這艘船實際沿著方向行駛時，船的航程最短.如圖，設(shè)，則.此時，船的航行時間.所以，當航程最短時，這艘船行駛完全程需要min.練習(xí)1.一物體在力F的作用下，由點移動到點.已知，求對該物體所做的功.2.如圖，一滑輪組中有兩個定滑輪A，B，在從連接點O出發(fā)的三根繩的端點處，掛著3個重物，它們所受的重力分別為4N，4N和.此時整個系統(tǒng)恰處于平衡狀態(tài)，求的大小.3.若平面上的三個力，，作用于一點，且處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為，求：（1）的大??；（2）與夾角的大小.6.4.3余弦定理、正弦定理例5在中，已知，，，解這個三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）.解：由余弦定理，得，所以.由余弦定理的推論，得，利用計算器，可得.所以.例6在中，，，銳角C滿足，求B（精確到1°）.分析：由條件可求，再利用余弦定理及其推論可求出B的值.解：因為，且C為銳角，所以.由余弦定理，得，所以.進而.利用計算器，可得.練習(xí)1.（1）在中，已知，，，解這個三角形（角度精確到，邊長精確到）；（2）在中，已知，，，求C.2.在中，已知，，，解這個三角形.例7在中，已知，，，解這個三角形.解：由三角形內(nèi)角和定理，得.由正弦定理，得，.例8在中，已知，，，解這個三角形.分析：這是已知三角形兩邊及其一邊對角求解三角形的問題，可以利用正弦定理.解：由正弦定理，得.因為，，所以.于是，或.（1）當時，.此時.（1）當時，.此時.由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間內(nèi)，余弦函數(shù)單調(diào)遞減，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以利用正弦定理求角，可能有兩解.練習(xí)1.完成下列解三角形問題（角度精確到，邊長精確到1cm）；（1）在中，已知，，；（2）在中，已知，，.2.（1）在中，已知，，，求b和C；（2）在中，已知，，，求C.例9如圖，A，B兩點都在河的對岸（不可到達），設(shè)計一種測量A，B兩點間距離的方法，并求出A，B間的距離.分析：若測量者在A，B兩點的對岸取定一點C（稱作測量基點），則在點C處只能測出的大小，因而無法解決問題.為此，可以再取一點D，測出線段的長，以及，，，這樣就可借助正弦定理和余弦定理算出距離了.解：如圖，在A，B兩點的對岸選定兩點C，D，測得，并且在C，D兩點分別測得，，，.在和中，由正弦定理，得，.于是，在中，由余弦定理可得A，B兩點間的距離.例10如圖，是底部B不可到達的一座建筑物，A為建筑物的最高點.設(shè)計一種測量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度.分析：由銳角三角函數(shù)知識可知，只要獲得以點C（點C到地面的距離可求）到建筑物的頂部A的距離，并測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高度.為此，應(yīng)再選取一點D，構(gòu)造另一個含有的，并進行相關(guān)的長度和角度的測量，然后通過解三角形的方法計算出.解：如圖，選擇一條水平基線，使H，G，B三點在同一條直線上.在G，H兩點用測角儀器測得A的仰角分別是，，，測角儀器的高是h.那么，在中，由正弦定理，得.所以，這座建筑物的高度為.例11位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即前往救援，同時把消息告知位于甲船南偏西30°，且與甲船相距7nmile的C處的乙船.那么乙船前往營救遇險漁船時的目標方向線（由觀測點看目標的視線）的方向是北偏東多少度（精確到1°）？需要航行的距離是多少海里（精確到1nmile）？分析：首先應(yīng)根據(jù)“正東方向”“南偏西30°”“目標方向線”等信息，畫出示意圖解：根據(jù)題意，畫出示意圖（圖）.由余弦定理，得.于是由正弦定理，得，于是.由于，所以.因此，乙船前往營救遇險漁船時的方向約是北偏東，大約需要航行24nmile.練習(xí)1.如圖，一艘船向正北航行，航行速度的大小為32.2nmile/h，在A處看燈塔S在船的北偏東的方向上.30min后，船航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東的方向上.已知距離此燈塔6.5nmile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？2.如下圖，在山腳A測得山頂P的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走am到達B處，在B處測得山頂P的仰角為.求證：山高.3.如下圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東的方向航行67.5nmile后到達海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東的方向航行54nmile后到達海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C，那么這艘船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行的距離是多少？（角度精確到，距離精確到0.01nmile）習(xí)題復(fù)習(xí)鞏固1.已知非零向量與滿足且，則為（）A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】【分析】由已知數(shù)量積相等，結(jié)合數(shù)量積的定義可得出，再由數(shù)量積的定義求得，從而判斷出三角形形狀．【詳解】解：中，，，，，，，是等腰三角形；又，，，，∴是等邊三角形.故選：D.2.已知點O、N、P在所在平面內(nèi)，且，，，則點O、N、P依次是的（）A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心【答案】C【解析】【分析】由知O是的外心；利用共起點向量加法將變形為共線的兩向量關(guān)系，得到N點在中線上的位置，從而判斷為重心；由移項利用向量減法變形為，得出PB為CA邊上的高，同理得PC為AB邊上的高，故為垂心.【詳解】，則點O到的三個頂點距離相等，O是的外心.，，設(shè)線段AB的中點為M，則，由此可知N為AB邊上中線的三等分點(靠近中點M)，所以N是的重心.，.即，同理由，可得.所以P是的垂心.故選：C.【點睛】關(guān)于四心的向量關(guān)系式：O是的外心；O是的重心；O是的垂心；O是的內(nèi)心.(其中為的三邊)3.用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角.【答案】見解析【解析】【分析】設(shè)的半徑為r，AB為的直徑，C為圓周上一點，則，通過計算可得結(jié)果．【詳解】證明：如圖，設(shè)的半徑為r，AB為的直徑，C為圓周上一點，則.,即為直角.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4.兩個粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為.（1）寫出此時粒子B相對粒子A的位移；（2）計算在上的投影向量.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過計算可得；（2）根據(jù)投影公式計算即可．【詳解】解：（1）；（2）設(shè)與的夾角為，則，所以在上的投影向量為：．【點睛】本題考查向量的坐標運算以及向量的幾何意義，是基礎(chǔ)題．5.一個人在靜水中游泳時，速度的大小為.當他在水流速度的大小為的河中游泳時，（1）如果他垂直游向河對岸，那么他實際沿什么方向前進（角度精確到1°）？實際前進速度的大小為多少？（2）他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進（角度精確到1°）？實際前進速度的大小為多少？【答案】（1）此人沿與水流方向成的方向前進，實際前進速度為；（2）此人應(yīng)沿與河岸夾角的余弦值為的方向逆著水流方向前進，實際前進速度為.【解析】【分析】（1）設(shè)人游泳的速度為，水流的速度為，根據(jù)向量加法的運算法則進行求解；（2）根據(jù)向量加法的運算法則以及向量模長的公式進行求解．【詳解】解：（1）如圖（1），設(shè)人游泳的速度為，水流的速度為，以O(shè)A，0B為鄰邊作，則此人的實際速度為.在中，，所以，實際前進的速度，故此人沿與水流方向成的方向前進，實際前進速度為；（2）如圖（2），設(shè)此人的實際速度為，水流速度為，則游速為.在中，，所以，故此人應(yīng)沿與河岸夾角的余弦值為的方向逆著水流方向前進，實際前進速度為.【點睛】本題主要考查向量在物理中的應(yīng)用，結(jié)合向量加法的運算法則以及向量夾角的定義是解決本題的關(guān)鍵．6.在中，分別根據(jù)下列條件解三角形（角度精確到1°，邊長精確到）：（1）；（2）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）運用余弦定理，可得，再由正弦定理可得角，由內(nèi)角和定理，可得角．（2）由余弦定理和內(nèi)角和定理，可解三角形．【詳解】解：（1）由余弦定理可得，，解得，由正弦定理可得，則銳角，則角，則有；（2）由余弦定理可得，，，，，則有．【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的運用，考查內(nèi)角和定理的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.在中，分別根據(jù)下列條件解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）：（1）；（2）.【答案】（1）.（2）或.【解析】【分析】利用正弦定理，結(jié)合角的正弦值，注意運用三角形的邊角關(guān)系和內(nèi)角和定理，即可解三角形．【詳解】（1），，，故；（2）由正弦定理得，則或，當，；當．故或.【點睛】本題考查正弦定理，考查解三角形，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．8.如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D.現(xiàn)測得，，，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高.【答案】【解析】【詳解】在△BCD中，.由正弦定理得所以在Rt△ABC中，塔高為.9.在氣象臺A正西方向處有一臺風(fēng)中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為，距臺風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響.若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變，氣象臺所在地是否會受到臺風(fēng)的影響？如果會，大約多長時間后受到影響？持續(xù)時間有多長（精確到）？【答案】大約2小時后，氣象臺所在地會受到臺風(fēng)影響，持續(xù)時間約為6小時36分鐘.【解析】【分析】先作圖，根據(jù)圖像算出氣象臺所在地距離臺風(fēng)中心的距離即可判斷是否會受到臺風(fēng)的影響；另外利用余弦定理，算出會受到臺風(fēng)影響的臨界點，進而可得受到影響的時間．【詳解】解：如圖設(shè)臺風(fēng)中心為B，BD為臺風(fēng)經(jīng)過的路徑所在的直線，則，過A作于C，則，，∴氣象臺所在地會受到臺風(fēng)的影響，設(shè)以A為圓心，以為半徑的圓與直線BD交于E，F(xiàn)兩點，設(shè)，由余弦定理得是方程的根，方程整理得，解得，，∴大約2小時后，氣象臺所在地會受到臺風(fēng)影響，持續(xù)時間約為6小時36分鐘.【點睛】本題考查余弦定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是要求出受臺風(fēng)影響的臨界點，是中檔題．10.在中，已知，，，求、．【答案】，．【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計算出的值，利用正弦定理可求出的值，利用兩角和公式求得的值，然后利用正弦定理可求出的值.【詳解】由，可知角為銳角，則．由正弦定理，得．，由正弦定理，得．【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.綜合運用11.已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P.已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點P，求點P的坐標.【答案】.【解析】【分析】先通過題意求出的坐標，再利用得結(jié)果．【詳解】解：由已知，，∴點的坐標為.【點睛】本題考查向量的坐標運算，關(guān)鍵是題目給出的運算規(guī)律的理解和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．12.如圖，在中，已知，BC，AC邊上的兩條中線AM，BM相交于點P，求的余弦值.【答案】【解析】【分析】即為與的夾角，先用將與表示出來，求出以及，，代入公式即可．【詳解】解：∵M，N分別是BC，AC的中點，.與的夾角等于.，，，．【點睛】本題考查平面向量基本定理以及向量的夾角公式，考查計算能力，是中檔題．13.一條河的兩岸平行，河的寬度，一般船從河岸邊的A的大小為，水流速度的大小為.如果要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距離與合速度的大小的比值必須最小.此時我們分三種情況討論：（1）當船逆流行駛，與水流成鈍角時；（2）當船順流行駛，與水流成銳角時；（3）當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時.請同學(xué)們計算上面三種情況下船行駛的時間，判斷是否當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時所用時間最短.【答案】當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時，所用時間最短，計算見解析【解析】【分析】求出速度往船垂直于對岸方向的分解速度，再利用距離除以速度等于時間來球結(jié)果即可．【詳解】解：設(shè)與的夾角為，船行駛的時間為t,.（1）當為鈍角時，；（2）當為銳角時，；（3）當為直角時，；當為鈍角時，，當為銳角時，.所以當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時，所用時間最短.【點睛】本題是小船渡河問題，關(guān)鍵是求出往運動方向上的分解速度，是基礎(chǔ)題。14.一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距的碼頭C，則當小貨船的航程最短時，求合速度的方向，并求此時小貨船航行速度的大小.【答案】合速度的方向與水流的方向成150°的角.小船航行速度的大小為.【解析】【分析】作出圖形，利用解直角三角形以及余弦定理可得結(jié)果．【詳解】解：如圖，，，∴合速度的方向與水流的方向成150°的角.設(shè)小貨船的速度為，水流速度為，合速度為，則，∴小船航行速度的大小為.【點睛】本題是小船渡河問題，關(guān)鍵是運用運動的合成與分解做出速度分解或合成圖，是基礎(chǔ)題。15.的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為，利用余弦定理證明，，【答案】見解析【解析】【分析】將余弦定理代入整理即可，同理可以證明其余兩式.【詳解】證明：根據(jù)余弦定理得，所以，所以，同理可得，.【點睛】本題考查余弦定理解三角形，是基礎(chǔ)題．16.在中，求證：.【答案】證明見解析【解析】【分析】利用余弦定理的推理將左邊的余弦式進行角化邊，化簡整理即可得到右邊.【詳解】根據(jù)余弦定理的推論，得左邊右邊，故等式成立.【點睛】本題考查了余弦定理的推理的應(yīng)用，考查了證明等式的方法及推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.17.證明：設(shè)三角形的外接圓的半徑是R，則.【答案】見解析【解析】【分析】若A為銳角（如圖①所示），作直徑，連接，則，在中可證明；若A是直角，可直接得；若A為鈍角（如圖③所示），作直徑，連接，則，在中可證明．【詳解】證明：（1）若A為銳角（如圖①所示），作直徑，連接，則，在中，，即.（2）若A是直角（如圖②所示），在中，可直接得;（3）若A為鈍角（如圖③所示），作直徑，連接，則，在中，，即.由（1）（2）（3）得.同理可證，.【點睛】本題考查了正弦定理及其三角形外接圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18.在中，已知，，銳角滿足，求（精確到）．【答案】【解析】【分析】求出的值，利用余弦定理求出，然后利用余弦定理求出的值，即可得出角的值.【詳解】，且為銳角，，，，，，．【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，解題時要熟悉余弦定理所適用的類型，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.拓廣探索19.如圖，在中，點E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點，BE，BF分別與AC交于R，T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.【答案】，證明見解析.【解析】【分析】由于是對角線上的兩點，要判斷之間的關(guān)系，只需分別判斷與之間的關(guān)系即可.【詳解】設(shè)，，，則.由，可設(shè)，又，，可設(shè)，∵，∴，綜上，有，即，由于與不共線，則，解得，∴.同理，，.∴.20.已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)，求證：（1）三角形的面積；（2）若r為三角形的內(nèi)切圈半徑，則；（3）把邊BC，AC，AB上的高分別記為,則，，.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）設(shè)三角形的三邊a，b，c的對角分別為A，B，C，則由余弦定理可得，求出并代入三角形面積公式，設(shè)，則，即可化簡得證；（2）由（1）可得．而又因為，，結(jié)合上述兩式即可得證；（3）由三角形面積公式可得，即可得解．【詳解】證明：（1）根據(jù)余弦定理的推論得，則，代入，得又，所以，代入可得；（2）因為，所以三角形的周長，又三角形的面積，其中r為內(nèi)切圓半徑，所以；（3）根據(jù)三角形的面積公式，得.同理可證，.【點睛】本題主要考查了余弦定理、三角形面積公式，平方差公式的應(yīng)用，計算量較大，屬于中檔題．21.如圖，為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi).請設(shè)計一個測量方案，包括：（1）指出要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并標示在圖中）；（2）用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）需要測量的數(shù)據(jù)有到的的俯角，到的的俯角，之間的距離，得到答案.（2）根據(jù)正弦定理得到，，再根據(jù)余弦定理得到答案.【小問1詳解】需要測量的數(shù)據(jù)：到的的俯角，到的的俯角，之間的距離.【小問2詳解】第一步：計算中，根據(jù)正弦定理：，故.第二步：計算中，根據(jù)正弦定理：，故.第三步：計算中，根據(jù)余弦定理：，即.22.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.（1）求A；（2）若a=2，的面積為，求b，c的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理將邊變成角，然后利用以及兩角和的正弦公式代入計算即可；（2）先利用面積公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程組即可.【小問1詳解】由及正弦定理得.因為，所以.由于，所以.又，故.【小問2詳解】由題得的面積，故①.而，且，故②，由①②得.視頻變式練習(xí)題23.如圖，在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為θ，繩子所受的拉力為F1.（1）判斷|F1|，|F2|隨θ的變化而變化的情況；（2）當|F1|≤2|G|時，求角θ的取值范圍.【答案】（1）當從趨近時，都逐漸增大.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量運算得到，，，得到答案.（2），，解得范圍.【小問1詳解】由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則知：，如圖，根據(jù)直角三角形可得，.當從趨近時，都逐漸增大.【小問2詳解】令，因為，得，所以.故角的取值范圍為.24.如圖，一滑輪組中有兩個定滑輪，，在從連接點出發(fā)的三根繩的端點處，掛著個重物，它們所受的重力分別為，和．此時整個系統(tǒng)恰處于平衡狀態(tài)，求的大?。敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)題意，用向量的方法求解，作出對