第六章線性離散系統(tǒng)分析

第六章線性離散系統(tǒng)分析第一頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五連續(xù)控制系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中的所有信號(hào)都是連續(xù)型的時(shí)間函數(shù)離散控制系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號(hào)是一串脈沖或數(shù)碼，它們僅在離散的時(shí)刻有定義

采樣控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。

數(shù)字控制系統(tǒng)：離散信號(hào)是數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。第二頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五6-1離散系統(tǒng)的基本概念一、采樣控制系統(tǒng)爐溫采樣控制系統(tǒng)第三頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五原理：只有當(dāng)檢流計(jì)的指針與電位器接觸時(shí)，電動(dòng)機(jī)才在采樣信號(hào)作用下產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行爐溫調(diào)節(jié)，而在檢流計(jì)與電位器脫開(kāi)時(shí)，電動(dòng)機(jī)就停止不動(dòng)，保持一定的閥門開(kāi)度，等待爐溫緩慢變化。在采樣控制情況下，電動(dòng)機(jī)時(shí)轉(zhuǎn)時(shí)停，所以在調(diào)節(jié)過(guò)程中超調(diào)現(xiàn)象大為減少，使動(dòng)態(tài)性能得到改善。第四頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五電位器的輸出電壓第五頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五模擬信號(hào)：時(shí)間上和幅值上都連續(xù)的信號(hào)，稱為模擬信號(hào)。通常，測(cè)量元件、執(zhí)行元件和被控對(duì)象是模擬元件。離散模擬信號(hào)：時(shí)間上離散而幅值上連續(xù)的信號(hào)，稱為離散模擬信號(hào)。控制器中的脈沖元件，其輸入和輸出為脈沖信號(hào)。為了使兩種信號(hào)在系統(tǒng)中能相互傳遞，在連續(xù)信號(hào)和脈沖序列之間要用采樣器，而在脈沖序列和連續(xù)信號(hào)之間要用保持器，以實(shí)現(xiàn)兩種信號(hào)的轉(zhuǎn)換。采樣器和保持器，是采樣控制系統(tǒng)中兩個(gè)特殊環(huán)節(jié)。第六頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

采樣器：把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖信號(hào)的過(guò)程稱為采樣過(guò)程，實(shí)現(xiàn)該過(guò)程的裝置稱為采樣器或采樣開(kāi)關(guān)。采樣器的采樣過(guò)程可以用一個(gè)周期性閉合的采樣開(kāi)關(guān)形象地表示。信號(hào)采樣過(guò)程

*表示離散化第七頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

在實(shí)際應(yīng)用中，采樣開(kāi)關(guān)均為電子開(kāi)關(guān)，閉合時(shí)間極短，采樣持續(xù)時(shí)間τ遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采樣周期T，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù)，為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析，可以認(rèn)為τ趨于0。實(shí)現(xiàn)這種采樣過(guò)程的采樣器稱為理想的采樣器或理想的采樣開(kāi)關(guān)。理想的采樣過(guò)程第八頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

保持器：把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的裝置稱為保持器。最常用的保持器是零階保持器，它是把前一采樣時(shí)刻nT的采樣值，恒定不變地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(n+1)T,從而使采樣信號(hào)f*(t)變成階梯信號(hào)fh(t)。第九頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖第十頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)環(huán)形爐壓力控制系統(tǒng)第十一頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

數(shù)字信號(hào)：當(dāng)用計(jì)算機(jī)作為控制系統(tǒng)中的一個(gè)環(huán)節(jié)時(shí)，計(jì)算機(jī)的輸入和輸出只能是二進(jìn)制編碼的數(shù)字信號(hào)，即時(shí)間上和幅值上都離散的信號(hào)。而系統(tǒng)中的模擬元件，例如被控對(duì)象或測(cè)量元件的輸入和輸出是連續(xù)信號(hào)。所以在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中需要應(yīng)用A/D和D/A轉(zhuǎn)換器，來(lái)實(shí)現(xiàn)兩種信號(hào)的轉(zhuǎn)換，他們是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中的兩個(gè)特殊環(huán)節(jié)。A--Analogsignals,D--Digitalsignals。第十二頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

A/D轉(zhuǎn)換器：把連續(xù)的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散數(shù)字信號(hào)

A/D轉(zhuǎn)換過(guò)程可以用周期為T的理想采樣開(kāi)關(guān)表示

A/D轉(zhuǎn)換過(guò)程第十三頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

D/A轉(zhuǎn)換器：把離散的數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成連續(xù)的模擬信號(hào)。

D/A轉(zhuǎn)換過(guò)程可以用零階保持器取代。D/A轉(zhuǎn)換過(guò)程第十四頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖無(wú)論計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)還是采樣控制系統(tǒng)均為離散控制系統(tǒng)，以后介紹的分析方法對(duì)這兩種系統(tǒng)都適用。第十五頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五6-2信號(hào)采樣與保持一、采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述

1.采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)表示從物理意義來(lái)看，采樣過(guò)程可以理解為脈沖調(diào)制過(guò)程。在這里，采樣開(kāi)關(guān)起著單位脈沖發(fā)生器的作用，它好似一個(gè)脈沖調(diào)制器，通過(guò)它將連續(xù)函數(shù)f(t)調(diào)制成理想的脈沖序列f*(t)。第十六頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五采樣的脈沖調(diào)制過(guò)程第十七頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.采樣信號(hào)的拉普拉斯變換對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行拉氏變換，可得根據(jù)拉氏變換的位移定理，有所以，采樣信號(hào)的拉氏變換

第十八頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、采樣周期的選擇采樣周期T選得越小，即采樣頻率ws選得越高，對(duì)控制過(guò)程信息了解得越多，控制效果也越好。但是，采樣周期T選得過(guò)短，將給計(jì)算機(jī)增加不必要的負(fù)擔(dān)。另外，采樣頻率太高，干擾對(duì)系統(tǒng)的影響也明顯上升。反之，T選得過(guò)長(zhǎng)又會(huì)給控制過(guò)程帶來(lái)較大的誤差，降低系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且有可能導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。

第十九頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五工程實(shí)踐表明，隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣頻率可選為

ws=10wcwc為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的截止頻率。從時(shí)域性能指標(biāo)來(lái)看，采樣周期可按如下經(jīng)驗(yàn)公式選?。旱诙?yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、零階保持器

零階保持器的作用是把nT時(shí)刻的采樣值一直保持到下一個(gè)時(shí)刻(n+1)T出現(xiàn)前的瞬間，從而使采樣信號(hào)變成階梯信號(hào)。

第二十一頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五即：gh(t)=1(t)-1(t-T)零階保持器的傳遞函數(shù)為：gh(t)-1(t-T)1(t)+＝TTttt000第二十二頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五6-3Z變換理論通過(guò)Z變換處理后的離散系統(tǒng)，可以把連續(xù)系統(tǒng)中的許多方法，例如穩(wěn)定性分析、穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算、時(shí)間響應(yīng)等，經(jīng)過(guò)適當(dāng)改變后直接用于離散系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中。連續(xù)系統(tǒng)的分析工具——微分方程及拉氏變換離散系統(tǒng)的分析工具——差分方程及Z變換第二十三頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五拉氏變換定義的Z變換，記做:為了書(shū)寫(xiě)方便，記做：一、Z變換定義：f(t)的采樣函數(shù)第二十四頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.級(jí)數(shù)求和法

直接根據(jù)Z變換的定義由f(t)求F(Z)

Z變換的求法：求離散時(shí)間函數(shù)的Z變換有多種方法，下面主要介紹兩種：例1求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換。解：因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)在任何采樣時(shí)刻的值均為1，所以f(nT)=1n=0,1,2,…第二十五頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

代入公式后，

當(dāng)時(shí)，上式的無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的，利用等比級(jí)數(shù)求和的公式可以把它寫(xiě)成閉式。

第二十六頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2求指數(shù)函數(shù)e-at的Z變換。當(dāng)時(shí)，上式的無(wú)窮級(jí)數(shù)也是收斂的。于是求得e-at的Z變換為：解：令t=nT,則指數(shù)函數(shù)e-anT在各采樣時(shí)刻的值為代入公式得：第二十七頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

2.部分分式法用部分分式法求Z變換，是已知連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s),求該連續(xù)函數(shù)的Z變換F(z)。f*(t)f(t)F(s)F(z)采樣L-1Z部分分式第二十八頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例求的Z變換解：將F(s)展開(kāi)成部分分式第二十九頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五序號(hào)拉氏變換時(shí)間函數(shù)Z變換F(z)11δ(t)121/s1(t)31/s2t41/s35e-at6at/T常用函數(shù)的Z變換表第三十頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、Z變換的基本性質(zhì)②原函數(shù)線性組合的Z變換，等于各原函數(shù)Z變換的線性組合1.線性定理

①常數(shù)可以提到Z變換符號(hào)的外面；第三十一頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.實(shí)域位移定理若,則超前定理變成①延遲定理原函數(shù)在實(shí)域中延遲n個(gè)采樣周期的Z變換，等于象函數(shù)乘以z-n，即②超前定理原函數(shù)在時(shí)域中超前n個(gè)采樣周期的Z變換為第三十二頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

由實(shí)域位移定理可以看到，算子z有明確的物理意義。z-n代表時(shí)域中的延遲環(huán)節(jié)，它把采樣信號(hào)延遲n個(gè)采樣周期。同樣，zn代表超前環(huán)節(jié)，它把采樣信號(hào)超前n個(gè)采樣周期。第三十三頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

3.復(fù)域位移定理原函數(shù)乘以的Z變換，等于象函數(shù)的自變量z乘以4.初值定理若極限存在，則原函數(shù)的初值等于象函數(shù)的終值，即：第三十四頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

5.終值定理若f(nT)(n=0,1,2,)均為有限值，則原函數(shù)的終值等于象函數(shù)乘以(1-z-1)當(dāng)z1時(shí)的值，即

注意：僅當(dāng)極限存在時(shí)，才能應(yīng)用Z變換的終值定理。終值定理是計(jì)算離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的重要定理。第三十五頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、Z反變換

定義：由F(z)，求出時(shí)域的離散時(shí)間函數(shù)f*(t)，稱為Z反變換，記作Z反變換對(duì)應(yīng)的脈沖序列惟一對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)不惟一對(duì)應(yīng)脈沖序列第三十六頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

Z反變換的方法1.長(zhǎng)除法式中分子、分母多項(xiàng)式的階數(shù)滿足n>=m,多項(xiàng)式系數(shù)b0,b1,bm;a1,an均為常數(shù)。通過(guò)對(duì)F(z)直接作長(zhǎng)除法，可以得到按z-1升冪排列的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式:第三十七頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例

試用長(zhǎng)除法求的Z反變換。解：將F(z)的分子除以分母，得第三十八頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

T2T3T4T5T1t0第三十九頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.部分分式法將展開(kāi)成部分分式之和的形式：第四十頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1

用部分分式法求的Z反變換。查Z變換表，得：解：第四十一頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2

用部分分式法求的Z反變換。第四十二頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五6-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)。一、差分方程

1.差分設(shè)連續(xù)函數(shù)為f(t)，其采樣函數(shù)為f(kT),簡(jiǎn)寫(xiě)成f(k),它的一階、二階和n階后向差分的定義為：第四十三頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五一階、二階、n階前向差分的定義為第四十四頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

2.差分方程

由各階差分所組成的方程為差分方程。典型形式：例1

將微分方程化為差分方程。解：第四十五頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五將以上三式代入第四十六頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：根據(jù)C(z)的表達(dá)式有例2

已知離散系統(tǒng)輸出序列的Z變換函數(shù)為求系統(tǒng)的差分方程。對(duì)上式取Z反變換,并根據(jù)延遲定理，得系統(tǒng)的差分方程第四十七頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

差分方程的解法

1.迭代法迭代法Z變換法例已知差分方程輸入序列為r(kT)=1(k=0,1,2,),初始條件為c(0)=0,試用迭代法求解差分方程。

第四十八頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：k=0c(1)=-0.2c(0)+2r(0)=2k=1c(2)=-0.2c(1)+2r(1)=1.6k=2c(3)=-0.2c(2)+2r(2)=1.68k=3c(4)=1.664k=4c(5)=1.6672

T2T3T4Tt第四十九頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.Z變換法

在連續(xù)系統(tǒng)中引入拉氏變換以后，使求解微分方程變成了簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算。在離散系統(tǒng)中引入Z變換以后，同樣使求解差分方程的問(wèn)題變得十分簡(jiǎn)便。用Z變換求解差分方程的步驟是：

(1)應(yīng)用Z變換的實(shí)域位移定理，將時(shí)域的差分方程化為Z域的代數(shù)方程，同時(shí)引入初始條件;(2)求Z域代數(shù)方程的解;(3)將Z域代數(shù)方程的解經(jīng)Z反變換求得差分方程的時(shí)域解。第五十頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例解差分方程解：對(duì)差分方程中的每一項(xiàng)進(jìn)行Z變換，根據(jù)超前定理得:把每一項(xiàng)的Z變換代入差分方程，得：第五十一頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五解出：查表得Z反變換，得記住公式:第五十二頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、脈沖傳遞函數(shù)在連續(xù)系統(tǒng)中是通過(guò)研究傳遞函數(shù)來(lái)研究系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的，在離散系統(tǒng)中則要通過(guò)研究脈沖傳遞函數(shù)來(lái)研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，它是分析和設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)的重要工具.1.脈沖傳遞函數(shù)的基本概念脈沖傳遞函數(shù)：在零初始條件下，輸出脈沖序列的Z變換與輸入脈沖序列的Z變換之比，即第五十三頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五脈沖傳遞函數(shù)G(z)的幾個(gè)性質(zhì)

(1)它聯(lián)系的只是輸出、輸入在各采樣點(diǎn)上的函數(shù)關(guān)系,它表明了系統(tǒng)對(duì)脈沖序列的傳遞特性。(2)脈沖傳遞函數(shù)與差分方程對(duì)應(yīng)，反映了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性，與輸入序列的形式無(wú)關(guān)。(3)若已知R(z)和G(z),則在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的采樣信號(hào)為：第五十四頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例

設(shè)，求G(z)2.由G(s)求G(z)的方法

脈沖傳遞函數(shù)G(z)可以通過(guò)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)G(s)來(lái)求。解：將G(s)展開(kāi)成部分分式：查Z變換表求得第五十五頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

1.開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的兩個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)，可以歸納為以下三種典型形式：

(1)兩個(gè)離散環(huán)節(jié)串聯(lián)R(z)C(z)結(jié)論：數(shù)個(gè)離散環(huán)節(jié)串聯(lián)后的等效脈沖傳遞函數(shù)，等于各離散環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。第五十六頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

(2)中間無(wú)采樣器的兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)R(z)C(z)C(s)R*(s)R(s)C*(s)T

結(jié)論：中間無(wú)采樣器隔開(kāi)的數(shù)個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)相串聯(lián)，其等效的脈沖傳遞函數(shù)，等于數(shù)個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積后的相應(yīng)Z變換。第五十七頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

(3)中間有采樣器的兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)R(z)C(z)C(s)R*(s)R(s)C*(s)T結(jié)論：中間有采樣器的數(shù)個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，其等效脈沖傳遞函數(shù)，等于數(shù)個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。第五十八頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五注意：如:第五十九頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.有零階保持器時(shí)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)c(t)r*(t)r(t)c*(t)TTGh(s)為零階保持器的傳遞函數(shù)，G0(s)為系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)。由于Gh(s)不是s的有理分式，因此用等效串聯(lián)環(huán)節(jié)的方法，不能直接求出該開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)第六十頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五c(t)r*(t)r(t)c*(t)TT第六十一頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

3.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)在閉環(huán)的離散控制系統(tǒng)中，采樣開(kāi)關(guān)可以有不同的配置方法。所以，閉環(huán)的離散系統(tǒng)有多種結(jié)構(gòu)形式，不存在唯一的典型結(jié)構(gòu)圖。因此，閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)沒(méi)有一般的計(jì)算公式，只能根據(jù)不同系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)具體地來(lái)求。第六十二頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

典型的采樣控制系統(tǒng)圖中虛線所示的采樣開(kāi)關(guān)是為了計(jì)算而添加的，它表示只計(jì)算r(t)、c(t)、b(t)在采樣點(diǎn)上的值。注：虛擬開(kāi)關(guān)只是求輸出時(shí)用，不參加信號(hào)傳遞G(s)H(s)-第六十三頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五在離散系統(tǒng)中，求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)無(wú)計(jì)算公式，必須根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，列出描述系統(tǒng)中各個(gè)變量之間關(guān)系的基本方程，然后消去中間變量，求出輸出變量的Z變換與輸入變量的Z變換之比。該系統(tǒng)的基本方程為由上式有：第六十四頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

由上式可以求出偏差信號(hào)對(duì)控制信號(hào)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)離散化得：第六十五頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以采樣系統(tǒng)的特征方程：對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，H(s)=1第六十六頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例

證明下圖所示離散系統(tǒng)的C(z)為：解：列系統(tǒng)的基本方程：

把（1）、（3）式代入（2）式，得：TR(s)C(s))(sT第六十七頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五將（4）式兩邊離散化，有：令，得：則將（3）式兩邊離散化，有：令，得：即得證。第六十八頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五結(jié)構(gòu)圖常見(jiàn)離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及輸出量的Z變換表達(dá)式第六十九頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五第七十頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五6-5離散系統(tǒng)的性能分析即：一、S平面與Z平面的映射關(guān)系在Z變換的定義中已經(jīng)確定了復(fù)變量S與復(fù)變量Z之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：式中T為采樣周期。S平面上的任一點(diǎn)可以表示為，將S點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，即可求出該點(diǎn)在Z平面上的映射。第七十一頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

可見(jiàn)它是模值為，相角為矢量終端的一點(diǎn)由可知，當(dāng)時(shí)，，即S平面的虛軸映射到Z平面上是以圓點(diǎn)為圓心的單位圓周，以后簡(jiǎn)稱單位圓，當(dāng)時(shí)，即S平面的左半部分映射到Z平面的單位圓內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，，即S平面的右半部分映射到Z平面的單位圓外部。第七十二頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五S平面與Z平面的映射關(guān)系從分析S平面與Z平面的映射關(guān)系可知：在Z平面中，單位圓內(nèi)是穩(wěn)定區(qū)域，單位圓外是不穩(wěn)定區(qū)域，而單位圓的周線是臨界穩(wěn)定的標(biāo)志。第七十三頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

典型的采樣控制系統(tǒng)

脈沖傳遞函數(shù)G(s)H(s)-第七十四頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的特征方程為：設(shè)系統(tǒng)的特征根或閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為：，則線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：線性離散系統(tǒng)的全部特征根均分布在Z平面的單位圓內(nèi)，或全部特征根的模小于1，即如果在上述特征根中，有一個(gè)位于單位圓之外的，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，有位于單位圓周上的，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。第七十五頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例設(shè)離散系統(tǒng)如圖，若a=1，T=1，試分別判斷和時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:由系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：三、線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)1.直接求特征方程的根第七十六頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五可求得閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為：第七十七頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)a=1，T=1，時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為：解出兩個(gè)特征根：二者的模，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)a=1，T=1，時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為：第七十八頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)于二階連續(xù)系統(tǒng)，不論K為何值，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。而二階的離散系統(tǒng)，當(dāng)開(kāi)環(huán)增益增大時(shí)卻可能變?yōu)椴环€(wěn)定，這說(shuō)明采樣造成的信息丟失使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。開(kāi)環(huán)增益對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響與連續(xù)系統(tǒng)類似，K加大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。解出兩個(gè)特征根：有一個(gè)特征根在單位圓外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。第七十九頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.勞斯判據(jù)當(dāng)離散系統(tǒng)的階數(shù)較高時(shí)，很難直接解出特征根，這時(shí)可以用勞斯判據(jù)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。連續(xù)系統(tǒng)中的勞斯判據(jù)不能直接用于離散系統(tǒng)，這是因?yàn)閯谒古袚?jù)只能判斷特征方程的根是否全在復(fù)平面的虛軸以左，但無(wú)法判斷這些根是否都在單位圓以內(nèi)，為了能夠應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要通過(guò)W變換（又稱雙線性變換）。第八十頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五使變量Z與新的變量W之間有這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系：Z平面上的單位圓周對(duì)應(yīng)于W平面上的虛軸，Z平面上的單位圓內(nèi)部對(duì)應(yīng)于W平面上的左半平面，Z平面上單位圓外部對(duì)應(yīng)W平面的右半平面。經(jīng)過(guò)W變換以后，對(duì)于W平面就可以應(yīng)用勞斯判據(jù)了。第八十一頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五W變換將代入，并整理得：由于Z和W都是復(fù)變量，故可以寫(xiě)成：則：令第八十二頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五W平面的虛軸對(duì)應(yīng)于上式中的實(shí)部為0，即即Z平面上的單位圓。所以有如下結(jié)論:即Z平面上的單位圓對(duì)應(yīng)于W平面上的虛軸；即Z平面上的單位圓以內(nèi)對(duì)應(yīng)于W平面的左半平面；即Z平面上的單位圓以外的對(duì)應(yīng)于W平面的右半平面。第八十三頁(yè)，共九十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1已知某離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由