第一節(jié)維向量與組

第三章線性方程組第一節(jié)n維向量（概念、表示方法、向量空間）定義1n

個有次序的數(shù)a1

,a2

,,an

所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量第i個數(shù)ai

稱為第i個分量.分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.一、n維向量的概念例如(1,2,3,,

n)(1

+

2i,2

+

3i,,

n

+

(n

+

1)i)n維實向量n維復(fù)向量第1個分量第n個分量第2個分量=

(a1

,a2

,,an

)aT

n

aa

=

a2

a1

二、n

維向量的表示方法n

維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用

aT

,bT

,a

T

,

bT

等表示，如：矩陣，通常用a,b,a

,b

等表示，如：n

維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列注意行向量和列向量都按照矩陣的運算法則進行運算向量組的線性相關(guān)性向量向量組與矩陣線性相關(guān)性的概念線性相關(guān)性的判定若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如m·n矩陣A

=

(aij)

有n個m維列向量a

aa

aa

amn

mj

m1

m

2a2n

a22

a2

j

A

=

a211n

1211一、向量、向量組與矩陣1ααja1

j2αna

α向量組α1

,α2

,,αj

,,αn

稱為矩陣A的列向量組類似地,矩陣A

=

(aij

)

又有m個n維行向量m·nA

=aaa

aamn

in

am1

am

2i

2i1a2n

21

a22

a1n

a11

a12a

T1a

T2a

Tia

Tm向量組

a

T

,

a

T

,

…，a

T

稱為矩陣A的行向量組．1

2

m反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣.m個n維列向量所組成的向量組a1

,a

2

,,am

,構(gòu)成一個n

·

m矩陣A

=

(a

1

,a

2

,,am)m個n維行向量所組成T

T

T的向量組b1

,

b2

,bm

,構(gòu)成一個m

·

n矩陣

T

mB

=

b

b

T

Tb21α1

x1

+

α2

x2

+

+

αn

xn

=

β線性方程組的向量表示am1

x1

+

am

2

x2

+

+

amn

xn

=

bm

.

a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

=

b1

,

a21

x1

+

a22

x2

+

+

a2n

xn

=

b2

,方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應(yīng)．定義１給定向量組A

:a1

,a

2

,,am，對于任何一組實數(shù)k1，k2，,km，向量k1a1

+

k2a

2

+

+

kmam稱為向量組的一個線性組合，k1，k2，,km

稱為這個線性組合的系數(shù).β

=

λ1α1

+

λ2α2

+λmαm則向量β是向量組A的線性組合，這時稱向量β能由向量組A線性表示即線性方程組x1a1

+

x2a

2

++

xma

m

=

b有解.給定一向量組A：α1，α2，αm，和向量β以及一組數(shù)λ1，λ2，，λm，使得向量β能由向量組A線性表示的充分必要條件是矩陣A

=(α1，α2，,αm

)的秩等于矩陣

B

=(α1，α2，,αm

,β)的秩.定義２設(shè)有兩個向量組A

:

a1

,a

2

,,am及B

:

b1

,

b2

,,

bs

.若B組中的每個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價．若記A

=（α1,α2

,,αm

)和B

=（β1,β2

,,βs

).B

能由A線性表示，即對每個向量β(j

=1,2,,s)存j在數(shù)k,k,k,使1j

2j

mjβj

=

k1jα1

+

k

2jα2

++

kmjαm

k2

j

k1

j

=（a

1

,a

2

,,am

)

,

kmj

1

2

s從而ms

mkk

k

m

2k2

s

k1s

m1

k11

k12)

k21

k221

2(β

,β ,,β

)

=（a

,a

,,a矩陣Km

·s

=

(kij

)稱為這一線性表示的系

數(shù)矩陣.若Cm·n

=Am·s

Bs·n，則矩陣C的列向量組能由矩陣A的列向量組線性表示，B為這一表示的系數(shù)矩陣：sn

b

2n

b1n

s1s21

2

n

1

2b

b11

b12

b

21

b

22(η

,

η ,

,

η )

=

(α

,

α ,

,

αs

)

k

k

=

T

TsTTmsmTg

g

T

ab

bbg

a

a

am1

a11

a12

a21

a22am

22212

s1s1同時，C的行向量組能由B的行向量組線性表示,A為這一表示的系數(shù)矩陣：設(shè)矩陣A經(jīng)初等行變換變成B，則B的每個行向量都是A的行向量組的線性組合，即B的行向量組能由A的行向量組線性表示.由初等變換可逆性可知，A的行向量組能由B的行向量組線性表示，于是A的行向量組與B的行向量組等價.類似，若矩陣A經(jīng)初等列變換變成B，則A的列向量組與B的列向量組等價.注意1.

若a

1

,a

2

,

,a

n

線性無關(guān),則只有當l1

=

=ln

=0時,才有l(wèi)1a

1

+l2a

2

+

+lna

n

=0

成立.2.

對于任一向量組,不是線性無關(guān)就是線性相關(guān).定義３給定向量組A

:a

1

,a

2

,,a

m

,如果存在不全為零的數(shù)k1

,k2

,,km

使k1a

1

+

k2a

2

+

+

kma

m

=

0則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．二、向量組線性相關(guān)性的概念線性相關(guān),若a

?0,則說a

線性無關(guān).包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的.對于含有兩個非零向量的向量組,它線性相關(guān)的充要條件是兩向量的分量對應(yīng)成比例，幾何意義是兩向量共線；三個向量相關(guān)的幾何意義是三向量共面.3.向量組只包含一個向量a

時,若a

=0則說a定理1.向量組a1

,a

2

,,a

m（當m

?2

時）線性相關(guān)的充分必要條件是a

1

,a

2

,,am

中至少有一個向量可由其余m

-1個向量線性表示．證明充分性設(shè)

a1

,

a2

,,

am

中有一個向量(不妨設(shè)

am)能由其余向量線性表示.即有am

=

l1a

1

+

l2a

2

+

+

lm-1a

m

-1三、線性相關(guān)性的判定故l1a

1

+

l2a

2

+

+

lm

-1a

m

-1

+

-

1)am

=

0因l1

,l2

,,lm-1

,

-1)這m

個數(shù)不全為0，a

1

,a

2

,,am

線性相關(guān).故必要性設(shè)a

1

,a

2

,,am

線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)k1

,k2

,,km

,使k1a

1

+

k2a

2

+

+

kmam

=

0.因k1

,k2

,,km

中至少有一個不為0，不妨設(shè)k1?0,

則有1am

.1

1

-k2

+

-k3

+

-kmak

2a

+k

3ka

1

=即a

1

能由其余向量線性表示.證畢.向量組a

1

,a

2

,

,a

m

線性相關(guān)的充分必要定理2條件是它所構(gòu)成的矩陣A

=(a

1

,a

2

,

,a

m

)的秩小于向量個數(shù)m

;向量組線性無關(guān)的充分必要條件是

R(A)=m

.證明

（略）下面舉例說明定理的應(yīng)用.n

維向量組=

(0,0,,1)T1

2

ne

=

(1,0,,0)T

,e

=

(0,1,,0)T

,，e稱為n維單位坐標向量組,討論其線性相關(guān)性.解n維單位坐標向量組構(gòu)成的矩陣E

=

(e1

,

e2

,,

en

)是n階單位矩陣.

由E

=

1

?

0，知R(

E

)

=

n.即R(E

)等于向量組中向量個數(shù)，故由定理2知此向量組是線性無關(guān)的.例１

2

01

5

7

1a

1

=

1，a

2

=

2，a

3

=

4，成行階梯形矩陣,可同時看出矩陣（

a

1，a

2，a

3）及（a

1，a

2）的秩，利用定理2即可得出結(jié)論.試討論向量組a

1，a

2，a

3及a

1，a

2的線性相關(guān)性.解分析對矩陣（a

1，a

2，a

3），施行初等行變換變例２已知7

11

2

31

0

2

(a

,a

,a

)

=

1

2

45~r2r3

-25

0

0

1

0

2

0

2

2，0可見R(a

1

,a

2

,a

3

)=2，向量組a

1

,a

2

,a

3線性相關(guān)；R(a

1

,a

2

)=2,向量組a

1

,a

2線性無關(guān).527

2

1

02

1~~r3

-

r1rr

--rr

0

5

52

0

2

11

00

22(1)

若向量組A：a1

,a

2

,,am

線性相關(guān),則定理3向量組B

:a1

,,am

,am

+1

也線性相關(guān).反言之,若向量組B

線性無關(guān),則向量組A也線性無關(guān).（2）設(shè)(

j

=

1,2,,

m),jarjrj

aj

a,

a

a2

j

a1

jb

=

r

+1,

j

a1

j

=

2

j

,a即a

j添上一個分量后得向量bj

.若向量組A：a1

,a

2

,,am線性無關(guān),則向量組B：b1

,b2

,,bm也線性無關(guān).反言之，若向量組B線性相關(guān),則向量組A也線性相關(guān).（3）m

個n

維向量組成的向量組，當維數(shù)n

小于向量個數(shù)m時一定線性相關(guān).(4)

設(shè)向量組A

:a1

,a

2

,,am線性無關(guān),而向量組B

:a1,,am

,b

線性相關(guān),則向量b

必能由向量組

A線性表示,且表示式是唯一的.上述結(jié)論非常重要證明（1）記A

=(a1

,,am

),B

=(a1

,,am

,am

+1

)，有

R(B)￡

R(A)+1.若向量組A線性相關(guān),則根據(jù)定理

2，有R(A)<m，從而R(B)￡

R(A)+1

<m

+1,因此,根據(jù)定理2知向量組B線性相關(guān).相關(guān)的部分組，則該向量組線性相關(guān).特別地，

含有零向量的向量組必線性相關(guān).反之，若一個

向量組線性無關(guān)，則它的任何部分組都線性無關(guān).結(jié)論（1）可推廣為:一個向量組若有線性說明￡

m

(因

B

只有 m

列），則R(A)

=

m，線性無關(guān),=

(β

1

,

,βm

),（2）記A有R(A)

￡

R(B).若向量組A從而有 R(B)

?

m

.但

R(B)(r

+1)

·

mr

·

m=

(α1

,αm

)，B故

R

(

B

)

=

m

，因此向量組

B

線性無關(guān)

.說明結(jié)論（2）是對增加一個分量（即維數(shù)增加1維）而言的，若增加多個分量,結(jié)論也成立.（3）m個n維向量a1

,a

2

,,a

m

構(gòu)成矩陣An·m

=(a1

,a

2

,,a

m

)，有R(A)￡

n.若n

<m,則R(A)<m,故m個向量a1

,a

2

,,a

m

線性相關(guān).(4)記A

=(a1

,a

2

,,am

),B

=(a1

,a

2

,,am

,b

),有R(A)￡

R(B).因A組線性無關(guān)，有R(A)=m;因B組線性相關(guān)，有R(B)<m

+1.所以m

￡

R(B)<m

+1，即有R(B)=m.由R(A)=R(B)=m,知方程組(a1

,a

2

,,am

)X

=b有唯一解，即向量b能由向量組A線性表示，且表示式唯一.定理4.設(shè)向量組{α1,α2,…,αt}可以由向量組{β1,β2,…,βs}線性表示，且t>s,則向量組{α1,α2,…,αt}線性相關(guān)證明：設(shè)有一組數(shù)l1,l2,…,lt,使下式成立l1α1+

l2α2+…+

lt

αt

=

0

(1)那么如果能夠找到一組l1,l2,…,lt不全為0，則向量組{α1,α2,…,αt}線性相關(guān)因為向量組{α1,α2,…,αt}可以由向量組{β1,β2,…,βs}線性表示。既有α1

=

k11β1

+

k12β2

++

k1sβsα2

=

k

21β1

+

k

22β2

++

k

2sβsαt

=

kt1β1

+

kt2β2

++

ktsβs代入（1）式：（2）(l1k11

+

l2k

21

++

ltk

t1

)β1

+(l1k12

+

l2k

22

++

ltk

t2

)β2

++(l1k1s

+

l2k

2s

++

ltk

ts)βs

=

0可以使上式成立的li（i＝1，2，…t）可能有許多。一定有l(wèi)1k11

+

l2k

21

++

ltk

t1

=

0t

t212

2

22

1l

k

+

l

k

++

l

k

=

0

l1k1s

+

l2k

2s

++

ltk

ts

=

0上式用向量表示可為：（

3

）（4）

k

k

t1

k11

k

21

ts

2s

k

k

1s

1

2

t

l

k12

+

l

k

22

++

l

k

t2

=

0（5）如果存在不全為0的li(i=1,2,…,t)使上式成立，原命題正確2

t

1s

2s

ts

1

k=

k

t2

k

k

k11

k

21

k

t1

設(shè)γ

=

k12

,

γ

=

k

22

,,

γ需要證明向量組{γ1,γ2,…,γt}線性相關(guān)令矩陣k

t2

ts

k

t1

1s

2s

k11

k

21k

22K

=

k12

(t

>

s)

k

k

k則，R(K)≤s<t,由定理2矩陣K的列向量組{γ1,γ2,…,γt}線性相關(guān)，存在不全為0的數(shù)li(i=1,2,…,t)使(5)式成立，原命題正確推論1.如果向量組{α1,α2,…,αt}可以由向量組{β1,β2,…,βs}線性表示，且向量組{α1,α2,…,αt}線性無關(guān)，則t≤s定理4的逆否命題推論2兩個線性無關(guān)的等價向量組，必定含有相同個數(shù)的向量證明：如果向量組{α1,α2,…,αt}和向量組{β1,β2,…,βs}等價，而且都是線性無關(guān)的。由于向量組{α1,α2,…,αt}可以由向量組{β1,β2,…,βs}線性表示，且向量組{α1,α2,…,αt}線性無關(guān)，則t≤s。向量組{β1,β2,…,βs}可以由向量組{α1,α2,…,αt}線性表示，且向量組{β1,β2,…,βs}線性無關(guān)，則s≤t綜合可得s=t１.向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；２.線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；（重點）３.線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，主要方法定理1，2．（難點）4.

定理3，4也可以用來判定向量組的線性相關(guān)性．（難點）四、小結(jié)試證明:一個向量a

線性相關(guān)的充要條件是a

=0；一個向量a

線性無關(guān)的充要條件是a

?0；兩個向量a，b

線性相關(guān)的充要條件是a

=kb或者b

=ka

,兩式不一定同時成立.思考題思考題解答證明

（１）、（２）略．（３）必要性a

,b線性相關(guān),\存在不全為零的數(shù)x,y,使得ax

+by

=0,不妨設(shè)x

?0,則a

=-y

b

,令k

=-yx

x即可.充分性不妨設(shè)a

=

kb

,則有1

a

+

(-k

)b

=

0,由定義知a

,

b線性相關(guān).當其中一個向量為0向量時，兩個表達式不能同時成立。向量組的秩最大線性無關(guān)向量組矩陣與向量組秩的關(guān)系a1

,a

2

,,ar，滿足（1）向量組A0

:a1

,a

2

,,ar

線性無關(guān)（2）向量組A中任意r

+1個向量（如果A中有

r

+1個向量的話）都線性相關(guān)，那末稱向量組A0是設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個向量定義4最大無關(guān)組所含向量個數(shù)r稱為向量組（簡稱最大向量組A的一個最大線性無關(guān)向量組無關(guān)組）;的秩.只含零向量的向量組沒它的秩為0.有最大無關(guān)組，規(guī)定一、最大線性無關(guān)向量組定理5矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.證設(shè)A=(α1

,α2

,,αm

)，R(A)=r,并設(shè)r階子式Dr

?

0.

由Dr

?

0

知所在的

r列線性無關(guān)；又由A中所有r

+

1階子式均為零，知A中任意r

+

1個列向量都線性相關(guān).

因此Dr

所在的r列是A的列向量的一個最大無關(guān)組，所以列向量組的秩等于r.類似可證A的行向量組的秩也等于R(A).二、矩陣與向量組秩的關(guān)系向量組a1

,a2

,,am的秩也記作R(a1

,a2

,,am

)結(jié)論若Dr是矩陣A的一個最高階非零子式，則Dr所在的r列即是列向量組的一個最大無關(guān)組，Dr所在的r行即是行向量組的一個最大無關(guān)組.說明最大無關(guān)組不唯一;向量組與它的最大無關(guān)組是等價的.例1

全體n維向量構(gòu)成的向量組記作Rn，求Rn的一個最大無關(guān)組及Rn的秩.解

因為n維單位坐標向量構(gòu)成的向量組E:

e1

,

e2

,,

en是線性無關(guān)的，又根據(jù)定理3的結(jié)論(3)知Rn中的任意n

+1個向量都線性相關(guān)，因此向量組E是Rn的一個最大無關(guān)組，且Rn的秩等于n.定理6.m×n的矩陣A經(jīng)過一系列的初等行變換后得到矩陣B，那么矩陣A和B的列向量組有相同的線性關(guān)系。解釋：設(shè)矩陣A的列向量組為{α