高中總復習第一輪數(shù)學(新)第十四章極限（理）函數(shù)的連續(xù)性及極限的應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精14。4函數(shù)的連續(xù)性及極限的應用鞏固·夯實基礎一、自主梳理1.函數(shù)的連續(xù)性一般地，函數(shù)f(x）在點x=x0處連續(xù)必須滿足下面三個條件:(1）函數(shù)f（x)在點x=x0處有定義；(2）f（x)存在；（3）f(x）=f(x0）。如果函數(shù)y=f(x）在點x=x0處及其附近有定義，而且f(x)=f(x0）,就說函數(shù)f（x)在點x0處連續(xù).2。如果f（x）是閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù),那么f（x）在閉區(qū)間[a,b］上有最大值和最小值.3.若f（x)、g（x）都在點x0處連續(xù),則f(x）±g(x)，f（x)·g(x）,（g（x)≠0）也在點x0處連續(xù)。若u（x）在點x0處連續(xù)，且f（u）在u0=u(x0)處連續(xù)，則復合函數(shù)f［u(x)］在點x0處也連續(xù).鏈接·提示（1)連續(xù)必有極限,有極限未必連續(xù)。（2）從運算的角度來分析，連續(xù)函數(shù)在某一點處的極限運算與函數(shù)關系“f”是可以交換順序的。二、點擊雙基1.f（x)在x=x0處連續(xù)是f（x)在x=x0處有定義的________________條件.()A.充分不必要B。必要不充分C.充要D.既不充分又不必要解析:f（x）在x=x0處有定義不一定連續(xù)。答案：A2。定義f(-1）使函數(shù)f(x）=在x=-1處連續(xù)，則(）A。f（-1）=1B.f(—1）=—1C.f（-1）=2D。f（-1)=—2解析:f(x）=(1-x）=2.答案：C3。四個函數(shù)：①f（x）=;②g（x)=sinx；③f（x)=｜x｜；④f（x）=ax3+bx2+cx+d。其中在x=0處連續(xù)的函數(shù)是__________________.（把你認為正確的代號都填上）答案：②③④4。若函數(shù)f（x）=在定義域內連續(xù)，則c=____________________.解析：f(x）=—2+c,f（x)=5,f（-1）=—2+c?！遞（x）在定義域內連續(xù)，∴—2+c=5.∴c=7.答案：7誘思·實例點撥【例1】（1）討論函數(shù)f（x）=在點x=0處的連續(xù)性;(2）討論函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0,3］上的連續(xù)性.剖析:(1)需判斷f（x）=f(x)=f(0).(2)需判斷f（x)在（0,3）上的連續(xù)性及在x=0處右連續(xù),在x=3處左連續(xù)。解：（1）∵f（x）=-1，f(x)=1，f(x）≠f(x）,∴f(x)不存在?！鄁(x）在x=0處不連續(xù).（2)∵f（x)在x=3處無定義，∴f(x）在x=3處不連續(xù)。∴f(x)在區(qū)間［0，3］上不連續(xù).【例2】已知函數(shù)f（x）=（）·x(x≥0).（1）化簡函數(shù)表達式并作出函數(shù)的圖象;(2)討論函數(shù)f（x）在x=1和x=處的連續(xù)性.剖析:對x的取值進行討論,可確定函數(shù)f（x)的解析式，再利用函數(shù)連續(xù)性的定義。解:（1)當x>1時，==-1；當0≤x<1時,=1；當x=1時，f(x）=0.綜上所述，f（x）=函數(shù)圖象如圖所示:(2）f(x）=(—x）=—1，f（x)=1，f（x)≠f（x)。∴f(x）不存在.∴f(x)在x=1處不連續(xù),f(x）=x==f（).∴f(x)在x=處連續(xù)。講評:本題以求函數(shù)的極限為背景，主要考查了學生的分類討論的思想及函數(shù)的連續(xù)性的定義?！纠?】如圖,在大沙漠上進行勘測工作時,先選定一點作為坐標原點，然后采用如下方法進行：從原點出發(fā)，在x軸上向正方向前進a（a〉0）個單位后,向左轉90°，前進ar（0<r〈1)個單位,再向左轉90°，又前進ar2個單位,…,如此連續(xù)下去.(1）若有一小分隊出發(fā)后與設在原點處的大本營失去聯(lián)系,且可以斷定此小分隊的行動與原定方案相同，則大本營在何處尋找小分隊？（2）若其中的r為變量,且0<r<1,則行動的最終目的地在怎樣的一條曲線上？剖析：（1)小分隊按原方案走，小分隊最終應在運動的極限位置.（2)可先求最終目的地關于r的參數(shù)形式的方程.解：（1）由已知可知即求這樣運動的極限點，設運動的極限位置為Q(x,y)，則x=a-ar2+ar4—…==,y=ar—