2023年導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)(二輪)(新教材)第3講　統(tǒng)計、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

第3講統(tǒng)計、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

感悟圜考明確備考方向

真題體驗(yàn)

1.［樣本的數(shù)字特征］（2022?全國甲卷,T2）某社區(qū)通過公益講座以

普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)

居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10

位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則（B）

*講座前?講座后

12345678910

居民編號

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

解析:對于A,講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)是2等=72.5%,所

以A錯誤;對于B,講座后問卷答題的正確率分別是

80%,85%,85%,85%,85%,90%,90%,95%,100%,100%,其平均數(shù)顯然大于

85%,所以B正確;對于C,由題圖可知,講座前問卷答題的正確率波動

較大,講座后問卷答題的正確率波動較小,所以講座前問卷答題的正

確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯誤；

對于D,講座前問卷答題的正確率的極差是95%-60%=35%,講座后問卷

答題的正確率的極差是100%-80%=20%,所以講座前問卷答題的正確率

的極差大于講座后問卷答題的正確率的極差,所以D錯誤.故選B.

2.［頻率分布直方圖］(2021?全國甲卷,T2)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情

況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查

數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是(C)

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬

元之間

解析:對于A,該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為

(0.02+0.04)X1=0.06=6%,故選項A正確;

對于B,該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為

(0.04+0.02X3)X1=0.1=10%,故選項B正確;

對于C,估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為

3X0.02+4X0.04+5X0.10+6X0.14+7X0.20+8X0.20+9X0.10+10

xo.1O+11XO.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5萬元，故

選項C錯誤；

對于D,該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比率為

（0.10+0.14+0.20+0.20）X1=0,64>0,5,故估計該地有一半以上的農(nóng)

戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項D正確.故選

C.

3.［回歸分析］（2022?全國乙卷,T19）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已

將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機(jī)

選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積（單位:m?）和材積

量（單位:m）得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i根部橫截面積Xi材積量Yi

10.040.25

20.060.40

30.040.22

40.080.54

50.080.51

60.050.34

70.050.36

80.070.46

90.070.42

100.060.40

總和0.63.9

并計算得￡螃=0.038,Eyf=l-6158,EXiYi=0.2474.

i=l1i=l1i=l

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積

量；

⑵求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精

確到0.01）;

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種

樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截

面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估

計值.

附:相關(guān)系數(shù)r二1=1：,V1.896^1.377.

（自⑶廠元/苫⑶廠歹）

解：（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積

ZV/OQ

估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的材積量產(chǎn)號戶*=0.39.

1010

(2)E(x-x)(y-y)=Exiy-10x歹二0.0134,

i=li=l

1010

E(x-x)2=E%f-10x=0.002,

i=li=l"

1010

￡(yi-y)2=Sy?-10y=0.0948,

i=li=l

flO7^07,________________

所以Z(陽-元)Z(yry)-Vo.002x0.0948=Voy.0001x1.896

^0.01X1.377=0.01377,

10

所以樣本相關(guān)系數(shù)廠行立上J弋高霍能0.97.

［To"0-01377

22

E(xrx)S(yry)

J1=11=1

⑶設(shè)該林區(qū)這種樹木總材積量的估計值為Ym3,由題意可知，該種樹

木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,所以蕓=三，

0.6186

所以Y:竺答=1209,即該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為1

0.6

209m3.

4.［獨(dú)立性檢驗(yàn)］(2022?全國甲卷,T17)甲、乙兩城之間的長途客車

均由A和B兩家公司運(yùn)營.為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，

隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表,分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的

概率；

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客

車所屬公司有關(guān)？

2

n/iTZ2_n(ad-bc)

(a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)

P(Y2k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

解：(1)由題意可得A公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為

240_12

240+2013’

B公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為三匕4

210+308

2

（2）K=---------5OOX（24O：3O-2OX21O）---------^3.205>2,706,

（240+20）X（210+30）X（240+210）X（20+30）

所以有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所

屬公司有關(guān).

⑥考情定位

統(tǒng)計知識主要考查:抽樣方法、樣本數(shù)字特征、統(tǒng)計圖表等.以選

擇題、填空題形式命題,難度較??；回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)常與概率交

匯命題,也是近年的熱點(diǎn),常出現(xiàn)在第19或20題的位置，以中檔題為

主.此類題目重在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)

運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

突破熱點(diǎn)提升關(guān)鍵能力

熱點(diǎn)一回歸分析在實(shí)際問題中的應(yīng)用

?核心必備?

1.方程y=bx+a是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)

（xi,yj,區(qū),丫2）,…，（X”y）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中a,b是待定參數(shù)，經(jīng)

-n人

￡（X—x）（y.-y）"

驗(yàn)回歸方程的斜率和截距分別為人』一一,。=歹-匕元（元刃是

*2

E（xrx）

i=i

樣本中心點(diǎn),經(jīng)驗(yàn)回歸直線過樣本中心點(diǎn).

2.（1）正相關(guān)與負(fù)相關(guān)就看經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率，斜率為正則為正相

關(guān),斜率為負(fù)則為負(fù)相關(guān).

⑵樣本相關(guān)系數(shù)r具有以下性質(zhì):r>0表示兩個變量正相關(guān),r<0表示

兩個變量負(fù)相關(guān)；|r|W1,且|r|越接近于1,線性相關(guān)程度越強(qiáng)，|r|越

接近于0,線性相關(guān)程度越弱.

典例1（2022?四川綿陽三模）隨著科技進(jìn)步,近來年,我國新能源汽

車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展.以下是中國汽車工業(yè)協(xié)會2022年2月公布的近六年

我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)：

年份201620172018201920202021

年份代

123456

碼X

新能源

乘用車

5078126121137352

年銷售

Y（萬輛）

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù),求出Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（結(jié)果保留整數(shù)）

⑵若用y=me'”模型擬合Y與x的關(guān)系,可得回歸方程為y=37.71e.叱

經(jīng)計算該模型和第⑴問中模型的為決定系數(shù)）分別為0.87和

0.71,請分別利用這兩個模型,求2022年我國新能源乘用車的年銷售

量的預(yù)測值；

⑶你認(rèn)為⑵中用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?請說明理由.

參考數(shù)據(jù)：設(shè)u=lny,其中u=ln

66

S（Xi-X）?￡（xi-元）?

i=li=l3.635.946.27

yUeee

（Yi-y）（Ui-u）

1444.788415.7037.71380528

參考公式:對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(Xi,yj(i=l,2,3,…,n),

其經(jīng)驗(yàn)回歸方程丫=/^+。的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

人n人

(xj-x)(yj-y)八__

b=l^n--------,a^y-bx.

￡(xx)

i=ir

解：⑴由表中數(shù)據(jù)得,數(shù)=1+2+3：4+5+6=3.5,歹=144,

6

66

￡(Xi-X)(yi-y)=841,￡(xi-元)2=(xi-x)2+(x-x)~+(x-x)2+(x-x)~+(x

i=li=l2345

22

-%)+(x6-x)

=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)=17.5,

八6

mN,?(xrx)(yry)4i

所以b二￡------=7787^48,

2

E(xrx)17.5

1=1

a=y-bx=144-48X3.5=-24,所以Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

y=48x-24.

⑵由⑴知,Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=48x-24,

當(dāng)x=7時,2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值

y=48X7-24=312(萬輛);

對于回歸方程y=37.71e°，,當(dāng)x=7時,2022年我國新能源乘用車的年

銷售量的預(yù)測值y=37.71e°w7=e&63><e23=e5s=380(萬輛).

(3)依題意,y=37.71e°處模型和第(1)問中模型的R2(V為決定系數(shù))

分別為0.87和0.71,

由于決定系數(shù)越接近于1,兩個變量之間的關(guān)系就越強(qiáng),相應(yīng)的擬合程

度也越好，

所以y=37.71e0小模型得到的預(yù)測值更可靠.

?迭結(jié)提升?

（1）對于非線性回歸分析問題,應(yīng)先進(jìn)行變量代換,求出代換后的經(jīng)驗(yàn)

回歸直線方程,再求經(jīng)驗(yàn)回歸曲線方程.

⑵成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度，可以利用樣本相關(guān)系數(shù)判

斷，|r|越趨近于1,兩變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng).

熱點(diǎn)訓(xùn)練1某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解

年宣傳費(fèi)x（單位:千元）對年銷售量Y（單位:t）和年利潤z（單位:千元）

的影響,對近8年的年宣傳費(fèi)Xi和年銷售量y“i=l,2,…,8）數(shù)據(jù)作了

初步處理,得到散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值.

年銷售量/t

620

600

580

560

540

520

500

11111111111___

343638404244464850525456

年宣傳費(fèi)/千元

8

8￡（以-

E（Xi-x）?（y-i=l

88

i=i

XyE（小國）2萬）.（y「

i=l1=1y）

y）

46.65636.8289.81.61469108.8

表中360=83i.

Ni=l

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d?哪一個適宜作為年銷售量Y

關(guān)于年宣傳費(fèi)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型？（給出判斷即可,不必說明理

由）

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,Y的關(guān)系為z=0.2Y-x,根據(jù)(2)的結(jié)

果回答下列問題：

①年宣傳費(fèi)x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？

②年宣傳費(fèi)x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大？

附:對于一組數(shù)據(jù)(U,V),(U2,V2),…，(5vn),其經(jīng)驗(yàn)回歸方程

v=a+^u的斜率和截距的最小二乘估計分別

E(〃「正)(Vf-v)-

為邛=口，-------,a與邛u.

E(Uj-u)

i=i

解：(1)由散點(diǎn)圖知，各點(diǎn)呈非線性遞增趨勢,所以y=c+d?作為經(jīng)驗(yàn)

回歸方程比較合適.

人8

zx.I—m心自(3廠初⑶廠歹)108.80。

(o2)由3則d=-------=——=68,

￡(3「面產(chǎn)1.6

i=l

由石=6.8,歹=563,得c守-dZo=563-68X6.8=100.6,所以

y=100.6+68收

⑶①當(dāng)x=49時，年銷售量y=100.6+68X同=576.6(t).此時年利潤

z=0.2X576.6-49=66.32(千元).

②由題

意,z=0.2X(100.6+68Vx)-x=20.12+13.6Vx-(Vx)=-(Vx-6.8)2+66.

36,

所以當(dāng)?=6.8,即x=46.24時,年利潤的預(yù)報值最大.

熱點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)

?核心必備?

2

2_n{ad-bc)

“卡方公式”：Xn=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

典例2(2021?山東濟(jì)南期末)為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院

從過往病例中隨機(jī)抽取了100名患者,其中一部分患者采用了外科療

法,另一部分患者采用了化學(xué)療法,并根據(jù)兩種治療方法的治愈情況

繪制了等高堆積條形圖，如圖.

(1)根據(jù)圖表完善以下關(guān)于治療方法和治愈情況的2X2列聯(lián)表：

療效

療法合計

未治愈治愈

外科療法

化學(xué)療法18

合計100

(2)依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析此種疾病治愈率是否與

治療方法有關(guān).

2

2_n(ad-bc)

附：x(如需計算X2,結(jié)果精確到o.001),

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

x2獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

治愈率等高堆積條形圖

100%

90%

80%

70%口治愈

60%_U_

50%.□未治愈

40%n_

30%

20%

10%

0%

外科□療法化學(xué)0療_法

解：（1）由題意及等高堆積條形圖可得,2X2列聯(lián)表如表.

療效

療法合計

未治愈治愈

外科療法202040

化學(xué)療法421860

合計6238100

⑵零假設(shè)為H。:是否治愈與治療方法無關(guān)聯(lián).

由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，XJ*沙詈展”-4.075>3,841,

40X60X62X38

根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們能推斷H。不成立,即認(rèn)為是

否治愈與治療方法有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.

?總結(jié)提升?

獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法

⑴根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個隨機(jī)事件有關(guān)系”犯錯

誤概率的小概率值a,然后查表確定臨界值.

⑵利用公式，計算x2.

⑶如果x2>x?,就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超

過a;否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過a的前提下不能推斷“X與

Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有

關(guān)系”.

熱點(diǎn)訓(xùn)練2為進(jìn)一步做好新冠肺炎疫情防控工作,某社區(qū)以網(wǎng)上調(diào)

查問卷的形式對轄區(qū)內(nèi)部分居民做了新冠疫苗免費(fèi)接種的宣傳和調(diào)

查.調(diào)查數(shù)據(jù)如下:共95份有效問卷,40名男性中有10名不愿意接種

疫苗,55名女性中有5名不愿意接種疫苗.

⑴根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2X2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,根據(jù)小概

率值a=0.050的x之獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否愿意

接種疫苗與性別有關(guān)？

態(tài)度

性別合計

愿意接種不愿意接種

男

女

合計

⑵從不愿意接種的15份調(diào)查問卷中得到拒絕接種新冠疫苗的原因：

有3份身體原因不能接種;有2份認(rèn)為新冠肺炎已得到控制，無需接種;

有4份擔(dān)心疫苗的有效性;有6份擔(dān)心疫苗的安全性.求從這15份問

卷中隨機(jī)選出2份，在已知至少有一份擔(dān)心疫苗安全性的條件下，另

一份是擔(dān)心疫苗有效性的概率.

2

2n(ad-bc)

?x二______________________________________________

?(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.0500.0100.005

Xa3.8416.6357.879

解：(1)補(bǔ)全2X2列聯(lián)表如表.

態(tài)度

性別合計

愿意接種不愿意接種

男301040

女50555

合計801595

2O

X（；胃E）…=言篝葭1"4.408>3,841-

根據(jù)小概率值a=0.050的x2獨(dú)立性檢驗(yàn),有95%的把握認(rèn)為是否愿意

接種疫苗與性別有關(guān).

(2)設(shè)事件A為“至少有一份擔(dān)心疫苗安全性”，事件B為“另一份擔(dān)

心疫苗有效性”，

8

貝ijP(A)=1-史,貝ijP(AB)=萼=2,所以P(B|A)=學(xué)?=尊=±

C

is35C?535P(4)||23

熱點(diǎn)三概率與統(tǒng)計的綜合問題

典例3(2022?山東濟(jì)南高三期末)某機(jī)構(gòu)為了解市民對交通的滿意

度，隨機(jī)抽取了100位市民進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：回答“滿意”的人數(shù)

占總?cè)藬?shù)的一半,在回答“滿意”的人中，“上班族”的人數(shù)是“非上

班族”人數(shù)的會在回答“不滿意”的人中，“非上班族”占巳.

(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面2X2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值a=0.001

的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析能否認(rèn)為市民對于交通的滿意度與是否為上班族

存在關(guān)聯(lián)？

滿意不滿意合計

上班族

非上班族

合計

⑵此機(jī)構(gòu)欲隨機(jī)抽取部分市民進(jìn)一步調(diào)查.規(guī)定:抽樣的次數(shù)不超過

n（n￡N*）,若隨機(jī)抽取的市民屬于不滿意群體,則抽樣結(jié)束;若隨機(jī)抽

取的市民屬于滿意群體,則繼續(xù)抽樣,直到抽到不滿意市民或抽樣次

數(shù)達(dá)到n時,抽樣結(jié)束.

①若n=5,寫出Xs的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②請寫出X0的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式（不需證明），根據(jù)你的理解說明X”的

數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義.

附：

2

i，其中n=a+b+c+d.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解：（1）由題意可知,2X2列聯(lián)表如表,

滿意不滿意合計

上班族154055

非上班族351045

合計5050100

零假設(shè)為H。:市民對交通的滿意度與是否上班獨(dú)立.因?yàn)閤

2

2=100X(15X10-35X4。)=3心25.253>10,828.

50x50x55x4599

根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H。不成立,即認(rèn)為市

民對交通的滿意度與是否上班有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于

0.001.

(2)①當(dāng)n=5時,X5的可能取值為1,2,3,4,5,由(1)可知市民的滿意度

和不滿意度均為條

所以P區(qū)=1)="P(Xs=2)=：,P(X.5=3)=：,P(X5=4)P(Xs=5)

所以X5的分布列為

12345

Xs

11111

P

22324

所以E(以=1義之+2義翥+3X導(dǎo)4義升5義看書.

②￡(&)=1義竺義才3><導(dǎo)一+(『1)?六+n?圭=2-奈，

當(dāng)n趨向于正無窮大時,E(X0)趨向于2,此時E(X)恰好為不滿意度

的倒數(shù)，

也可以理解為平均每抽取2個人,就會有一個不滿意的市民.

?總?結(jié)提?升?

解決概率與統(tǒng)計綜合問題的一般步驟

熱點(diǎn)訓(xùn)練3(2021?重慶渝中區(qū)期末)某中學(xué)成功地舉辦了一年一

度的大型學(xué)生社團(tuán)文化節(jié),吸引了眾多學(xué)生.該中學(xué)目前共有社團(tuán)近

40個，由高一和高二學(xué)生組成,參加社團(tuán)的學(xué)生有四百人左右.已知該

中學(xué)高一和高二的所有學(xué)生中男生與女生人數(shù)比為6:4,為了解學(xué)生

參加社團(tuán)活動的情況,按性別采用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生,統(tǒng)

計得到如圖等高堆積條形圖.

⑴求該中學(xué)參加社團(tuán)的學(xué)生中，任選1人是男生的概率；

(2)若抽取了100名學(xué)生,完成下列2X2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值a

=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為該中學(xué)高一和高二學(xué)生的性別與參加

學(xué)生社團(tuán)有關(guān)聯(lián)?請說明理由.

參加社團(tuán)未參加社團(tuán)合計

男生

女生

合計

2

附:…"a+b+c+d.

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解：（1）設(shè)高一和高二的所有學(xué)生中任選一人是男生、是女生分別為事

件A,A,

設(shè)高一和高二的所有學(xué)生中任選一人參加社團(tuán)為事件B,則

P（A）=60%,P（彳）=40%,

（）（）

則P（A|B）PAPBA________60%X10%_6_3

P（4）P（BA）+P（彳）P（B|P6O%X1O%+4O%X2O%6+87

（2）2X2列聯(lián)表如表,

參加社團(tuán)未參加社團(tuán)合計

男生65460

女生83240

合計1486100

零假設(shè)為H。:性別與參加社團(tuán)獨(dú)立，即性別與參加社團(tuán)無關(guān).

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到X山黑舞薩。

1.993〈3.841=a0Q5,

依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒有充分的證據(jù)推斷H。不成立,

因此可以認(rèn)為H。成立,即性別與參加社團(tuán)無關(guān).

專題強(qiáng)化訓(xùn)練（十七）

一、單項選擇題

1.（2022?山東萊西高三期末）通過隨機(jī)詢問某中學(xué)110名中學(xué)生是

否愛好跳繩,得到列聯(lián)表:

性別

跳繩合計

男女

愛好402060

不愛好203050

合計6050110

2

已知X2=7P（X2^1O.828）=0.001,根據(jù)小概率值

（a+匕）（c+d）（a+c）（b+d）

a=0.001的x2獨(dú)立性檢驗(yàn)，以下結(jié)論正確的為（D）

A.愛好跳繩與性別有關(guān)

B.愛好跳繩與性別有關(guān),這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001

C.愛好跳繩與性別無關(guān)

D.愛好跳繩與性別無關(guān),這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001

2/2

解析：x2=^一邛臚C）一：ox（4OX3O_2OX2O」7.822C10.828,

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）60x50x60x50

則愛好跳繩與性別無關(guān),這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001.故選

D.

2.某公司為了確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)

x（單位:萬元）對年銷售量Y（單位:千件）的影響.現(xiàn)收集了近5年的年

宣傳費(fèi)x（單位:萬元）和年銷售量Y（單位:千件）的數(shù)據(jù),其數(shù)據(jù)如表

所示,且Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx-8.2,則下列結(jié)論錯誤的是

(C)

X4681012

Y1571418

A.x,Y之間呈正相關(guān)關(guān)系

B.b=2.15

C.該經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過點(diǎn)(8,7)

D.當(dāng)此公司該種產(chǎn)品的年宣傳費(fèi)為20萬元時一,預(yù)測該種產(chǎn)品的年銷

售量為34800件

解析：由表中數(shù)據(jù)可

W,%=|x(4+6+8+10+12)=8,歹三*(1+5+7+14+18)=9,

故經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過點(diǎn)(8,9),故9=8b-8.2,解得匕=2.15,故A,B

正確,C錯誤;

將x=20代入y=2.15x-8.2,解得y=34.8,故當(dāng)此公司該種產(chǎn)品的年宣

傳費(fèi)為20萬元時，預(yù)測該種產(chǎn)品的年銷售量為34800件,故D正確.

故選C.

二、多項選擇題

3.(2022?江蘇揚(yáng)州高三期末)下列說法中正確的有(ABD)

A.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以2后,平均數(shù)也變?yōu)樵瓉淼?倍

B.若一組數(shù)據(jù)的方差越小，則該組數(shù)據(jù)越穩(wěn)定

C.由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（x1,yj,（X2,yj,…，（Xn,yn）所得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線

y=bx+a至少經(jīng)過其中的一個點(diǎn)

D.在某項測量中，若測量結(jié)果€?N（l,。9（。＞0）,則P（gWl）=0.5

解析:對于A,設(shè)數(shù)據(jù)xi,X2,…，X”的平均數(shù)為元則*…+…+”

n

則數(shù)據(jù)2X1,2X2,…，2xn的平均數(shù)為2巧+2如+.??+2%=2（必+亞+…+如）=2匕A

nn

正確；

對于B,由方差的定義可知,方差越小,樣本越穩(wěn)定,B正確；

對于C,經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+a一定過樣本的中心點(diǎn)（五歹），不一定過

樣本點(diǎn),C錯誤；

對于D,在某項測量中，若測量結(jié)果€?N（l,。9（。＞o）,則p（己w

1）=0.5,D正確.故選ABD.

4.（2022?湖南常德高三期末）甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰

子每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1,2,3,4,5,6）,并分別記錄每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),

四人根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果對各自的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判斷一

定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的描述是（AD）

A.中位數(shù)為3,眾數(shù)為5

B,中位數(shù)為3,極差為3

C.中位數(shù)為1,平均數(shù)為2

D.平均數(shù)為3,方差為2

解析:對于A,由于中位數(shù)為3,眾數(shù)為5,所以這5個數(shù)從小到大排列

后,第3個數(shù)是3,則第4和5個數(shù)為5,所以這5個數(shù)中一定沒有出現(xiàn)

6,所以A正確;

對于B,由于中位數(shù)為3,極差為3,所以這5個數(shù)可以是3,3,3,4,6,

所以B錯誤；

對于C,由于中位數(shù)為1,平均數(shù)為2,所以這5個數(shù)可以是1,1,1,1,6,

所以C錯誤；

對于D,由平均數(shù)為3,方差為2,可得

XI+X2+X3+X4+X5=15,|[（Xi-3）"+（X2-3）~+（X3-3）"+（x「3），+（xs_3）~]=2,若有

一個數(shù)為6,取xi=6,則

2222

X2+X3+X4+X5=9,（X2-3）+（X3-3）+（X4-3）+（x5-3）=1,所以&2-3）飛

1,（X3-3）W1,（X4-3）?W1,（X5-3）?W1,所以X2,X3,X4,X5這4個數(shù)可以是

4,3,3,3或2,3,3,3,與x2+x3+x4+x5=9矛盾，所以x】W6,所以這5個數(shù)

一定沒有出現(xiàn)6,所以D正確.故選AD.

5.（2022?湖北江岸高三期末）某電子商務(wù)平臺每年都會舉行“年貨節(jié)”

商業(yè)促銷狂歡活動,現(xiàn)在統(tǒng)計了該平臺從2013年到2021年共9年“年

貨節(jié)”期間的銷售額彈位:億元）并作出散點(diǎn)圖，將銷售額Y看成年份

序號x（2013年作為第一年）的函數(shù).運(yùn)用圖表軟件,分別選擇回歸直

線和三次函數(shù)回歸曲線進(jìn)行擬合,效果如圖，則下列說法正確的是

(ACD)

A.銷售額Y與年份序號x正相關(guān)

B.三次函數(shù)回歸模型的殘差平方和大于直線回歸模型的殘差平方和

C.三次函數(shù)回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果

D.根據(jù)三次函數(shù)回歸曲線可以預(yù)測2022年“年貨節(jié)”期間的銷售額

約為2680.54億元

解析:根據(jù)圖象可知,散點(diǎn)從左下到右上分布,銷售額Y與年份序號x

呈正相關(guān)關(guān)系,A正確；

由散點(diǎn)圖以及直線回歸模型和三次函數(shù)回歸模型的位置關(guān)系可知，三

次函數(shù)回歸模型的殘差平方和小于直線回歸模型的殘差平方和,B錯

誤；

根據(jù)三次函數(shù)回歸曲線的決定系數(shù)0.999>0.936,決定系數(shù)越大,擬合

效果越好，所以三次函數(shù)回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效

果,C正確；

由三次函數(shù)y=0.07X3+29.31X2-33.09X+10.44,當(dāng)x=10時，y-2

680.54億元,D正確.故選ACD.

6.（2022?湖北襄陽高三期末）下列說法正確的是（AC）

A.當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時,通常采用分層抽樣的方法

抽樣

B.頻率分布直方圖中每個小矩形的高就是該組的頻率

C.若兩個滿足線性回歸的變量負(fù)相關(guān),則其回歸直線的斜率為負(fù)

D.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布布2,o2),P(X<3)=0.9,則

P(2<X<3)=0.3

解析:對于A,根據(jù)分層抽樣的定義可知，當(dāng)總體是由差異明顯的幾個

部分組成時,通常采用分層抽樣的方法抽樣,A正確；

對于B,頻率分布直方圖中每個小矩形的高是“頻率/組距”，即每個

小矩形所代表的對象的頻率/組距,每個小矩形的面積才是該組的頻

率,B錯誤；

對于C,根據(jù)回歸方程性質(zhì)，若兩個滿足線性回歸的變量負(fù)相關(guān),則其

回歸直線的斜率為負(fù),C正確；

對于D,因?yàn)镻(x<2)=0.5,P(X<3)=0,9,所以P(2<X<3)=0.9-0.5=0.4,D

錯誤.故選AC.

三、填空題

7.(2022?山東青島高三期末)由樣本數(shù)據(jù)(xi,y),(X2,丫2),…，區(qū),丫7)

得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y1y+a,已知如下數(shù)

777"

據(jù):i±Xi=19,.Syi=35,&而言,則實(shí)數(shù)a的值為.

解析:令t=Vx,則經(jīng)驗(yàn)回歸方程y§t+a過樣本中心點(diǎn)(Ky),

因?yàn)閥=354-7=5,所以有,><，a=5,即a=4.

答案：4

8.根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計公報顯示,該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮,2017

年至2020年每年進(jìn)口總額x（單位:千億元）和出口總額Y（單位:千億

元）之間的一組數(shù)據(jù)如表：

2017年2018年2019年2020年

X1.82.22.63.0

Y2.02.83.24.0

若每年的進(jìn)出口總額x,Y滿足線性相關(guān)關(guān)系y=bx-0.84,則

b=;若計劃2022年出口總額達(dá)到5千億元,預(yù)計該年進(jìn)口總

額為千億元.

解析：由題意可得了J8+2-2+2.6+3.0=2.&-=2.0+2.8+3.2+4.0=X

44

因?yàn)闃颖局行臐M足經(jīng)驗(yàn)回歸方程,可得3=2.4b-0.84,解得b=l.6,所

以y=L6x-0.84,

2022年出口總額達(dá)到5千億元,預(yù)計該年進(jìn)口總額為x,則

5=1.6x-0.84,解得x=3.65.

答案：1.63.65

四、解答題

9.（2022?江蘇通州高三期末）當(dāng)今時代，國家之間的綜合國力的競爭,

在很大程度上表現(xiàn)為科學(xué)技術(shù)水平與創(chuàng)新能力的競爭.特別是進(jìn)入人

工智能時代后,誰掌握了核心科學(xué)技術(shù),誰就能對競爭對手進(jìn)行降維

打擊.我國自主研發(fā)的某種產(chǎn)品,其厚度越小，則該種產(chǎn)品越優(yōu)良,為

此,某科學(xué)研發(fā)團(tuán)隊經(jīng)過較長時間的實(shí)驗(yàn)研發(fā),不斷地對該產(chǎn)品的生

產(chǎn)技術(shù)進(jìn)行改造提升，最終使該產(chǎn)品的優(yōu)良厚度達(dá)到領(lǐng)先水平并獲得

了生產(chǎn)技術(shù)專利.

⑴在研發(fā)過程中，對研發(fā)時間x(月)和產(chǎn)品的厚度Y(nm)進(jìn)行統(tǒng)計，

其中1—7月的數(shù)據(jù)資料如表：

x(月)1234567

Y(nm)99994532302421

現(xiàn)用y=a+3乍為丫關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型,請利用表中數(shù)據(jù),求出

該經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并估計該產(chǎn)品的“理想”優(yōu)良厚度約為多少？

(2)某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產(chǎn)品的生產(chǎn)線,迫于競爭壓力，決定關(guān)閉

并出售生產(chǎn)線.現(xiàn)有以下兩種售賣方案可供選擇：

①直接售賣,則每條生產(chǎn)線可賣5萬元；

②先花20萬元購買技術(shù)專利并對老舊生產(chǎn)線進(jìn)行改造，使其達(dá)到生

產(chǎn)領(lǐng)先水平后再售賣.已知在改造過程中，每條生產(chǎn)線改造成功的概

率均為方若改造成功,則每條生產(chǎn)線可賣20萬元;若改造失敗,則賣價

為0萬元.請判斷該企業(yè)應(yīng)選擇哪種售賣方案更為科學(xué).并說明理由.

77

參考