第二型曲面積分

第二型曲面積分第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四一、曲面的側(cè)

設(shè)連通曲面

S上到處都有連續(xù)變動的切平面

(

或法線

),曲面在其上每一點(diǎn)處的法線有兩個方向：當(dāng)取定其中一個指向?yàn)檎较驎r,另一個指向就是負(fù)方向.又設(shè)為

S上任一點(diǎn),L為S上任一經(jīng)過點(diǎn)且不超出S邊界的閉曲線.當(dāng)

S上的動點(diǎn)

M從出發(fā)沿

L連續(xù)移動一周而回到時,如果有如下特征:出發(fā)時

M與取相同的法線方向,而回來時仍保持原來的法線方向不變,則稱該曲面

S是雙側(cè)的.第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四否則,若由某一點(diǎn)出發(fā),沿

S上某一封閉曲線回到時,其法線方向與出發(fā)時的方向相反,則稱S是單側(cè)曲面.我們通常遇到的曲面大多是雙側(cè)曲面.單側(cè)曲面的一個典型例子是默比烏斯(Mobius)帶.它的構(gòu)造方法如下:取一矩形長紙條ABCD(如圖22-4(a)),將其一端扭轉(zhuǎn)后與另一端粘合在一起

(

即讓

A

與

C

重合,B

與

D

重合,如圖22-4(b)所示

).第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四默比烏斯(M?bius,A.F.1790-1868,德國)第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四通常由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面,其法

線方向與

z軸正向的夾角成銳角的一側(cè)稱為上側(cè),

另一側(cè)稱為下側(cè).當(dāng)

S為封閉曲面時,法線方向朝外的一側(cè)稱為外側(cè)，另一側(cè)稱為內(nèi)側(cè).

習(xí)慣上把上側(cè)

作為正側(cè),下側(cè)作為負(fù)側(cè);又把封閉曲面的外側(cè)作為正側(cè),內(nèi)側(cè)作為負(fù)側(cè).第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四二．第二型曲面積分的概念先考察一個計算流量的問題.設(shè)某流體以流速從曲面

S的負(fù)側(cè)流向正側(cè)

(圖22-5),其中P,Q,R為所討論范圍上的連續(xù)函數(shù),求在單位時間內(nèi)流過曲面S的總流量E.設(shè)在S上任一點(diǎn)處的正向單位法向量為第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四這里

,,

都是

x,y,z的函數(shù).則單位時間內(nèi)流經(jīng)小曲面塊的流量其中是任意取定的一點(diǎn);

是點(diǎn)處的單位法向量;分別是在坐標(biāo)面第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四于是單位時間內(nèi)由的負(fù)側(cè)流向正所以,單位時間內(nèi)由的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量這種與曲面的側(cè)有關(guān)的和式極限就是所要討論的第

側(cè)的流量也就近似等于上投影區(qū)域的近似面積,分別記作第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定:

分別表示在三個坐標(biāo)面上二型曲面積分.定義1設(shè)P,Q,R為定義在雙側(cè)曲面S上的函數(shù).對S作分割T,它把S分為分割T的細(xì)度為第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四若第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四在曲面所指定一側(cè)上的第二型曲面積分,記作的選取無關(guān),則稱此極限I為向量函數(shù)中的三個極限都存在,且與分割

T和點(diǎn)

的第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的

負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量即為又如,若空間中的磁場強(qiáng)度為則按指定方向穿過曲面的磁通量(磁力線總數(shù))為第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四若以表示曲面S的另一側(cè),由定義易知第二型曲面積分有類似于第二型曲線積分的性質(zhì):1.若存在,

則有第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四其中2.若曲面S是由兩兩無公共內(nèi)點(diǎn)的曲面所組成,則有第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四三．第二型曲面積分的計算定理22.2設(shè)是定義在光滑曲面

上的連續(xù)函數(shù),以S的上側(cè)為正側(cè)(這時的法線方

向與軸正向成銳角),則有證由第二型曲面積分的定義,第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四由于R在S上連續(xù),上連續(xù)(曲面光滑),據(jù)在復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,上也連續(xù).由二重積分的定義,這里第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四所以這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

類似地,當(dāng)

在光滑曲面上連續(xù)時,有第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四一側(cè)為正側(cè).側(cè)為正側(cè).當(dāng)

在光滑曲面上連續(xù)時,有這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例1計算其中是球面的外側(cè)（圖22-6）.解曲面S在第一、五卦限部分的方程分別為部分并取球面在第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限

部分.因積分是沿的下側(cè)進(jìn)行,故

第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四其中例2計算是由曲面所圍立體表面的外側(cè).解曲面其中其投影為第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四其投影為其投影為第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四因此第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四如果光滑曲面S由參量方程給出:

若在D上各點(diǎn)它們的函數(shù)行列式不同時為零,則分別有第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四注(5),(6),(7)三式前的正負(fù)號分別對應(yīng)S的兩個側(cè),所選定的正

特別當(dāng)平面的正方向?qū)?yīng)于曲面向一側(cè)時,式前取正號,否則取負(fù)號.其中S為橢球面例3計算第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四的上半部分,并取外側(cè).由(5)式有解把曲面表示為參量方程:第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四其中積分是在S的正側(cè)進(jìn)行.由上述的注,(8)式右端取正

號,即第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四五、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當(dāng)曲面的側(cè)確定之后，可以建立兩種類型曲面積分的聯(lián)系.設(shè)S為光滑曲面,并以上側(cè)為正側(cè),R為S上的連續(xù)

函數(shù),曲面積分在

S

的正側(cè)進(jìn)行.因而有由曲面面積公式（第二十一章§6）,第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四其中

是曲面的法線方向與z軸正向的交角,它

是定義在上的函數(shù).因?yàn)榉e分沿曲面正側(cè)進(jìn)行,

所以是銳角.又由S是光滑的,所以使這點(diǎn)的法線方向與z軸正向的夾角滿足等式

上連續(xù).應(yīng)用中值定理,在內(nèi)必存在一點(diǎn),

第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四或與z軸正向夾角的余弦,則由的連續(xù)性,可推于是現(xiàn)以的法線方向時,(10)式右端極限存在.因此由(9)式得當(dāng)?shù)玫降谌?，共三十五頁，編輯?023年，星期四這里注意當(dāng)改變曲面的側(cè)向時,左邊積分改變符號;右邊積分中角改為.因而也改變符號,

其中

,

分別是S上的法線方向與x軸正向和與y

所以右邊積分也相應(yīng)改變了符號.同理可證:第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四軸正向的夾角.一般地有這樣,在確定了余弦函數(shù)之后,由

(11),(12),(13),(14)式便建立了兩種不同類型曲面積分的聯(lián)系.注當(dāng)曲面由表示,且取上側(cè)第三十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四因此上式避免了同一曲面要向三坐標(biāo)平面作投影,從而使計算得到簡化.